A regra de Sarrus é usada para calcular o resultado de determinantes de 3 × 3. Eles são usados para resolver equações lineares e saber se são compatíveis.
Sistemas compatíveis permitem obter a solução mais facilmente. Eles também são usados para determinar se conjuntos de vetores são linearmente independentes e formam a base do espaço vetorial.
Essas aplicações são baseadas na invertibilidade das matrizes. Se uma matriz é regular, seu determinante é diferente de 0. Se é singular, seu determinante é 0. Os determinantes só podem ser calculados em matrizes quadradas.
Para calcular matrizes de qualquer ordem, você pode usar o teorema de Laplace. Esse teorema nos permite simplificar as matrizes de altas dimensões, em somas de pequenos determinantes que decompomos da matriz principal.
Afirma que o determinante de uma matriz é igual à soma dos produtos de cada linha ou coluna, pelo determinante de sua matriz anexada.
Isso reduz os determinantes para que um determinante do grau n se torne n determinante de n-1. Se aplicarmos esta regra sucessivamente, podemos obter determinantes da dimensão 2 (2 × 2) ou 3 (3 × 3), onde seu cálculo é muito mais fácil.
Regra de Sarrus
Pierre Frederic Sarrus era um matemático francês do século XIX. A maioria de seus tratados matemáticos é baseada em métodos de resolução de equações e cálculo de variações, dentro de equações numéricas.
Em um de seus tratados, ele resolveu um dos enigmas mais complexos da mecânica. Para resolver os problemas das peças articuladas, Sarrus introduziu a transformação de movimentos retilíneos alternativos, em movimentos circulares uniformes. Este novo sistema é conhecido como o mecanismo Sarrus.
A pesquisa mais famosa que ele deu a esse matemático foi na qual ele introduziu um novo método de cálculo de determinantes, no artigo “Novos métodos para a resolução de equações” (Novo método para resolver equações), publicado no 1833. Essa maneira de resolver equações lineares é conhecida como regra de Sarrus.
A regra de Sarrus permite calcular o determinante de uma matriz 3 × 3, sem usar o teorema de Laplace, introduzindo um método muito mais simples e intuitivo.Para verificar o valor da regra de Sarrus, adotamos qualquer matriz da dimensão 3:
O cálculo de seu determinante seria feito através do produto de suas principais diagonais, subtraindo o produto das diagonais inversas. Seria o seguinte:
A regra de Sarrus nos permite obter uma visão muito mais simples ao calcular as diagonais do determinante. Isso seria simplificado adicionando as duas primeiras colunas na parte de trás da matriz. Dessa forma, vê-se mais claramente quais são suas principais diagonais e quais são as inversas para o cálculo do produto.
Através desta imagem, podemos ver a aplicação da regra de Sarrus, incluímos as linhas 1 e 2, abaixo da representação gráfica da matriz inicial. Dessa forma, as principais diagonais são as três diagonais que aparecem primeiro.
As três diagonais inversas, por sua vez, são aquelas que aparecem primeiro nas costas.
Dessa forma, as diagonais aparecem de maneira mais visual, sem complicar a resolução do determinante, tentando descobrir quais elementos da matriz pertencem a cada diagonal.
Como aparece na imagem, escolhemos as diagonais e calculamos o produto resultante de cada função. As diagonais que aparecem em azul são as que se somam. Para a soma destes, subtraímos o valor das diagonais que aparecem em vermelho.
Para facilitar a compactação, podemos usar um exemplo numérico, em vez de usar termos e sub-termos algébricos.
Se usarmos uma matriz 3 × 3, por exemplo:
Para aplicar a regra de Sarrus e resolvê-la de uma maneira mais visual, devemos incluir as linhas 1 e 2, como as linhas 4 e 5, respectivamente. É importante manter a linha 1 na 4ª posição e a linha 2 na 5ª. Uma vez que se os trocarmos, a Regra de Sarrus não será eficaz.
Para calcular o determinante, nossa matriz seria a seguinte:
Para continuar com o cálculo, multiplicaremos os elementos das diagonais principais. Os descendentes que começam à esquerda terão um sinal positivo; enquanto as diagonais inversas, que são aquelas que começam à direita, carregam um sinal negativo.
Neste exemplo, os azuis iriam com sinal positivo e os vermelhos com sinal negativo.O cálculo final da Regra de Sarrus ficaria assim:
Tipos de determinantes
Determinante da dimensão 1
Se a dimensão da matriz é 1, a matriz é desta forma: A = (a)
Portanto, seu determinante seria o seguinte: det (A) = | A | = a
Em resumo, o determinante da matriz A é igual ao valor absoluto da matriz A, que neste caso é a.
Determinante da dimensão 2
Se formos para as matrizes da dimensão 2, obteremos matrizes do tipo:
Onde seu determinante é definido como:
A resolução desse determinante é baseada na multiplicação da diagonal principal, subtraindo o produto da diagonal inversa.
Como regra mnemônica, podemos usar o seguinte diagrama para lembrar seu determinante:
Determinante da dimensão 3
Se a dimensão da matriz for 3, a matriz resultante seria deste tipo:
O determinante dessa matriz seria resolvido através da regra de Sarrus, desta maneira:
Referências
- Jenny Olive (1998) Matemática: Guia de Sobrevivência de um Estudante. Cambridge University Press.
- Richard J. Brown (2012) Matemática de 30 segundos: as 50 teorias mais expansivas da mente em matemática. Ivy Press Limited.
- Dave Kirkby (2004) Maths Connect. Heinemann
- Awol Assen (2013) Um estudo sobre a computação dos determinantes de uma matriz 3 × 3. Publicação Acadêmica de Lap Lambert.
- Anthony Nicolaides (1994) Determinantes e Matrizes. Publicação do passe
- Jesse Russell (2012) Regra de Sarrus.
- M. Casteleiro Villalba (2004) Introdução à álgebra linear. Editorial da ESIC.
