A interpolação linear é um método que é originado a partir da interpolação geral Newton e aproximação para determinar para um valor desconhecido que se encontra entre dois números; isto é, um valor intermediário é encontrado. Também é aplicado a funções aproximadas, onde os valores f (a) ef (b) são conhecidos e você deseja conhecer o intermediário de f (x) .
Existem diferentes tipos de interpolação, como linear, quadrático, cúbico e de maior grau, sendo a mais simples a aproximação linear. O preço que deve ser pago com interpolação linear é que o resultado não será tão preciso quanto nas aproximações por meio de funções de nível superior.
Definição de
A interpolação linear é um processo que permite deduzir um valor entre dois valores bem definidos, que podem estar em uma tabela ou em um gráfico linear.
Por exemplo, se se sabe que 3 litros de leite valem US $ 4 e 5 litros valem US $ 7, mas você deseja saber qual é o valor de 4 litros de leite, ele é interpolado para determinar esse valor intermediário.
Método
Para estimar um valor intermediário de uma função, a função f (x) é aproximada por meio da linha r (x) , o que significa que a função varia linearmente com «x» para uma seção «x = a» e «x = b »; isto é, para um valor “x” no intervalo (x , x 1 ) y (y , y 1 ), o valor de “y” é dado pela linha entre os pontos e expresso pela seguinte relação:
(y – y ) ÷ (x – x ) = (y 1 – y ) ÷ (x 1 – x )
Para que uma interpolação seja linear, é necessário que o polinômio de interpolação seja de grau um (n = 1), para que se ajuste aos valores de x 0 e x 1.
A interpolação linear é baseada na semelhança de triângulos, de modo que, derivando geometricamente da expressão anterior, é possível obter o valor de «y», que representa o valor desconhecido para «x».
Dessa forma, você deve:
a = tan Ɵ = (perna oposta 1 ÷ perna adjacente 1 ) = (perna oposta 2 ÷ perna adjacente 2 )
Expressado de outra maneira, é:
(y – y ) ÷ (x – x ) = (y 1 – y ) ÷ (x 1 – x )
Limpando “e” das expressões, você tem:
(y – y ) * (x 1 – x ) = (x – x ) * (y 1 – y )
(y – y ) = (y 1 – y ) * [(x – x ) ÷ (x 1 – x )]
Assim, a equação geral para interpolação linear é obtida:
y = y 0 + (y 1 – y ) * [(x – x ) ÷ (x 1 – x )]
Em geral, a interpolação linear fornece um pequeno erro sobre o valor real da função verdadeira, embora o erro seja mínimo se comparado ao número intuitivo de um número próximo ao encontrado.
Este erro ocorre ao tentar aproximar o valor de uma curva com uma linha reta; nesses casos, o tamanho do intervalo deve ser reduzido para tornar a aproximação mais precisa.
Para obter melhores resultados com relação à aproximação, é aconselhável usar funções de graus 2, 3 ou até graus mais altos para realizar a interpolação. Para esses casos, o teorema de Taylor é uma ferramenta muito útil.
Exercícios resolvidos
Exercício 1
O número de bactérias por unidade de volume existente em uma incubação após x horas é apresentado na tabela a seguir. Você quer saber qual é o volume de bactérias pelo período de 3,5 horas.
Solução
A tabela de referência não estabelece um valor que indica a quantidade de bactérias por um período de 3,5 horas, mas existem valores mais altos e mais baixos correspondentes a um tempo de 3 e 4 horas, respectivamente. Dessa forma:
x = 3 e = 91
x = 3,5 y =?
x 1 = 4 e 1 = 135
Agora, a equação matemática é aplicada para encontrar o valor interpolado, que é o seguinte:
y = y 0 + (y 1 – y ) * [(x – x ) ÷ (x 1 – x )].
Em seguida, os valores correspondentes são substituídos:
y = 91 + (135 – 91) * [(3,5 – 3) ÷ (4-3)]
y = 91 + (44) * [(0,5) ÷ (1)]
y = 91 + 44 * 0,5
y = 113.
Assim, obtém-se que, por um período de 3,5 horas, a quantidade de bactérias é 113, o que representa um nível intermediário entre o volume de bactérias existentes nos tempos de 3 e 4 horas.
Exercício 2
Luis tem uma fábrica de sorvetes e quer fazer um estudo para determinar a renda que teve em agosto a partir das despesas feitas. O administrador da empresa faz um gráfico que expressa esse relacionamento, mas Luis quer saber:
Quais são as receitas de agosto, se uma despesa de US $ 55.000 foi feita?
Solução
Um gráfico com valores de receitas e despesas é fornecido. Luis quer saber qual é a receita de agosto se a fábrica tiver uma despesa de US $ 55.000. Esse valor não é refletido diretamente no gráfico, mas os valores são mais altos e mais baixos que isso.
Primeiro, é feita uma tabela para relacionar facilmente os valores:
Agora, a fórmula de interpolação é usada para determinar o valor de y
y = y 0 + (y 1 – y ) * [(x – x ) ÷ (x 1 – x )]
Em seguida, os valores correspondentes são substituídos:
y = 56.000 + (78.000 – 56.000) * [(55.000 – 45.000) ÷ (62.000 – 45.000)]
y = 56.000 + (22.000) * [(10.000) ÷ (17.000)]
y = 56.000 + (22.000) * (0,588)
y = 56.000 + 12.936
y = $ 68.936.
Se uma despesa de US $ 55.000 foi feita em agosto, a receita foi de US $ 68.936.
Referências
- Arthur Goodman, LH (1996). Álgebra e trigonometria com geometria analítica. Pearson Education.
- Harpe, P. d. (2000) Tópicos na Teoria de Grupos Geométricos. University of Chicago Press.
- Hazewinkel, M. (2001). Interpolação linear », Enciclopédia de Matemática.
- JM (1998). Elementos de métodos numéricos para engenharia. UASLP.
- E. (2002). Uma cronologia da interpolação: da astronomia antiga ao processamento moderno de sinais e imagens. Anais do IEEE.
- numérico, I. a. (2006). Xavier Tomàs, Jordi Cuadros, Lucinio González.