Números complexos: propriedades, exemplos, operações

Números complexos: propriedades, exemplos, operações

Os números complexos são o conjunto numérico que abrange números reais e todas as raízes dos polinômios, incluindo pares de raízes de números negativos. Essas raízes não existem no conjunto de números reais, mas em números complexos é a solução.

Um número complexo consiste em uma parte real e outra chamada “imaginário”. A parte real é chamada a , por exemplo, e a parte imaginária  ib , com números reais a e b e “i” como a unidade imaginária . Dessa maneira, o número complexo assume a forma:

z = a + ib

Exemplos de números complexos são 2 – 3i, -πi, 1 + (1/2) i. Mas antes de operar com eles, vamos ver onde a unidade imaginária i se origina , considerando esta equação quadrática:

x 2 – 10x + 34 = 0

Em que a = 1, b = -10 ec = 34.

Quando a fórmula de solução é aplicada para determinar a solução, encontramos o seguinte:

Como determinar o valor de √-36? Não há um número real que ao quadrado resulte em uma quantidade negativa. Portanto, conclui-se que essa equação não possui soluções reais.

No entanto, podemos escrever o seguinte:

√-36 = √-6 2 = √6 2 (-1) = 6√-1

Se definirmos um determinado valor x tal que:

x 2 = -1

Assim:

x = ± √-1

E a equação anterior teria uma solução. Portanto, a unidade imaginária foi definida como:

i = √-1

E assim:

√-36 = 6i

Muitos matemáticos da antiguidade trabalharam para resolver problemas semelhantes, destacando o Renascimento Girolamo Cardano (1501-1576), Nicolo Fontana (1501-1557) e Raffaele Bombelli (1526-1572).

Anos depois, René Descartes (1596-1650) chamou quantidades “imaginárias” como √-36 no exemplo. Por esse motivo, √-1 é conhecida como unidade imaginária .

Propriedades de números complexos

-O conjunto de números complexos é indicado como C e inclui os números reais R e os números imaginários Im. Os conjuntos numéricos são representados em um diagrama de Venn, conforme mostrado na figura a seguir:

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– Qualquer número complexo consiste em uma parte real e uma parte imaginária.

-Quando a parte imaginária de um número complexo é 0, é um número real puro.

-Se a parte real de um número complexo é 0, então o número é puro imaginário.

-Dois números complexos são os mesmos, se a respectiva parte real e imaginária forem iguais.

-Com os números complexos são realizadas as operações conhecidas de adição, subtração, multiplicação, produto e aprimoramento, resultando em outro número complexo.

Representação de números complexos

Números complexos podem ser representados de várias maneiras. Aqui estão os principais:

– Forma binômica

É a forma dada no início, onde z é o número complexo, a é a parte real, b é a parte imaginária e i é a unidade imaginária:

z = a + ib

Ou também:

z = x + iy

Uma maneira de representar graficamente o número complexo é através do plano complexo mostrado nesta figura. O eixo imaginário Im é vertical, enquanto o eixo real é horizontal e é denotado como Re.

O número complexo z é representado neste plano como um ponto de coordenada (x, y) ou (a, b), assim como os pontos no plano real.

A distância da origem ao ponto z é o módulo do número complexo, denotado como r , enquanto φ é o ângulo que r forma com o eixo real.

Essa representação está intimamente relacionada à dos vetores no plano real. O valor de r corresponde ao módulo do número complexo.

– Forma polar

A forma polar é para expressar o número complexo, dando os valores de r e φ . Se olharmos para a figura, o valor de r corresponde à hipotenusa de um triângulo retângulo. As pernas são dignos de um e b , ou x e y .

Da forma binomial ou binomial, podemos passar para a forma polar:

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r = √x 2 + y 2

O ângulo φ é aquele formado pelo segmento r com o eixo horizontal ou eixo imaginário. É conhecido como um argumento numérico complexo. Desta maneira:

φ = arctg (y / x)

O argumento tem valores infinitos, levando em consideração que cada vez que um turno é girado, que vale 2π radianos, r ocupa a mesma posição novamente. Assim, em geral, o argumento de z, denotado Arg (z), é expresso assim:

Arg (z) = φ + 2kπ

Onde k é um número inteiro e serve para indicar o número de voltas giradas: 2, 3, 4…. O sinal indica a direção da curva, seja no sentido horário ou anti-horário.

E se queremos ir da forma polar para a forma binomial, usamos as razões trigonométricas. A partir da figura anterior, podemos ver que:

x = r cos φ

y = r sin φ

Assim z = r (cos φ + i sen φ)

Que é abreviado assim:

z = r cis φ

Exemplos de números complexos

Os seguintes números complexos são dados na forma binomial:

a) 3 + i

b) 4

d) -6i

E estes em forma de par ordenado:

a) (-5, -3)

b) (0, 9)

c) (7.0)

Finalmente, esse grupo é dado na forma polar ou trigonométrica:

a) √2 cis 45º

b) √3 cis 30º

c) 2 cis 315º

Para que servem?

A utilidade de números complexos vai além da resolução da equação quadrática mostrada no início, uma vez que são essenciais no campo da engenharia e da física, especialmente em:

-O estudo das ondas eletromagnéticas

-Análise de corrente alternada e tensão

-A modelagem de todos os tipos de sinais

Teoria da relatividade, onde o tempo é assumido como uma magnitude imaginária.

Operações com números complexos

Com números complexos, podemos executar todas as operações que são feitas com reais. Alguns são mais fáceis de fazer se os números vierem na forma binomial, como adição e subtração. Por outro lado, multiplicação e divisão são mais simples se forem realizadas com a forma polar.

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Vamos ver alguns exemplos:

– Exemplo 1

Adicione z 1 = 2 + 5i e z 2 = -3 -8i

Solução

As partes reais são adicionadas separadamente das partes imaginárias:

z 1 + z 2 = (2 + 5i) + (-3 -8i) = -1 -3i

– exemplo 2

Multiplique z 1 = 4 cis 45º e z 2 = 5 cis 120º

Solução

Pode-se demonstrar que o produto de dois números complexos na forma polar ou trigonométrica é dado por:

z 1 . z 2 = r 1 .r 2 cis (φ 1 + φ 2 )

De acordo com isso:

z 1 . z 2 = (4 × 5) cis (45 + 120) = 20 cis 165º

Inscrição

Uma aplicação simples de números complexos é encontrar todas as raízes de uma equação polinomial como a mostrada no início do artigo.

No caso da equação x 2 – 10x + 34 = 0, aplicando a fórmula de resolução, obtemos:

Portanto, as soluções são:

x 1 = 5 + 3i

x 2 = 5 – 3i

Referências

  1. Earl, R. Números complexos. Recuperado de: maths.ox.ac.uk.
  2. Figuera, J. 2000. Matemática 1st. Diversificado. Edições CO-BO.
  3. Hoffmann, J. 2005. Seleção de tópicos de matemática. Publicações de Monfort.
  4. Jiménez, R. 2008. Álgebra. Prentice Hall.
  5. Wikipedia. Números complexos. Recuperado de: en.wikipedia.org

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