Método axiomático: características, etapas, exemplos

O método axiomático ou também chamado axiomático é um procedimento formal usado pelas ciências através do qual são formuladas afirmações ou proposições chamadas axiomas, conectadas entre si por uma relação de dedutibilidade e que são a base das hipóteses ou condições de um determinado sistema.

Essa definição geral deve ser enquadrada na evolução que essa metodologia teve ao longo da história.Primeiro, existe um método antigo ou de conteúdo, nascido na Grécia antiga de Euclides e posteriormente desenvolvido por Aristóteles .

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Em segundo lugar, já no século XIX, o aparecimento de uma geometria com axiomas diferentes dos de Euclides. E, finalmente, o método axiomático formal ou moderno, cujo maior expoente foi David Hilbert.

Além de seu desenvolvimento ao longo do tempo, esse procedimento tem sido a base do método dedutivo usado na geometria e na lógica em que se originou. Também tem sido usado em física , química e biologia .

E foi aplicado até dentro da ciência jurídica, sociologia e economia política. No entanto, atualmente sua área de aplicação mais importante é a matemática e a lógica simbólica e alguns ramos da física, como termodinâmica, mecânica, entre outras disciplinas.

Caracteristicas

Embora a característica fundamental desse método seja a formulação de axiomas, eles nem sempre foram considerados da mesma maneira.

Existem alguns que podem ser definidos e construídos de maneira arbitrária. E outros, de acordo com um modelo em que sua verdade é considerada intuitivamente garantida.

Para entender especificamente em que consiste essa diferença e suas conseqüências, é necessário passar pela evolução desse método.

Método axiomático ou de conteúdo antigo

É o estabelecido na Grécia Antiga no século V aC. Sua esfera de aplicação é a geometria. O trabalho fundamental desta etapa são os elementos de Euclides, embora se considere que antes dele, Pitágoras, já havia dado à luz o método axiomático.

Assim, os gregos tomam certos fatos como axiomas, sem exigir nenhuma prova lógica, ou seja, sem a necessidade de demonstração, pois para eles são uma verdade óbvia em si.

Por sua vez, Euclides apresenta cinco axiomas para geometria:

1-Dados dois pontos, existe uma linha que os contém ou se junta a eles.

2-Qualquer segmento pode ser estendido continuamente em uma linha ilimitada dos dois lados.

3-Você pode desenhar um círculo que tenha um centro em qualquer ponto e raio.

4-Os ângulos retos são todos iguais.

5-Tomando qualquer linha reta e qualquer ponto que não esteja nela, há uma linha reta paralela a ela e contendo esse ponto. Esse axioma é conhecido, mais tarde, como axioma dos paralelos e também foi declarado como: um único paralelo pode ser traçado por um ponto fora de uma linha.

Contudo, tanto os matemáticos de Euclides quanto os posteriores concordam que o quinto axioma não é tão intuitivamente claro quanto o outro 4. Mesmo durante o Renascimento, um tenta deduzir o quinto do outro 4, mas não é possível.

Isso significava que, no século XIX, aqueles que mantinham os cinco eram a favor da geometria euclidiana e aqueles que negavam a quinta eram aqueles que criaram as geometrias não-euclidianas.

Método axiomático não euclidiano

São precisamente Nikolai Ivanovich Lobachevsky, János Bolyai e Johann Karl Friedrich Gauss que vêem a possibilidade de construir, sem contradição, uma geometria que provém de sistemas de axiomas diferentes dos de Euclides. Isso destrói a crença na verdade absoluta ou a priori dos axiomas e das teorias que deles derivam.

Consequentemente, axiomas começam a ser concebidos como pontos de partida para uma dada teoria. Também a escolha e o problema de sua validade, de uma maneira ou de outra, começam a se relacionar com fatos fora da teoria axiomática.

Dessa forma, teorias geométricas, algébricas e aritméticas aparecem construídas por meio do método axiomático.

Esse estágio culmina com a criação de sistemas axiomáticos para aritmética, como o de Giuseppe Peano, em 1891; a geometria de David Hubert em 1899; as declarações e cálculos predicados de Alfred North Whitehead e Bertrand Russell, na Inglaterra em 1910; a teoria axiomática dos conjuntos de Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo em 1908.

Método axiomático moderno ou formal

É David Hubert quem inicia a concepção de um método axiomático formal e leva ao seu ponto culminante, David Hilbert.

É precisamente Hilbert quem formaliza a linguagem científica , considerando suas afirmações como fórmulas ou sequências de signos que não têm significado em si mesmas. Eles só adquirem significado em uma certa interpretação.

Em ” Os fundamentos da geometria “, o primeiro exemplo desta metodologia é explicado. A partir daqui, a geometria se torna uma ciência de conseqüências lógicas puras, extraídas de um sistema de hipóteses ou axiomas, melhor articulado que o sistema euclidiano.

Isso ocorre porque no sistema antigo a teoria axiomática é baseada na evidência dos axiomas. Enquanto o fundamento da teoria formal é dado pela demonstração da não contradição de seus axiomas.

Passos

O procedimento que realiza uma estruturação axiomática nas teorias científicas reconhece:

a – a escolha de um certo número de axiomas, isto é, um número de proposições de uma certa teoria que são aceitas sem a necessidade de serem demonstradas.

b – os conceitos que fazem parte dessas proposições não são determinados dentro da estrutura da teoria dada.

c – as regras de definição e dedução da teoria dada são definidas e permitem que novos conceitos sejam introduzidos na teoria e deduzam logicamente algumas proposições de outras.

d-as outras proposições da teoria, ou seja, o teorema, são deduzidas de a com base em c.

Exemplos

Este método pode ser verificado através da demonstração dos dois teoremas de Euclides mais conhecidos: o teorema da perna e o teorema da altura.

Ambos surgem da observação desse geômetro grego de que quando a altura é plotada em relação à hipotenusa dentro de um triângulo retângulo, mais dois triângulos do original aparecem. Esses triângulos são semelhantes entre si e ao mesmo tempo semelhantes ao triângulo de origem. Isso pressupõe que seus respectivos lados homólogos sejam proporcionais.

Pode-se observar que os ângulos congruentes nos triângulos dessa maneira verificam a semelhança que existe entre os três triângulos envolvidos de acordo com o critério de similaridade AAA. Este critério sustenta que, quando dois triângulos têm todos os seus ângulos iguais, eles são semelhantes.

Uma vez demonstrado que os triângulos são semelhantes, as proporções especificadas no primeiro teorema podem ser estabelecidas. Ele afirma que em um triângulo retângulo, a medida de cada perna é uma média proporcional geométrica entre a hipotenusa e a projeção da perna nela.

O segundo teorema é o da altura. Especifica que qualquer triângulo retângulo com a altura plotada de acordo com a hipotenusa é uma média proporcional geométrica entre os segmentos que são determinados pela referida média geométrica sobre a hipotenusa.

Obviamente, ambos os teoremas têm inúmeras aplicações em todo o mundo, não apenas no campo do ensino, mas também em engenharia, física, química e astronomia.

Referências

  1. Giovannini, Eduardo N. (2014) Geometria, formalismo e intuição: David Hilbert e o método axiomático formal (1895-1905). Journal of Philosophy, Vol. 39 No. 2, pp. 121-146. Retirado de magazines.ucm.es.
  2. Hilbert, David. (1918) Pensamento axiomático. Em W. Ewald, editor, de Kant a Hilbert: um livro fonte na fundação da matemática. Volume II, pp 1105-1114. Oxford University Press. 2005 a.
  3. Hintikka, Jaako. (2009). Qual é o método axiomático? Synthese, novembro de 2011, volume 189, pp. 69-85. Retirado de link.springer.com.
  4. López Hernández, José. (2005). Introdução à Filosofia do Direito Contemporâneo. (pp. 48-49). Extraído de books.google.com.ar.
  5. Nirenberg, Ricardo. (1996) O método axiomático, uma leitura de Ricardo Nirenberg, outono de 1996, Universidade de Albany, Projeto Renaissance. Retirado de Albany.edu.
  6. Venturi, Giorgio. (2015) Hilbert entre o lado formal e o informal da matemática. Manuscrito vol. 38 no. 2, Campinas, julho / agosto de 2015. Extraído de scielo.br.

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