O teorema do binômio é uma equação que nos diz como uma expressão da forma (a + b) n se desenvolve para um número natural n. Um binômio nada mais é do que a soma de dois elementos, como (a + b). Também nos permite saber, por um termo dado por a k b n-k, qual é o coeficiente que o acompanha.
Esse teorema é comumente atribuído ao inventor, físico e matemático inglês Sir Isaac Newton; no entanto, foram encontrados vários registros que indicam que sua existência já era conhecida no Oriente Médio, por volta do ano 1000.
Números combinatórios
O teorema binomial nos diz matematicamente o seguinte:
Nesta expressão aeb são números reais en é um número natural.
Antes de fazer a demonstração, vejamos alguns conceitos básicos que são necessários.
O número combinatório ou combinações de n em k é expresso da seguinte forma:
Este formulário expressa o valor de quantos subconjuntos com k elementos podem ser escolhidos de um conjunto de n elementos. Sua expressão algébrica é dada por:
Vejamos um exemplo: suponha que tenhamos um grupo de sete bolas, das quais duas são vermelhas e as demais são azuis.
Queremos saber quantas maneiras podemos classificá-las em uma linha. Uma maneira poderia ser colocar os dois vermelhos na primeira e na segunda posições e o restante das bolas nas posições restantes.
Semelhante ao caso anterior, poderíamos dar às bolas vermelhas a primeira e a última posição, respectivamente, e ocupar as outras com bolas azuis.
Agora, uma maneira eficaz de dizer quantas maneiras podemos classificar as bolas em uma linha é usando números combinatórios. Podemos ver cada posição como um elemento do seguinte conjunto:
Em seguida, precisamos apenas escolher um subconjunto de dois elementos, no qual cada um desses elementos representa a posição que as bolas vermelhas ocuparão. Podemos fazer essa escolha de acordo com a relação dada por:
Desta forma, temos que existem 21 maneiras de encomendar essas bolas.
A idéia geral deste exemplo será muito útil na demonstração do teorema do binômio. Vejamos um caso particular: se n = 4, temos (a + b) 4 , que nada mais é do que:
Quando desenvolvemos esse produto, temos a soma dos termos obtidos multiplicando um elemento de cada um dos quatro fatores (a + b). Assim, teremos termos que terão a forma:
Se quisermos obter o termo do formulário como 4 , multiplique da seguinte maneira:
Observe que há apenas uma maneira de obter esse elemento; mas e se procurarmos agora o termo do formulário a 2 b 2 ? Como “a” e “b” são números reais e, portanto, a lei comutativa é válida, temos uma maneira de obter esse termo: multiplicar com os membros, conforme indicado pelas setas.
A realização de todas essas operações geralmente é um pouco entediante, mas se virmos o termo “a” como uma combinação em que queremos saber quantas maneiras podemos escolher dois “a” dentre um conjunto de quatro fatores, podemos usar a idéia do exemplo anterior. Então, temos o seguinte:
Assim, sabemos que no desenvolvimento final da expressão (a + b) 4 teremos exatamente 6a 2 b 2 . Usando a mesma idéia para os outros elementos, você deve:
Em seguida, adicionamos as expressões obtidas anteriormente e temos que:
Esta é uma demonstração formal para o caso geral em que “n” é qualquer número natural.
Demonstração
Observe que os termos que permanecem no desenvolvimento (a + b) n têm a forma a k b n-k , onde k = 0,1, …, n. Usando a idéia do exemplo anterior, temos como escolher as variáveis «k» «a» dos fatores «n»:
Ao escolher este caminho, estamos automaticamente escolhendo nk variáveis «b». Daí resulta que:
Exemplos
Considerando (a + b) 5 , qual seria seu desenvolvimento?
Para o teorema binomial, temos que:
O teorema do binômio é muito útil se tivermos uma expressão na qual queremos saber qual é o coeficiente de um termo específico sem precisar realizar o desenvolvimento completo. Como exemplo, podemos tomar a seguinte pergunta: qual é o coeficiente de x 7 e 9 no desenvolvimento de (x + y) 16 ?
Para o teorema do binômio, temos que o coeficiente é:
Outro exemplo seria: qual é o coeficiente de x 5 e 8 no desenvolvimento de (3x-7y) 13 ?
Primeiro, reescrevemos a expressão de maneira conveniente; isto é:
Então, usando o teorema do binômio, temos que o coeficiente procurado é quando você tem k = 5
Outro exemplo dos usos desse teorema está na demonstração de algumas identidades comuns, como as mencionadas abaixo.
Identidade 1
Se “n” é um número natural, temos que:
Para a prova, usamos o teorema do binômio, onde “a” e “b” assumem o valor de 1. Então temos:
Dessa maneira, provamos a primeira identidade.
Identidade 2
Se “n” é um número natural, então
Para o teorema binomial, temos que:
Outra demonstração
Podemos fazer uma demonstração diferente para o teorema do binômio usando o método indutivo e a identidade de pascal, o que nos diz que, se “n” e “k” são números inteiros positivos que encontram n ≥ k, então:
Demonstração por Indução
Primeiro vamos ver que a base indutiva é cumprida. Se n = 1, temos que:
De fato, vemos que isso é cumprido. Agora, n = j seja tal que seja verdade:
Queremos ver que para n = j + 1 é verdade que:
Então, nós temos que:
Por hipótese, sabemos que:
Em seguida, usando a propriedade distributiva:
Posteriormente, o desenvolvimento de cada um dos resumos:
Agora, se agruparmos convenientemente, temos que:
Usando a identidade de pascal, temos que:
Por fim, observe que:
Portanto, vemos que o teorema binomial é cumprido para cada “n” pertencente aos números naturais e, com isso, o teste termina.
Curiosidades
O número combinatório (nk) também é chamado de coeficiente binomial porque é precisamente o coeficiente que aparece no desenvolvimento do binômio (a + b) n .
Isaac Newton deu uma generalização desse teorema para o caso em que o expoente é um número real; Esse teorema é conhecido como teorema binomial de Newton.
Nos tempos antigos, esse resultado era conhecido no caso particular em que n = 2. Este caso é mencionado nos Elementos de Euclides.
Referências
- Johnsonbaugh Richard. Matemática Discreta PHH
- Kenneth.H. Rosen – Matemática Discreta e suas Aplicações. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANO DE ESPANHA.
- Seymour Lipschutz Ph.D & Marc Lipson. Matemática discreta. McGRAW-HILL
- Ralph P. Grimaldi. Matemática Discreta e Combinatória. Addison-Wesley Iberoamericana
- Luis Estrela Verde. . Matemática Discreta e Combinatória.