O método axiomático é uma abordagem utilizada em diversas áreas do conhecimento, como matemática, lógica e filosofia, que se baseia na formulação de axiomas como fundamentos a partir dos quais são deduzidas proposições e teoremas. Caracteriza-se pela sua rigorosidade lógica e pela sua estrutura hierárquica, em que as proposições são derivadas a partir de axiomas previamente estabelecidos.
As etapas do método axiomático geralmente incluem a formulação dos axiomas, definições e postulados básicos, a partir dos quais são estabelecidas as primeiras proposições. Em seguida, são realizadas demonstrações lógicas para derivar novas proposições e teoremas a partir dos axiomas iniciais.
Exemplos clássicos de uso do método axiomático são os Elementos de Euclides na geometria, os Princípios de Newton na física e os Princípios de Hilbert na matemática. Estes sistemas axiomáticos fornecem uma base sólida para o desenvolvimento de teorias e conhecimentos em suas respectivas áreas.
Significado e aplicação de um axioma através de um exemplo prático.
Um axioma é um princípio ou proposição que é considerado evidente por si mesmo e não precisa de demonstração. Na matemática, por exemplo, os axiomas são utilizados como base para a construção de teorias e sistemas formais. Eles são as verdades fundamentais que são aceitas sem questionamento.
Um exemplo prático de axioma é o “Axioma da Comutatividade da Adição”, que afirma que a ordem dos números não altera o resultado da adição. Ou seja, para qualquer dois números a e b, a + b = b + a.
Este axioma é aplicado em diversas áreas da matemática e é essencial para a resolução de problemas envolvendo adição. Por exemplo, se temos os números 3 e 5, pela comutatividade da adição, sabemos que 3 + 5 = 5 + 3 = 8.
Portanto, os axiomas são fundamentais para o desenvolvimento e a compreensão de teorias e sistemas formais, fornecendo as bases sobre as quais todo o conhecimento matemático é construído.
A importância do sistema axiomático na construção lógica e consistente da matemática.
O sistema axiomático é fundamental para a construção lógica e consistente da matemática. Através de axiomas bem definidos e regras de inferência precisas, é possível estabelecer um conjunto de teoremas e demonstrações matemáticas de forma rigorosa e coerente.
Os axiomas são proposições básicas que são tomadas como verdadeiras sem necessidade de demonstração. Eles servem como fundamentos para a construção de toda a estrutura matemática. Por meio dos axiomas, é possível estabelecer as bases sobre as quais os demais resultados matemáticos serão derivados.
Além disso, o sistema axiomático permite a verificação da consistência e da validade dos argumentos matemáticos. Ao seguir as regras estabelecidas pelo sistema axiomático, é possível garantir que as conclusões obtidas a partir dos axiomas sejam corretas e coerentes.
Um dos maiores benefícios do sistema axiomático é a sua capacidade de possibilitar o desenvolvimento de novas teorias e conceitos matemáticos de forma organizada e estruturada. Ao estabelecer um conjunto de axiomas e regras de inferência, os matemáticos conseguem explorar novas áreas de estudo e expandir o conhecimento matemático de maneira sistemática.
Em resumo, o sistema axiomático desempenha um papel fundamental na construção lógica e consistente da matemática, fornecendo as bases necessárias para o desenvolvimento de teorias, resultados e demonstrações matemáticas de forma rigorosa e coerente.
Princípios fundamentais que regem a matemática: quais são os axiomas?
O Método axiomático é uma abordagem fundamental na matemática que se baseia em princípios básicos chamados de axiomas. Esses axiomas são proposições autoevidentes que servem como base para a construção de teorias matemáticas. Eles são as verdades inquestionáveis que sustentam todo o edifício matemático.
Os axiomas são os postulados iniciais a partir dos quais são derivadas todas as demais proposições matemáticas. Eles são considerados como verdadeiros por definição, sem necessidade de demonstração. Alguns exemplos de axiomas fundamentais na matemática são o axioma da existência de números naturais, o axioma da transitividade da igualdade, e o axioma da adição de números reais.
Método axiomático: características, etapas, exemplos
O Método axiomático é caracterizado pela sua rigorosidade lógica e pela sua estrutura formal. Ele consiste em estabelecer um conjunto de axiomas básicos, a partir dos quais são deduzidas as demais proposições matemáticas. O método axiomático é utilizado em diversas áreas da matemática, como álgebra, geometria, e análise matemática.
As etapas do método axiomático envolvem a formulação dos axiomas iniciais, a dedução de teoremas a partir desses axiomas, e a verificação da consistência lógica do sistema matemático construído. É importante ressaltar que o método axiomático permite uma organização clara e precisa do conhecimento matemático, garantindo a sua validade e coerência.
Alguns exemplos de sistemas matemáticos construídos a partir do método axiomático são a geometria euclidiana, a álgebra de Boole, e a teoria dos conjuntos. Esses sistemas são fundamentais para o desenvolvimento da matemática moderna e para a aplicação prática de conceitos matemáticos em diversas áreas do conhecimento.
Entendendo o conceito de um exemplo de teorema de forma simples e clara.
No método axiomático, um dos conceitos fundamentais é o teorema, que consiste em uma proposição que pode ser demonstrada a partir de axiomas e de outros teoremas previamente demonstrados. Um exemplo de teorema é o Teorema de Pitágoras, que estabelece a relação entre os lados de um triângulo retângulo: a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.
Para provar um teorema, é necessário seguir um conjunto de etapas bem definidas. Primeiramente, é preciso enunciar claramente o teorema a ser demonstrado. Em seguida, é necessário apresentar a demonstração de forma lógica, a partir dos axiomas e de outros teoremas já demonstrados.
Um erro comum ao tentar provar um teorema é a falta de rigor na argumentação, o que pode levar a conclusões equivocadas. Por isso, é importante seguir as etapas do método axiomático com precisão e clareza.
Em resumo, o método axiomático utiliza teoremas para estabelecer relações entre conceitos a partir de um conjunto de axiomas. A compreensão do conceito de teorema e a correta aplicação do método são essenciais para o desenvolvimento da matemática e de outras áreas do conhecimento.
Método axiomático: características, etapas, exemplos
O método axiomático ou também chamado axiomático é um procedimento formal usado pelas ciências através do qual são formuladas afirmações ou proposições chamadas axiomas, conectadas entre si por uma relação de dedutibilidade e que são a base das hipóteses ou condições de um determinado sistema.
Essa definição geral deve ser enquadrada na evolução que essa metodologia teve ao longo da história.Primeiro, existe um método antigo ou de conteúdo, nascido na Grécia antiga de Euclides e posteriormente desenvolvido por Aristóteles .
Em segundo lugar, já no século XIX, o aparecimento de uma geometria com axiomas diferentes dos de Euclides. E, finalmente, o método axiomático formal ou moderno, cujo maior expoente foi David Hilbert.
Além de seu desenvolvimento ao longo do tempo, esse procedimento tem sido a base do método dedutivo usado na geometria e na lógica em que se originou. Também tem sido usado em física , química e biologia .
E foi aplicado até dentro da ciência jurídica, sociologia e economia política. No entanto, atualmente sua área de aplicação mais importante é a matemática e a lógica simbólica e alguns ramos da física, como termodinâmica, mecânica, entre outras disciplinas.
Caracteristicas
Embora a característica fundamental desse método seja a formulação de axiomas, eles nem sempre foram considerados da mesma maneira.
Existem alguns que podem ser definidos e construídos de maneira arbitrária. E outros, de acordo com um modelo em que sua verdade é considerada intuitivamente garantida.
Para entender especificamente em que consiste essa diferença e suas conseqüências, é necessário passar pela evolução desse método.
Método axiomático ou de conteúdo antigo
É o estabelecido na Grécia Antiga no século V aC. Sua esfera de aplicação é a geometria. O trabalho fundamental desta etapa são os elementos de Euclides, embora se considere que antes dele, Pitágoras, já havia dado à luz o método axiomático.
Assim, os gregos tomam certos fatos como axiomas, sem exigir nenhuma prova lógica, ou seja, sem a necessidade de demonstração, pois para eles são uma verdade óbvia em si.
Por sua vez, Euclides apresenta cinco axiomas para geometria:
1-Dados dois pontos, existe uma linha que os contém ou se junta a eles.
2-Qualquer segmento pode ser estendido continuamente em uma linha ilimitada dos dois lados.
3-Você pode desenhar um círculo que tenha um centro em qualquer ponto e raio.
4-Os ângulos retos são todos iguais.
5-Tomando qualquer linha reta e qualquer ponto que não esteja nela, há uma linha reta paralela a ela e contendo esse ponto. Esse axioma é conhecido, mais tarde, como axioma dos paralelos e também foi declarado como: um único paralelo pode ser traçado por um ponto fora de uma linha.
Contudo, tanto os matemáticos de Euclides quanto os posteriores concordam que o quinto axioma não é tão intuitivamente claro quanto o outro 4. Mesmo durante o Renascimento, um tenta deduzir o quinto do outro 4, mas não é possível.
Isso significava que, no século XIX, aqueles que mantinham os cinco eram a favor da geometria euclidiana e aqueles que negavam a quinta eram aqueles que criaram as geometrias não-euclidianas.
Método axiomático não euclidiano
São precisamente Nikolai Ivanovich Lobachevsky, János Bolyai e Johann Karl Friedrich Gauss que vêem a possibilidade de construir, sem contradição, uma geometria que provém de sistemas de axiomas diferentes dos de Euclides. Isso destrói a crença na verdade absoluta ou a priori dos axiomas e das teorias que deles derivam.
Consequentemente, axiomas começam a ser concebidos como pontos de partida para uma dada teoria. Também a escolha e o problema de sua validade, de uma maneira ou de outra, começam a se relacionar com fatos fora da teoria axiomática.
Dessa forma, teorias geométricas, algébricas e aritméticas aparecem construídas por meio do método axiomático.
Esse estágio culmina com a criação de sistemas axiomáticos para aritmética, como o de Giuseppe Peano, em 1891; a geometria de David Hubert em 1899; as declarações e cálculos predicados de Alfred North Whitehead e Bertrand Russell, na Inglaterra em 1910; a teoria axiomática dos conjuntos de Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo em 1908.
Método axiomático moderno ou formal
É David Hubert quem inicia a concepção de um método axiomático formal e leva ao seu ponto culminante, David Hilbert.
É precisamente Hilbert quem formaliza a linguagem científica , considerando suas afirmações como fórmulas ou sequências de signos que não têm significado em si mesmas. Eles só adquirem significado em uma certa interpretação.
Em ” Os fundamentos da geometria “, o primeiro exemplo desta metodologia é explicado. A partir daqui, a geometria se torna uma ciência de conseqüências lógicas puras, extraídas de um sistema de hipóteses ou axiomas, melhor articulado que o sistema euclidiano.
Isso ocorre porque no sistema antigo a teoria axiomática é baseada na evidência dos axiomas. Enquanto o fundamento da teoria formal é dado pela demonstração da não contradição de seus axiomas.
Passos
O procedimento que realiza uma estruturação axiomática nas teorias científicas reconhece:
a – a escolha de um certo número de axiomas, isto é, um número de proposições de uma certa teoria que são aceitas sem a necessidade de serem demonstradas.
b – os conceitos que fazem parte dessas proposições não são determinados dentro da estrutura da teoria dada.
c – as regras de definição e dedução da teoria dada são definidas e permitem que novos conceitos sejam introduzidos na teoria e deduzam logicamente algumas proposições de outras.
d-as outras proposições da teoria, ou seja, o teorema, são deduzidas de a com base em c.
Exemplos
Este método pode ser verificado através da demonstração dos dois teoremas de Euclides mais conhecidos: o teorema da perna e o teorema da altura.
Ambos surgem da observação desse geômetro grego de que quando a altura é plotada em relação à hipotenusa dentro de um triângulo retângulo, mais dois triângulos do original aparecem. Esses triângulos são semelhantes entre si e ao mesmo tempo semelhantes ao triângulo de origem. Isso pressupõe que seus respectivos lados homólogos sejam proporcionais.
Pode-se observar que os ângulos congruentes nos triângulos dessa maneira verificam a semelhança que existe entre os três triângulos envolvidos de acordo com o critério de similaridade AAA. Este critério sustenta que, quando dois triângulos têm todos os seus ângulos iguais, eles são semelhantes.
Uma vez demonstrado que os triângulos são semelhantes, as proporções especificadas no primeiro teorema podem ser estabelecidas. Ele afirma que em um triângulo retângulo, a medida de cada perna é uma média proporcional geométrica entre a hipotenusa e a projeção da perna nela.
O segundo teorema é o da altura. Especifica que qualquer triângulo retângulo com a altura plotada de acordo com a hipotenusa é uma média proporcional geométrica entre os segmentos que são determinados pela referida média geométrica sobre a hipotenusa.
Obviamente, ambos os teoremas têm inúmeras aplicações em todo o mundo, não apenas no campo do ensino, mas também em engenharia, física, química e astronomia.
Referências
- Giovannini, Eduardo N. (2014) Geometria, formalismo e intuição: David Hilbert e o método axiomático formal (1895-1905). Journal of Philosophy, Vol. 39 No. 2, pp. 121-146. Retirado de magazines.ucm.es.
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