Interpolação Linear: Método, Exercícios Resolvidos

A interpolação linear é um método que é originado a partir da interpolação geral Newton e aproximação para determinar para um valor desconhecido que se encontra entre dois números; isto é, um valor intermediário é encontrado. Também é aplicado a funções aproximadas, onde os valores f (a) ef (b) são conhecidos e você deseja conhecer o intermediário de f (x) .

Existem diferentes tipos de interpolação, como linear, quadrático, cúbico e de maior grau, sendo a mais simples a aproximação linear. O preço que deve ser pago com interpolação linear é que o resultado não será tão preciso quanto nas aproximações por meio de funções de nível superior.

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Definição de

A interpolação linear é um processo que permite deduzir um valor entre dois valores bem definidos, que podem estar em uma tabela ou em um gráfico linear.

Por exemplo, se se sabe que 3 litros de leite valem US $ 4 e 5 litros valem US $ 7, mas você deseja saber qual é o valor de 4 litros de leite, ele é interpolado para determinar esse valor intermediário.

Método

Para estimar um valor intermediário de uma função, a função f (x) é aproximada por meio da linha r (x) , o que significa que a função varia linearmente com «x» para uma seção «x = a» e «x = b »; isto é, para um valor “x” no intervalo (x , x 1 ) y (y , y 1 ), o valor de “y” é dado pela linha entre os pontos e expresso pela seguinte relação:

(y – y ) ÷ (x – x ) = (y 1 – y ) ÷ (x 1 – x )

Para que uma interpolação seja linear, é necessário que o polinômio de interpolação seja de grau um (n = 1), para que se ajuste aos valores de x 0 e x 1.

A interpolação linear é baseada na semelhança de triângulos, de modo que, derivando geometricamente da expressão anterior, é possível obter o valor de «y», que representa o valor desconhecido para «x».

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Dessa forma, você deve:

a = tan Ɵ = (perna oposta 1 ÷ perna adjacente 1 ) = (perna oposta 2 ÷ perna adjacente 2 )

Expressado de outra maneira, é:

(y – y ) ÷ (x – x ) = (y 1 – y ) ÷ (x 1 – x )

Limpando “e” das expressões, você tem:

(y – y ) * (x 1 – x ) = (x – x ) * (y 1 – y )

(y – y ) = (y 1 – y ) * [(x – x ) ÷ (x 1 – x )]

Assim, a equação geral para interpolação linear é obtida:

y = y 0 + (y 1 – y ) * [(x – x ) ÷ (x 1 – x )]

Em geral, a interpolação linear fornece um pequeno erro sobre o valor real da função verdadeira, embora o erro seja mínimo se comparado ao número intuitivo de um número próximo ao encontrado.

Este erro ocorre ao tentar aproximar o valor de uma curva com uma linha reta; nesses casos, o tamanho do intervalo deve ser reduzido para tornar a aproximação mais precisa.

Para obter melhores resultados com relação à aproximação, é aconselhável usar funções de graus 2, 3 ou até graus mais altos para realizar a interpolação. Para esses casos, o teorema de Taylor é uma ferramenta muito útil.

Exercícios resolvidos

Exercício 1

O número de bactérias por unidade de volume existente em uma incubação após x horas é apresentado na tabela a seguir. Você quer saber qual é o volume de bactérias pelo período de 3,5 horas.

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Solução

A tabela de referência não estabelece um valor que indica a quantidade de bactérias por um período de 3,5 horas, mas existem valores mais altos e mais baixos correspondentes a um tempo de 3 e 4 horas, respectivamente. Dessa forma:

x = 3 e = 91

x = 3,5 y =?

x 1 = 4 e 1 = 135

Agora, a equação matemática é aplicada para encontrar o valor interpolado, que é o seguinte:

y = y 0 + (y 1 – y ) * [(x – x ) ÷ (x 1 – x )].

Em seguida, os valores correspondentes são substituídos:

y = 91 + (135 – 91) * [(3,5 – 3) ÷ (4-3)]

y = 91 + (44) * [(0,5) ÷ (1)]

y = 91 + 44 * 0,5

y = 113.

Assim, obtém-se que, por um período de 3,5 horas, a quantidade de bactérias é 113, o que representa um nível intermediário entre o volume de bactérias existentes nos tempos de 3 e 4 horas.

Exercício 2

Luis tem uma fábrica de sorvetes e quer fazer um estudo para determinar a renda que teve em agosto a partir das despesas feitas. O administrador da empresa faz um gráfico que expressa esse relacionamento, mas Luis quer saber:

Quais são as receitas de agosto, se uma despesa de US $ 55.000 foi feita?

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Solução

Um gráfico com valores de receitas e despesas é fornecido. Luis quer saber qual é a receita de agosto se a fábrica tiver uma despesa de US $ 55.000. Esse valor não é refletido diretamente no gráfico, mas os valores são mais altos e mais baixos que isso.

Primeiro, é feita uma tabela para relacionar facilmente os valores:

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Agora, a fórmula de interpolação é usada para determinar o valor de y

y = y 0 + (y 1 – y ) * [(x – x ) ÷ (x 1 – x )]

Em seguida, os valores correspondentes são substituídos:

y = 56.000 + (78.000 – 56.000) * [(55.000 – 45.000) ÷ (62.000 – 45.000)]

y = 56.000 + (22.000) * [(10.000) ÷ (17.000)]

y = 56.000 + (22.000) * (0,588)

y = 56.000 + 12.936

y = $ 68.936.

Se uma despesa de US $ 55.000 foi feita em agosto, a receita foi de US $ 68.936.

Referências

  1. Arthur Goodman, LH (1996). Álgebra e trigonometria com geometria analítica. Pearson Education.
  2. Harpe, P. d. (2000) Tópicos na Teoria de Grupos Geométricos. University of Chicago Press.
  3. Hazewinkel, M. (2001). Interpolação linear », Enciclopédia de Matemática.
  4. JM (1998). Elementos de métodos numéricos para engenharia. UASLP.
  5. E. (2002). Uma cronologia da interpolação: da astronomia antiga ao processamento moderno de sinais e imagens. Anais do IEEE.
  6. numérico, I. a. (2006). Xavier Tomàs, Jordi Cuadros, Lucinio González.

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