Leis de Kepler: explicação, exercícios, experimento

Leis de Kepler: explicação, exercícios, experimento

As leis de movimento planetário de Kepler foram feitas pelo astrônomo alemão Johannes Kepler (1571-1630). Kepler deduziu-os com base no trabalho de seu professor, o astrônomo dinamarquês Tycho Brahe (1546-1601).

Brahe compilou cuidadosamente dados sobre movimentos planetários por mais de 20 anos, com surpreendente precisão e exatidão, considerando que o telescópio ainda não havia sido inventado na época. A validade dos seus dados permanece em vigor ainda hoje.

As 3 leis de Kepler

As leis de Kepler afirmam:

Primeira lei : todos os planetas descrevem órbitas elípticas com o Sol em um dos focos.

Segunda lei ou lei de áreas iguais: uma linha direcionada do Sol para qualquer planeta (raio focal) varre áreas iguais em tempos iguais.

Terceira lei: o quadrado do tempo que leva para qualquer planeta orbitar em torno do Sol é proporcional ao cubo de sua distância média do Sol.

Seja T o referido tempo, chamado período orbitaler seja a distância média, então:

T 2 é proporcional a 3

T = kr 3

Isto significa que a proporção de T 2 / r 3 é a mesma para todos os planetas, o que torna possível calcular o raio orbital, se o período orbital é conhecido.

Quando T é expresso em anos er em unidades astronômicas UA *, a constante de proporcionalidade vale k = 1:

T 2 = R 3

* Uma unidade astronômica é igual a 150 milhões de km, que é a distância média entre a Terra e o Sol. O período orbital da Terra é de 1 ano.

Lei universal da gravitação e terceira lei de Kepler

A lei da gravitação universal estabelece que a magnitude da força de atração gravitacional entre dois objetos de massa M e m , respectivamente, cujos centros são separados por uma distância r, é dada por:

F = G mM / r 2

G é a constante gravitacional universal e seu valor é G = 6.674 x 10 -11 Nm 2 / kg 2 .

Agora, as órbitas dos planetas são elípticas com uma excentricidade muito pequena.

Isso significa que a órbita não está longe de uma circunferência, exceto em alguns casos como o planeta anão Plutão . Se aproximarmos as órbitas da forma circular, a aceleração do movimento do planeta é:

a c = v 2 / r

Desde F = ma , temos:

G mM / r 2 = mv 2 / r

Aqui v é a velocidade linear do planeta em torno do Sol, suposição estática e de massa  M , enquanto a do planeta é m . Assim:

Isso explica que os planetas mais distantes do Sol têm uma velocidade orbital mais baixa, pois isso depende de 1 / √r .

Como a distância que o planeta percorre é aproximadamente o comprimento da circunferência: L = 2πr e leva um tempo igual a T, o período orbital, para obter:

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v = 2πr / T

Igualando as duas expressões para v, obtemos uma expressão válida para T 2 , o quadrado do período orbital:

E é precisamente a terceira lei de Kepler, já que nessa expressão a 2 / GM parêntese é constante, portanto, T 2 é proporcional à distância r elevado ao cubo.

A equação final para o período orbital é obtida pela extração da raiz quadrada:

Quanto vale a massa do Sol? É possível descobrir usando esta equação. Sabemos que o período orbital da Terra é de um ano e o raio orbital é de 1 UA, equivalente a 150 milhões de quilômetros, por isso temos todos os dados necessários.

Em nossa equação anterior, resolvemos M , mas não antes de converter todos os valores para o Sistema Internacional de Unidades SI:

1 ano = 3,16 x 10 7 segundos.

1 AU = 150 milhões de km = 1,5 x10 11 m.

Exercícios

Embora Kepler tivesse apenas os planetas em mente quando derivou suas famosas leis, elas também são válidas para o movimento de satélites e outros corpos do sistema solar , como veremos abaixo.

– Exercício 1

Sabendo que a órbita de Júpiter é 5,19 vezes maior que a da Terra, encontre o período orbital de Júpiter.

Solução

De acordo com a definição da Unidade Astronômica, Júpiter está distante do Sol 5.19 UA, portanto, de acordo com a terceira lei de Kepler:

T 2 = R 3 = (5,19) 3 anos

Portanto T = (5,19) 3/2  anos = 11,8 anos

– Exercício 2

O cometa Halley visita o Sol a cada 75,3 anos. Encontrar:

a) O eixo semi-principal de sua órbita.

b) A medida do afélio, se o periélio medir 0,568 UA.

Solução

O cometa Halley visita o Sol a cada 75,3 anos. Encontrar:

a) O eixo semi-principal de sua órbita.

b) A medida do afélio, se o periélio medir 0,568 UA.

Solução para

Quando um planeta ou qualquer outra estrela está no ponto mais próximo do Sol, diz-se que está no periélio e, quando está mais distante, no afélio . No caso especial de uma órbita circular, r na terceira lei de Kepler é o raio da órbita.

No entanto, na órbita elíptica, o corpo celeste está mais ou menos distante do Sol, com o eixo semi-maior “a” sendo a média entre o afélio e o periélio:

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Portanto, substituímos r por a na terceira lei de Kepler, o que resulta em Halley em:

T 2 = a 3 → a = (T) 2/3 → a = (75,3) 2/3 UA = 17.832 UA

Solução b

a = ½ (Perihelion + Aphelion)

17.832 = ½ (0,568+ Afélio) → Afélio = 2 x 17.832 – 0,568 AU = 35,10 AU.

Experimentar

Analisar o movimento dos planetas requer semanas, meses e até anos de cuidadosa observação e registro. Mas um experimento em escala muito simples pode ser realizado em laboratório para provar que a lei de Kepler de áreas iguais é válida.

Para isso, é necessário um sistema físico no qual a força que governa o movimento seja central, uma condição suficiente para que a lei das áreas seja cumprida. Esse sistema consiste em uma massa amarrada a um cabo longo, com a outra extremidade do fio presa a um suporte.

A massa é movida um pequeno ângulo para longe de sua posição de equilíbrio e um leve impulso é impresso nela, de modo que ele executa um movimento oval (quase elíptico) no plano horizontal, como se fosse um planeta ao redor do Sol.

Na curva descrita pelo pêndulo, podemos provar que ele varre áreas iguais em tempos iguais, se:

– Consideramos raios vetoriais que vão do centro de atração (ponto de equilíbrio inicial) até a posição da massa.

-E varremos entre dois momentos consecutivos de igual duração, em duas áreas diferentes do movimento.

Quanto maior a rosca do pêndulo e menor o ângulo da vertical, a força de restauração líquida será mais horizontal e a simulação é semelhante ao caso do movimento com força central em um plano.

Então, o oval descrito se aproxima de uma elipse, como a viajada pelos planetas.

materiais 

– Rosca extensível

-1 massa ou bola metálica pintada de branco que funciona como uma lentilha pendular

-Governante

-Transportador

-Camera com disco estroboscópico automático

-Apoia

-Duas fontes de luz

-Uma folha de papel preto ou papelão

Processo

A montagem da figura é necessária para tirar várias fotos intermitentes do pêndulo, conforme ele segue seu caminho. Para isso, você deve colocar a câmera logo acima do pêndulo e o disco estroboscópico automático na frente da lente.

Dessa maneira, as imagens são obtidas em intervalos regulares do pêndulo, por exemplo, a cada 0,1 ou a cada 0,2 segundos, o que nos permite saber o tempo necessário para se mover de um ponto para outro.

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A massa do pêndulo também deve ser iluminada adequadamente, colocando as luzes nos dois lados. A lentilha-d’água deve ser pintada de branco para melhorar o contraste no fundo, que consiste em papel preto espalhado no chão.

Agora você deve verificar se o pêndulo varre áreas iguais em tempos iguais. Para isso, é escolhido um intervalo de tempo e os pontos ocupados pelo pêndulo no referido intervalo são marcados no papel.

Na imagem, uma linha é traçada do centro da oval para esses pontos e, portanto, teremos a primeira das áreas varridas pelo pêndulo, que é aproximadamente um setor elíptico como o mostrado abaixo:

Cálculo da área da seção elíptica

Os ângulos θ o e θ 1 são medidos com o transferidor , e esta fórmula é usada para encontrar S, a área do setor elíptico:

S = F (θ 1 ) – F (θ o )

Com  F (θ) dado por:

Note-se que um e b são os maiores e menores semiaxis, respectivamente. O leitor só precisa se preocupar em medir cuidadosamente os eixos e ângulos, pois existem calculadoras on-line para avaliar essa expressão facilmente.

No entanto, se você insistir em fazer o cálculo manualmente, lembre-se de que o ângulo θ é medido em graus, mas ao inserir dados na calculadora, os valores devem estar em radianos.

Então é necessário marcar outro par de pontos nos quais o pêndulo investiu o mesmo intervalo de tempo e desenhar a área correspondente, calculando seu valor com o mesmo procedimento.

Verificando a lei de áreas iguais

Finalmente, resta verificar se a lei das áreas é cumprida, ou seja, que áreas iguais são varridas em tempos iguais.

Os resultados estão se desviando um pouco do esperado? Deve-se sempre lembrar que todas as medições são acompanhadas de seus respectivos erros experimentais.

Referências

  1. Calculadora Keisan Online. Área de uma calculadora do setor elíptico. Recuperado de: keisan.casio.com.
  2. Openstax. Lei de Kepler do Movimento Planetário. Recuperado de: openstax.org.
  3. PSSC. Física de laboratório. Reverté Editorial. Recuperado de: books.google.co.
  4. Palen, S. 2002. Astronomia. Série Schaum. McGraw Hill.
  5. Pérez R. Sistema simples com força central. Recuperado de: francesphysics.blogspot.com
  6. Stern, as três leis de D. Kepler do movimento planetário. Recuperado de: phy6.org.

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