Módulo de Young: cálculo, aplicações, exemplos, exercícios

O módulo de Young ou módulo de elasticidade é a constante que relaciona a tracção ou de compressão, com o respectivo aumento ou diminuição em comprimento, possuindo o objeto sob essas forças.

As forças externas aplicadas aos objetos podem não apenas mudar seu estado de movimento, mas também são capazes de mudar de forma ou até mesmo quebrá-las ou fraturá-las.

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Figura 1. Os movimentos do gato são cheios de elasticidade e graça. Fonte: Pixabay

O módulo de Young é usado para estudar as alterações produzidas em um material quando uma força de tração ou compressão é aplicada externamente. É muito útil em assuntos como engenharia ou arquitetura.

Qual é o modelo de Young?

Quanto um objeto pode ser deformado? Isso é algo que os engenheiros geralmente querem saber. A resposta dependerá das propriedades do material e de suas dimensões.

Por exemplo, duas barras de alumínio com diferentes dimensões podem ser comparadas. Cada um tem uma área de seção transversal e comprimento diferentes, e ambos são submetidos à mesma força de tração.

O comportamento esperado será o seguinte:

– Quanto mais espessa (seção transversal) da barra, menos esticada.

– Quanto maior o comprimento inicial, maior o alongamento final.

Isso faz sentido, porque, afinal, a experiência indica que não é o mesmo tentar deformar um elástico do que tentar fazê-lo com uma barra de aço.

Um parâmetro chamado módulo de elasticidade do material é uma indicação de sua resposta elástica. O módulo de elasticidade é nomeado em homenagem a Thomas Young (1773-1829), um cientista britânico versátil que fez grandes contribuições para a ciência em muitas áreas.

Como físico, Young não apenas estudou a natureza ondulatória da luz, revelada com o famoso experimento de dupla fenda, mas também foi médico, linguista e até contribuiu para decifrar parte dos hieróglifos egípcios da famosa pedra de Roseta.

Como é calculado?

Sendo médico, Young queria conhecer o papel da elasticidade das artérias no bom desempenho da circulação sanguínea. A partir de suas experiências, ele concluiu a seguinte relação empírica:

A tensão é proporcional à deformação, desde que o limite elástico do material não seja excedido.

É possível representar graficamente o comportamento de um material antes da aplicação de um esforço, conforme mostrado na figura a seguir.

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Figura 2. Gráfico de tensão versus deformação para um material. Fonte: elaboração própria.

Da origem ao ponto A

Na primeira seção, que vai da origem ao ponto A, o gráfico é uma linha reta. Existe a lei de Hooke válida:

F = kx

Onde F é a magnitude da força que retorna o material ao seu estado original, x é a deformação experimentada por ele e k é uma constante que depende do objeto sujeito à tensão.

As deformações consideradas aqui são pequenas e o comportamento é perfeitamente elástico.

De A a B

De A a B, o material também se comporta de maneira elástica, mas a relação entre tensão e deformação não é mais linear.

De B ​​para C

Entre os pontos B e C, o material sofre deformação permanente, não podendo retornar ao seu estado original.

De C

Se o material continuar a esticar do ponto C, ele eventualmente sofrerá uma pausa.

Matematicamente, as observações de Young podem ser resumidas da seguinte forma:

Esforço ∝ Deformação

Onde a constante de proporcionalidade é precisamente o módulo de elasticidade do material:

Esforço = Módulo de elasticidade x Deformação

Existem muitas maneiras de deformar os materiais. Os três tipos mais comuns de esforço para enviar um objeto são:

– tensão ou alongamento.

Compressão.

– Corte ou cisalhamento.

Um esforço ao qual os materiais são comumente submetidos, por exemplo na construção civil ou em peças automotivas, é a tração.

Fórmulas

Quando um objeto de comprimento L é esticado ou esticado, ele está sendo sujeito a tração que causa uma variação em seu comprimento. Um esboço dessa situação é representado na Figura 3.

Isso requer que uma força de magnitude F por unidade de área seja aplicada em suas extremidades, para causar alongamento, de modo que seu novo comprimento se torne L + DL.

O esforço feito para deformar o objeto será precisamente essa força por unidade de área, enquanto a deformação unitária experimentada é ΔL / L.

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Figura 3. Um objeto sujeito a tração ou alongamento experimenta alongamento. Fonte: elaboração própria.

Denotando o módulo de Young como Y e como mencionado acima:

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A resposta está no fato de que a deformação unitária indica a deformação relativa em relação ao comprimento original. Não é o mesmo que uma barra de 1 m que se estende ou encolhe 1 cm, de modo que uma estrutura de 100 metros de comprimento também deforma 1 cm.

Para o bom funcionamento de peças e estruturas, há uma tolerância em relação às deformações relativas permitidas.

Equação para calcular a deformação

Se a equação anterior for analisada da seguinte forma:

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– Quanto maior a área da seção transversal, menor a deformação.

– Maior comprimento, maior deformação.

– Quanto maior o módulo de Young, menor a deformação.

As unidades de esforço correspondem a newton / metro quadrado (N / m 2 ). Eles também são as unidades de pressão, que no Sistema Internacional são nomeadas Pascal. A deformação unitária ΔL / L, por outro lado, é adimensional porque é a razão entre dois comprimentos.

As unidades do sistema em inglês são lb / in 2 e também são usadas com muita frequência. O fator de conversão para alternar entre eles é: 14,7 lb / in 2 = 1,01325 x 10 5 Pa

Isso leva ao módulo de Young também tendo unidades de pressão. Finalmente, a equação anterior pode ser expressa para limpar Y :

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Na ciência dos materiais, a resposta elástica destes a vários esforços é importante para selecionar o mais apropriado em cada aplicação, seja fabricando a asa de uma aeronave ou um rolamento automotivo. As características do material a ser usado são decisivas na resposta esperada dele.

Para escolher o melhor material, é necessário conhecer os esforços aos quais uma determinada peça será submetida; e, consequentemente, selecione o material que possui as propriedades mais consistentes com o design.

Por exemplo, a asa de um avião deve ser forte, leve e capaz de flexionar. Os materiais utilizados na construção dos edifícios devem suportar movimentos sísmicos em grande medida, mas também devem ter alguma flexibilidade.

Os engenheiros que projetam as asas da aeronave e também os que escolhem os materiais de construção devem usar gráficos de tensão-deformação, como mostra a Figura 2.

É possível realizar as medições para determinar as propriedades elásticas mais relevantes de um material em laboratórios especializados. Assim, existem testes padronizados aos quais as amostras são submetidas, às quais vários esforços são aplicados, medindo as deformações resultantes.

Exemplos

Como mencionado anteriormente, Y não depende do tamanho ou da forma do objeto, mas das características do material.

Outra observação muito importante: para que a equação acima seja aplicável, o material deve ser isotrópico , ou seja, suas propriedades devem permanecer inalteradas por toda a sua totalidade.

Nem todos os materiais são isotrópicos: existem aqueles cuja resposta elástica depende de certos parâmetros direcionais.

A deformação analisada nos segmentos anteriores é apenas uma das muitas às quais um material pode ser submetido. Por exemplo, em termos de esforço de compressão, é o oposto do estresse por tensão.

As equações dadas se aplicam a ambos os casos, e quase sempre os valores de Y são os mesmos (materiais isotrópicos).

Uma exceção notável é o concreto ou cimento, que resiste melhor à compressão do que à tração. Portanto, deve ser reforçado quando for necessária resistência ao alongamento. O aço é o material indicado para isso, porque resiste a esticar ou puxar muito bem.

Como exemplos de estruturas sob estresse estão as colunas de edifícios e arcos, elementos clássicos de construção em muitas civilizações antigas e modernas.

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Figura 4. O Pont Julien, uma construção romana do ano 3 aC no sul da França.

Exercícios resolvidos

Exercício 1

Um fio de aço de 2,0 m de comprimento em um instrumento musical tem um raio de 0,03 mm. Quando o cabo está sob uma tensão de 90 N: quanto muda seu comprimento? Fato : O módulo de aço de Young é de 200 x 10 9 N / m 2

Solução

É necessário calcular a área de seção transversal A = πR 2 = π. (0,03 x 10 -3 m) 2 = 2,83 x 10 -9 m 2

O esforço é a tensão por unidade de área:

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Como a corda está sob tensão, isso significa que ela se alonga.

O novo comprimento é L = L ou + DL, onde L o é o comprimento inicial:

L = 2,32 m

Exercício 2

Uma coluna de mármore, cuja área de seção transversal é de 2,0 m 2, suporta uma massa de 25.000 kg. Localizar:

a) O esforço na coluna.

b) Deformação unitária.

c) Quanto a coluna é encurtada se a sua altura for de 12 m?

Fato : O módulo de mármore de Young é de 50 x 10 9 N / m 2

Solução

a) O esforço na coluna é devido ao peso de 25000 kg:

P = mg = 25000 kg x 9,8 m / s 2 = 245.000 N

Portanto, o esforço é:

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ΔL = 2,45 x 10 -6 x 12 m = 2,94 x 10 -5 m = 0,0294 mm.

Não se espera que a coluna de mármore encolha significativamente. Observe que, embora o módulo de Young seja menor em mármore do que em aço, e que a coluna também tenha uma força muito maior, seu comprimento dificilmente varia.

Por outro lado, na sequência do exemplo anterior, a variação é muito mais perceptível, embora o aço tenha um módulo de Young muito maior.

Sua grande área de seção transversal intervém na coluna e, portanto, é muito menos deformável.

Referências

  1. Bauer, W. 2011. Física para Engenharia e Ciência. Volume 1. Mac Graw Hill. 422-527.
  2. Giancoli, D. 2006. Física: Princípios com Aplicações. Sexta Edição Prentice Hall. 238-249.

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