Números irracionais: história, propriedades, classificação, exemplos

Números irracionais: história, propriedades, classificação, exemplos

Os números irracionais são aqueles cuja expressão possui números decimais infinitos sem um padrão de repetição, portanto, não podem ser obtidos a partir da razão entre dois inteiros.

Entre os números irracionais mais conhecidos estão:

Entre eles, sem dúvida, π (pi) é o mais familiar, mas há muitos mais. Todos eles pertencem ao conjunto de números reais, que é o conjunto numérico que agrupa números racionais e irracionais.

As reticências da figura 1 indicam que os decimais continuam indefinidamente, o que acontece é que o espaço das calculadoras atuais permite apenas mostrar alguns.

Se observarmos com cuidado, sempre que fizermos o quociente entre dois números inteiros, obteremos um decimal com números limitados ou, se não, com números infinitos nos quais um ou mais são repetidos. Bem, isso não acontece com números irracionais.

História de números irracionais

O grande matemático antigo Pitágoras, nascido em 582 aC em Samos, Grécia, fundou a escola de pensamento pitagórica e descobriu o famoso teorema que leva seu nome. Temos aqui embaixo, à esquerda (os babilônios já sabiam disso há muito tempo).

Bem, quando Pitágoras (ou provavelmente um discípulo seu) aplicou o teorema a um triângulo retângulo com lados iguais a 1, ele encontrou o número irracional √2.

Ele fez assim:

c = √1 2 + 1 2 = √1 + 1 = √2

E ele imediatamente percebeu que esse novo número não vinha do quociente entre dois outros números naturais, que eram os conhecidos na época.

Portanto, ele chamou isso de irracional , e a descoberta causou grande ansiedade e confusão entre os pitagóricos.

Propriedades de números irracionais

-O conjunto de todos os números irracionais é indicado com a letra I e às vezes como Q * ou Q C . A união entre os números irracionais I ou Q * e os números racionais Q, dá origem ao conjunto de números reais R.

-Com os números irracionais, as operações aritméticas conhecidas podem ser realizadas: adição, subtração, multiplicação, divisão, capacitação e muito mais.

-A divisão por 0 também não é definida entre os números irracionais.

-A soma e o produto entre números irracionais não é necessariamente outro número irracional. Por exemplo:

√2 x √8 = √16 = 4

E 4 não é um número irracional.

-No entanto, a soma de um número racional mais um número irracional resulta em um número irracional. Desta maneira:

1 + √2 = 2,41421356237…

-O produto de um número racional diferente de 0 por um número irracional também é irracional. Vamos ver este exemplo:

2 x √2 = 2,828427125…

-O inverso de um irracional resulta em outro número irracional. Vamos tentar alguns:

1 / √2 = 0,707106781 …

1 / √3 = 0,577350269…

Esses números são interessantes porque também são os valores de algumas razões trigonométricas de ângulos conhecidos. Muitas das taxas trigonométricas são números irracionais, mas há exceções, como sin 30º = 0,5 = ½, o que é racional.

– Na soma, as propriedades comutativas e associativas são cumpridas. Se aeb são dois números irracionais, isso significa que:

a + b = b + a.

E se c é outro número irracional, então:

(a + b) + c = a + (b + c).

-A propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição é outra propriedade bem conhecida que também é verdadeira para números irracionais. Neste caso:

Dê sua nota! Dê sua nota!

Um irracional a tem seu oposto: -a. Quando somados, o resultado é 0:

a + (- a) = 0

Entre duas razões diferentes, há pelo menos um número irracional.

Localizando um número irracional na linha real

A linha real é uma linha horizontal onde estão localizados os números reais, dos quais os irracionais são uma parte importante.

Para encontrar um número irracional na reta real, na forma geométrica, podemos usar o teorema de Pitágoras, uma régua e uma bússola.

Como exemplo, vamos localizar √5 na linha real, para a qual desenhamos um triângulo retângulo com os lados x = 2 e y = 1 , como mostra a figura:

Pelo teorema de Pitágoras, a hipotenusa desse triângulo é:

c = √2 2 + 1 2 = √4 + 1 = √5

Agora coloque a bússola com o ponto em 0, onde também há um dos vértices do triângulo retângulo. A ponta do lápis da bússola deve estar no vértice A.

É desenhado um arco de circunferência que corta a linha real. Como a distância entre o centro do círculo e qualquer ponto nele é o raio, que é √5, o ponto de interseção também é √5 do centro.

A partir do gráfico, pode ser visto que √5 está entre 2 e 2,5. Uma calculadora nos oferece o valor aproximado de:

√5 = 2.236068

E assim, construindo um triângulo com os lados apropriados, outros irracionais podem ser localizados, como √7 e outros.

Classificação de números irracionais

Os números irracionais são classificados em dois grupos:

-Algebraic

-Transcendente ou transcendental

Números algébricos

Os números algébricos, que podem ou não ser irracionais, são soluções de equações polinomiais cuja forma geral é:

a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 +…. + a 1 x + a o = 0

Um exemplo de uma equação polinomial é uma equação quadrática como esta:

x 3 – 2x = 0

É fácil mostrar que o número irracional √2 é uma das soluções dessa equação.

Números transcendentes

Em contraste, números transcendentes, embora irracionais, nunca surgem como uma solução para uma equação polinomial.

Os números transcendentes mais freqüentemente encontrados na matemática aplicada são π, devido à sua relação com a circunferência e o número e, ou número de Euler, que é a base dos logaritmos neperianos.

Exercício

Em um quadrado preto, um cinza é colocado na posição indicada na figura. Sabe-se que a superfície do quadrado preto é de 64 cm 2 . Quanto valem os comprimentos de ambos os quadrados?

Responda

A superfície de um quadrado do lado L é:

A = L 2

Como o quadrado preto tem 64 cm 2 de área, seu lado deve ter 8 cm.

Essa medida é igual à diagonal do quadrado cinza. Aplicando o teorema de Pitágoras nessa diagonal, e lembrando que os lados de um quadrado medem o mesmo, teremos:

8 2 = L g 2 + L g 2

Onde L g é o lado do quadrado cinza.

Portanto: 2L g 2 = 8 2

Aplicando raiz quadrada aos dois lados da igualdade:

L g = (8 / √2) cm

Referências

  1. Carena, M. 2019. Manual de Matemática Pré-Universidade. Universidade Nacional do Litoral.
  2. Figuera, J. 2000. Matemática 9th. Grau. Edições CO-BO.
  3. Jiménez, R. 2008. Álgebra. Prentice Hall.
  4. Portal Educacional. Números irracionais e suas propriedades. Recuperado de: portaleducativo.net.
  5. Wikipedia. Números irracionais. Recuperado de: es.wikipedia.org.

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