Os números irracionais são uma categoria de números reais que não podem ser expressos como uma fração de dois números inteiros. Eles possuem uma história fascinante que remonta à Grécia Antiga, quando os matemáticos perceberam a existência de números que não podiam ser representados como uma razão simples.
Os números irracionais possuem propriedades peculiares, como serem infinitos e não periódicos quando expressos na forma decimal. Eles podem ser classificados em algumas categorias, como transcendentais e algébricos, dependendo de suas relações com raízes de polinômios.
Alguns exemplos de números irracionais famosos incluem o número pi (π), a constante de Euler (e) e a raiz quadrada de 2 (√2). Esses números desempenham um papel crucial em diversas áreas da matemática e da física, e continuam a intrigar e desafiar os matemáticos até os dias de hoje.
Quais características definem os números irracionais?
Os números irracionais são um tipo de número que não pode ser expresso como uma fração simples de dois números inteiros. Eles são caracterizados por terem uma expansão decimal infinita e não periódica. Em outras palavras, não é possível escrever um número irracional como uma fração com um numerador e um denominador finitos.
Além disso, os números irracionais não podem ser representados por uma raiz exata de um número inteiro. Por exemplo, a raiz quadrada de 2 é um número irracional, pois não pode ser expressa como uma fração simples. Outro exemplo comum de número irracional é o número pi (π), que é a razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro.
Os números irracionais são infinitos e não repetitivos, o que os torna diferentes dos números racionais, que podem ser expressos como frações finitas ou decimais periódicas. Eles são uma parte importante da matemática e têm propriedades únicas que os distinguem de outros tipos de números.
Eles desempenham um papel fundamental na matemática e são essenciais para muitos cálculos e teoremas.
Classificação dos números irracionais: entenda como são categorizados os números sem fração.
Os números irracionais são aqueles que não podem ser expressos como uma fração simples. Eles são infinitos e não periódicos, o que os torna diferentes dos números racionais. Esses números são categorizados de acordo com suas propriedades matemáticas específicas.
Existem diferentes formas de classificar os números irracionais. Um dos critérios de classificação é se eles são algébricos ou transcendentes. Os números irracionais algébricos são raízes de equações polinomiais com coeficientes inteiros. Por outro lado, os números irracionais transcendentes não podem ser raízes de nenhum polinômio com coeficientes inteiros.
Outra forma de classificação dos números irracionais é se eles são quadráticos ou não quadráticos. Os números irracionais quadráticos são raízes de equações quadráticas com coeficientes inteiros, como a raiz quadrada de 2. Já os números irracionais não quadráticos não podem ser expressos como raízes de equações quadráticas.
É importante entender a classificação dos números irracionais para compreender melhor suas propriedades e comportamentos matemáticos. Saber distinguir entre números irracionais algébricos e transcendentes, bem como entre números irracionais quadráticos e não quadráticos, pode auxiliar na resolução de problemas matemáticos mais complexos.
Origem e significado dos números irracionais: descubra a história por trás desses valores matemáticos.
Números irracionais são valores matemáticos que não podem ser expressos como uma fração simples de dois números inteiros. Eles surgiram na história da matemática como uma descoberta surpreendente e intrigante. A origem dos números irracionais remonta à antiga Grécia, quando os matemáticos perceberam que algumas medidas simplesmente não podiam ser representadas por números racionais.
Os números irracionais foram inicialmente considerados perturbadores e até mesmo “irracionais” por causa de sua natureza imprevisível. No entanto, ao longo do tempo, eles se tornaram uma parte essencial da matemática, desempenhando um papel crucial em diversas áreas, como geometria, álgebra e análise matemática.
Uma das propriedades mais intrigantes dos números irracionais é o fato de que eles são infinitos e não periódicos. Isso significa que sua representação decimal se estende para sempre, sem um padrão repetitivo. Essa característica única os diferencia dos números racionais, que têm uma representação decimal finita ou periódica.
Os números irracionais podem ser classificados em diferentes categorias, dependendo de suas propriedades matemáticas. Alguns exemplos famosos de números irracionais incluem a raiz quadrada de 2, o número pi e o número de Euler. Esses valores desempenham um papel fundamental em diversas equações e teoremas matemáticos, mostrando sua importância na ciência e na tecnologia.
Sua natureza imprevisível e infinita os torna objetos de estudo interessantes para os matemáticos, que continuam a desvendar seu significado e aplicações em diferentes áreas do conhecimento.
Exemplo de número irracional: o que é e como identificar.
Números irracionais: história, propriedades, classificação, exemplos. Os números irracionais são aqueles que não podem ser expressos como uma fração de dois números inteiros. Eles possuem infinitas casas decimais não periódicas, ou seja, não podem ser escritos de forma exata em forma de fração. Um exemplo clássico de número irracional é o número pi (π), que representa a relação entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro.
Para identificar um número como irracional, é necessário verificar se ele não pode ser escrito na forma de uma fração simples. Se a sua representação decimal não se repete e não tem um padrão, é muito provável que seja um número irracional. Além disso, é importante lembrar que os números irracionais estão presentes em diversas situações do cotidiano, como em medidas de tempo, distância, área e volume.
Os números irracionais desempenham um papel fundamental na matemática e na física, sendo essenciais para o avanço da ciência e da tecnologia. Eles são utilizados em cálculos complexos, em teorias matemáticas avançadas e em diversas aplicações práticas do dia a dia.
Eles possuem propriedades únicas e desempenham um papel crucial em diversas áreas do conhecimento humano.
Números irracionais: história, propriedades, classificação, exemplos
Os números irracionais são aqueles cuja expressão possui números decimais infinitos sem um padrão de repetição, portanto, não podem ser obtidos a partir da razão entre dois inteiros.
Entre os números irracionais mais conhecidos estão:
Entre eles, sem dúvida, π (pi) é o mais familiar, mas há muitos mais. Todos eles pertencem ao conjunto de números reais, que é o conjunto numérico que agrupa números racionais e irracionais.
As reticências da figura 1 indicam que os decimais continuam indefinidamente, o que acontece é que o espaço das calculadoras atuais permite apenas mostrar alguns.
Se observarmos com cuidado, sempre que fizermos o quociente entre dois números inteiros, obteremos um decimal com números limitados ou, se não, com números infinitos nos quais um ou mais são repetidos. Bem, isso não acontece com números irracionais.
História de números irracionais
O grande matemático antigo Pitágoras, nascido em 582 aC em Samos, Grécia, fundou a escola de pensamento pitagórica e descobriu o famoso teorema que leva seu nome. Temos aqui embaixo, à esquerda (os babilônios já sabiam disso há muito tempo).
Bem, quando Pitágoras (ou provavelmente um discípulo seu) aplicou o teorema a um triângulo retângulo com lados iguais a 1, ele encontrou o número irracional √2.
Ele fez assim:
c = √1 2 + 1 2 = √1 + 1 = √2
E ele imediatamente percebeu que esse novo número não vinha do quociente entre dois outros números naturais, que eram os conhecidos na época.
Portanto, ele chamou isso de irracional , e a descoberta causou grande ansiedade e confusão entre os pitagóricos.
Propriedades de números irracionais
-O conjunto de todos os números irracionais é indicado com a letra I e às vezes como Q * ou Q C . A união entre os números irracionais I ou Q * e os números racionais Q, dá origem ao conjunto de números reais R.
-Com os números irracionais, as operações aritméticas conhecidas podem ser realizadas: adição, subtração, multiplicação, divisão, capacitação e muito mais.
-A divisão por 0 também não é definida entre os números irracionais.
-A soma e o produto entre números irracionais não é necessariamente outro número irracional. Por exemplo:
√2 x √8 = √16 = 4
E 4 não é um número irracional.
-No entanto, a soma de um número racional mais um número irracional resulta em um número irracional. Desta maneira:
1 + √2 = 2,41421356237…
-O produto de um número racional diferente de 0 por um número irracional também é irracional. Vamos ver este exemplo:
2 x √2 = 2,828427125…
-O inverso de um irracional resulta em outro número irracional. Vamos tentar alguns:
1 / √2 = 0,707106781 …
1 / √3 = 0,577350269…
Esses números são interessantes porque também são os valores de algumas razões trigonométricas de ângulos conhecidos. Muitas das taxas trigonométricas são números irracionais, mas há exceções, como sin 30º = 0,5 = ½, o que é racional.
– Na soma, as propriedades comutativas e associativas são cumpridas. Se aeb são dois números irracionais, isso significa que:
a + b = b + a.
E se c é outro número irracional, então:
(a + b) + c = a + (b + c).
-A propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição é outra propriedade bem conhecida que também é verdadeira para números irracionais. Neste caso:
Dê sua nota! Dê sua nota!
Um irracional a tem seu oposto: -a. Quando somados, o resultado é 0:
a + (- a) = 0
Entre duas razões diferentes, há pelo menos um número irracional.
Localizando um número irracional na linha real
A linha real é uma linha horizontal onde estão localizados os números reais, dos quais os irracionais são uma parte importante.
Para encontrar um número irracional na reta real, na forma geométrica, podemos usar o teorema de Pitágoras, uma régua e uma bússola.
Como exemplo, vamos localizar √5 na linha real, para a qual desenhamos um triângulo retângulo com os lados x = 2 e y = 1 , como mostra a figura:
Pelo teorema de Pitágoras, a hipotenusa desse triângulo é:
c = √2 2 + 1 2 = √4 + 1 = √5
Agora coloque a bússola com o ponto em 0, onde também há um dos vértices do triângulo retângulo. A ponta do lápis da bússola deve estar no vértice A.
É desenhado um arco de circunferência que corta a linha real. Como a distância entre o centro do círculo e qualquer ponto nele é o raio, que é √5, o ponto de interseção também é √5 do centro.
A partir do gráfico, pode ser visto que √5 está entre 2 e 2,5. Uma calculadora nos oferece o valor aproximado de:
√5 = 2.236068
E assim, construindo um triângulo com os lados apropriados, outros irracionais podem ser localizados, como √7 e outros.
Classificação de números irracionais
Os números irracionais são classificados em dois grupos:
-Algebraic
-Transcendente ou transcendental
Números algébricos
Os números algébricos, que podem ou não ser irracionais, são soluções de equações polinomiais cuja forma geral é:
a n x n + a n-1 x n-1 + a n-2 x n-2 +…. + a 1 x + a o = 0
Um exemplo de uma equação polinomial é uma equação quadrática como esta:
x 3 – 2x = 0
É fácil mostrar que o número irracional √2 é uma das soluções dessa equação.
Números transcendentes
Em contraste, números transcendentes, embora irracionais, nunca surgem como uma solução para uma equação polinomial.
Os números transcendentes mais freqüentemente encontrados na matemática aplicada são π, devido à sua relação com a circunferência e o número e, ou número de Euler, que é a base dos logaritmos neperianos.
Exercício
Em um quadrado preto, um cinza é colocado na posição indicada na figura. Sabe-se que a superfície do quadrado preto é de 64 cm 2 . Quanto valem os comprimentos de ambos os quadrados?
Responda
A superfície de um quadrado do lado L é:
A = L 2
Como o quadrado preto tem 64 cm 2 de área, seu lado deve ter 8 cm.
Essa medida é igual à diagonal do quadrado cinza. Aplicando o teorema de Pitágoras nessa diagonal, e lembrando que os lados de um quadrado medem o mesmo, teremos:
8 2 = L g 2 + L g 2
Onde L g é o lado do quadrado cinza.
Portanto: 2L g 2 = 8 2
Aplicando raiz quadrada aos dois lados da igualdade:
L g = (8 / √2) cm
Referências
- Carena, M. 2019. Manual de Matemática Pré-Universidade. Universidade Nacional do Litoral.
- Figuera, J. 2000. Matemática 9th. Grau. Edições CO-BO.
- Jiménez, R. 2008. Álgebra. Prentice Hall.
- Portal Educacional. Números irracionais e suas propriedades. Recuperado de: portaleducativo.net.
- Wikipedia. Números irracionais. Recuperado de: es.wikipedia.org.