Até mesmo os números são todos aqueles que podem ser divididos exatamente por 2, por exemplo 0, 2, 4, 6, 8 10, 12, 14, 16, 18 … Entre os números negativos também são pares: -2, -4, – 6, -8, -10 …
Se observarmos atentamente os números que seguem 8 na sequência de números positivos: 10, 12, 14, 16 e 18, pode-se ver que eles terminam em 0, 2, 4, 6 e 8, respectivamente. Com isso em mente, os seguintes números pares podem ser construídos: 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38 …
Conclui-se que, para identificar qualquer par, não importa o tamanho, ou se possui um sinal negativo, é analisado o dígito em que termina. Se for 0, 2, 4, 6 ou 8, estamos na presença de um número par. Por exemplo: 1554, 3578, -105.962 e assim por diante.
Como todo número par é divisível por exatamente 2, podemos obter um número par de qualquer outro simplesmente multiplicando por 2. Segue-se que a forma geral de qualquer número par é:
2n
Onde n é um número inteiro: … -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5, …
E os números que estão entre os pares, como 3, 5, 7 e mais?
Bem, eles são os números ímpares . Dessa maneira, os números inteiros podem ser classificados nessas duas grandes categorias: pares e ímpares. Essa qualidade dos números é chamada paridade .
E, como podemos ver pelas seqüências numéricas, os números pares e ímpares são intercalados, ou seja, se começarmos com 0, que é par, segue 1, que é ímpar, depois 2, que é par e depois 3, que é ímpar e assim por diante.
Exemplos de números pares
Contanto que existam quantidades inteiras, algumas delas podem ser uniformes e estão presentes na natureza e em muitas situações da vida real. Se temos uma certa quantidade com a qual grupos de dois podem ser formados, essa quantidade é uniforme. Por exemplo:
-No total, os dedos são 10, que é um número par. Também temos um número par de olhos, braços, ouvidos, pernas e pés.
-Os insetos têm 2 pares de asas quase sempre, ou seja, possuem 4 asas no total, também possuem 3 pares de pernas, no total 6 pernas e 2 antenas.
-Temos 2 pais, 4 avós, 8 bisavós, 16 bisavós e assim por diante na árvore genealógica. Estes são todos números pares.
-Há pétalas de número par, incluindo algumas margaridas com até 34 anos.
-Um júri é geralmente composto por 12 pessoas.
-Desportos como tênis, boxe, esgrima, luta livre, xadrez são jogados entre 2 pessoas. No tênis, há partidas entre casais.
-Uma equipe de vôlei é composta por 6 jogadores na quadra.
-O tabuleiro de xadrez tem 64 quadrados e 2 conjuntos de peças: branco e preto. O conjunto tem 16 peças nomeadas assim: rei, rainha, bispo, cavaleiro e peão, todas com número par de peças, exceto o rei e a rainha que são únicos. Desta forma, cada jogador tem 2 bispos, 2 torres, 2 cavaleiros e 8 peões.
Operações e propriedades de números pares
Os números pares podem ser usados para executar todas as operações aritméticas conhecidas: adição, subtração, multiplicação, divisão, aumento e muito mais. Em resumo, todas as operações permitidas podem ser feitas com números inteiros, dos quais números pares fazem parte.
No entanto, os resultados dessas operações têm algumas peculiaridades. Coisas notáveis que podemos observar a partir dos resultados são as seguintes:
-Os números pares são apresentados imprensados entre os números ímpares, como vimos anteriormente.
Sempre que adicionamos dois ou mais números pares, o resultado é uniforme. Vamos ver:
2 + 18 + 44 + 4 = 68
-Mas se adicionarmos dois números, um par e um ímpar, o resultado é ímpar. Por exemplo, 2 + 3 = 5 ou 15 + 24 = 39.
– Ao multiplicar dois números pares, obteremos também um número par. O mesmo acontece se multiplicarmos um ímpar ou um par. Para vê-lo, vamos fazer algumas operações simples como:
Par x Par: 28 x 52 = 1456
Ímpar x Par: 12 x 33 = 396
Por outro lado, o produto de dois ímpares é sempre ímpar.
-Qualquer número elevado a uma potência par é positivo, independentemente do sinal do número:
2 4 = 2 x 2 x 2 x 2 = 16
(-5) 2 = (-5) x (-5) = 25
(-3) 4 = (-3) x (-3) x (-3) x (-3) = 81
-Se um é um número tal que um 2 é ainda, em seguida, um é mesmo assim. Vamos examinar os primeiros quadrados para ver se eles se originam de números pares:
4, 9,16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225 …
De fato, é verdade que: 2 2 = 4 e 2 é par; 16 = 4 2 , 36 = 6 2 e assim por diante.
Em vez disso, 25 é o quadrado de 5, que é ímpar, 49 é o quadrado de 7, que também é ímpar.
-O restante entre a divisão de um par e outro par também é par. Por exemplo, se dividirmos 100 por 18, o quociente é 5 e o restante ou restante é 10.
Exercícios resolvidos
– Exercício 1
Identifique quais são números pares e quais são ímpares:
12, 33, 46, 51, 69, 70, 82, 98, 100, 101, 121, 134, 145, 159, 162, 177, 183, 196.
Solução
12, 46, 70, 82, 98, 100, 134, 162, 196.
– Exercício 2
Três números pares consecutivos somam 324. Quais são os números?
Solução
Seja qualquer número que chamaremos de “n”. Como não sabemos se é par ou não, garantimos que ele seja par com o critério fornecido no início, aquele que diz que um número par é da forma 2n.
O número consecutivo de 2n é 2n + 1, mas isso é ímpar, porque sabemos que eles são intercalados, então adicionamos 1: 2n +2 novamente.
E com isso o terceiro número é: 2n + 4.
Agora que temos os três números pares consecutivos prontos, os adicionamos e tornamos a soma igual a 324, conforme solicitado pela instrução:
2n + 2n + 2 + 2n + 4 = 324
Nós adicionamos todos os termos “2n”, pois eles são semelhantes, e também os números à esquerda da igualdade:
6n + 6 = 324 → 6n = 318
n = 53
Mas tenha cuidado, n = 53 não é um número par e não faz parte dos números que o problema nos pede. A declaração diz que eles são “três números pares consecutivos”.
Na verdade, o primeiro número que procuramos é: 2n = 2 x 53 = 106.
O próximo é 108 e o terceiro é 110.
Se somarmos os três números, vemos que 324 é realmente obtido:
106 + 108 + 110 = 324
– Exercício 3
Encontre uma fórmula para obter o número natural vigésimo, começando em 0, e encontre esse número marcando manualmente.
Solução
Lembrando que 0 é o primeiro número par, depois vem 2, depois 4, e assim intercalados, vamos pensar em uma fórmula que nos permita obter 0 de outro número, que também é natural.
Essa fórmula pode ser:
2n – 2, com n = 1, 2, 3, 4, 5….
Com ele obtemos 0 fazendo n = 1:
2,1 – 2 = 0
Agora vamos fazer n = 2 e pegar o par 2
2,2 – 2 = 2
Tomando n = 3 resultados, o par 4:
2,3 – 2 = 4
Finalmente fazendo n = 20:
- 20 – 2 = 40 – 2 = 38
O vigésimo par é 38 e verificamos:
0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30, 32, 34, 36, 38
O leitor pode dizer qual será o número cento e quinto da fórmula?
Referências
- Baldor, A. 1986. Aritmética. Códice de Edições e Distribuições.
- A matemática é Fun. Números pares e ímpares. Recuperado de mathisfun.com.
- Oficina de Matemática. Dualidade ímpar. Recuperado de: ehu.eus.
- Wikipedia. Paridade zero. Recuperado de: es.wikipedia.org.
- Wikipedia. Paridade. Recuperado de: en.wikipedia.org.