Teorema de Bernoulli: equação, aplicações e exercício resolvido

O teorema de Bernoulli , que descreve o comportamento de um fluido em movimento, foi enunciado pelo matemático e físico Daniel Bernoulli em seu Hidrodinâmica . De acordo com o princípio, um fluido ideal (sem atrito ou viscosidade) que circula por um duto fechado terá uma energia constante em seu caminho.

O teorema pode ser deduzido do princípio de conservação de energia e até da segunda lei do movimento de Newton. Além disso, o princípio de Bernoulli também afirma que um aumento na velocidade de um fluido implica uma diminuição na pressão a que é submetido, uma diminuição em sua energia potencial ou ambas ao mesmo tempo.

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Daniel Bernoulli

O teorema tem muitas aplicações diferentes, tanto no mundo da ciência quanto no cotidiano das pessoas.

Suas conseqüências estão presentes no elevador dos aviões, nas chaminés de residências e indústrias, em tubulações de água, entre outras áreas.

Equação de Bernoulli

Embora Bernoulli tenha deduzido que a pressão diminui quando a vazão aumenta, a verdade é que foi Leonhard Euler quem realmente desenvolveu a equação de Bernoulli da maneira como é conhecida atualmente.

De qualquer forma, a equação de Bernoulli, que nada mais é que a expressão matemática de seu teorema, é a seguinte:

v 2 ƿ ƿ / 2 + P + ƿ g ∙ z = constante

Na referida expressão, v é a velocidade do fluido através da seção considerada, ƿ é a densidade do fluido, P é a pressão do fluido, g é o valor da aceleração da gravidade e z é a altura medida na direção de gravidade

Na equação de Bernoulli, está implícito que a energia de um fluido consiste em três componentes:

– Um componente cinético, que é o resultado da velocidade com que o fluido viaja.

– Um componente potencial ou gravitacional, devido à altura em que o fluido está.

– Uma energia sob pressão, que é o que o fluido possui como resultado da pressão a que está sujeito.

Por outro lado, a equação de Bernoulli também pode ser expressa assim:

v 1 2 ƿ ƿ / 2 + P 1 + ƿ g ∙ z 1 = v 2 2 ƿ 2/2 + P 2 + ƿ g ∙ z 2

Esta última expressão é muito prática para analisar as mudanças experimentadas por um fluido quando qualquer um dos elementos que compõem a equação muda.

Formulário simplificado

Em certas ocasiões, a mudança no termo ρgz da equação de Bernoulli é mínima em comparação à experimentada pelos outros termos, portanto, é possível negligenciá-lo. Por exemplo, isso acontece nas correntes que um avião em voo experimenta.

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Nessas ocasiões, a equação de Bernoulli é expressa da seguinte forma:

P + q = P

Nesta expressão q é pressão dinâmica e é equivalente a av 2 2 ƿ / 2, e P é o que é chamado pressão total e é a soma da pressão estática P e da pressão dinâmica q.

Aplicações

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O teorema de Bernoulli tem muitas aplicações diferentes em campos tão diversos quanto ciência, engenharia, esportes, etc.

Uma aplicação interessante é encontrada no design das chaminés. As chaminés são construídas em alta altura, a fim de obter uma maior diferença de pressão entre a base e a saída da chaminé, graças à qual é mais fácil extrair gases de combustão.

Obviamente, a equação de Bernoulli também se aplica ao estudo do movimento de fluxos líquidos em tubulações. A partir da equação, conclui-se que uma redução na superfície transversal do tubo, a fim de aumentar a velocidade do fluido que flui através dele, implica também uma diminuição na pressão.

A equação de Bernoulli também é usada na aviação e em veículos de Fórmula 1. No caso da aviação, o efeito Bernoulli é a origem do levantamento de aeronaves.

As asas da aeronave são projetadas com o objetivo de obter um maior fluxo de ar na parte superior da asa.

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Assim, na parte superior da asa, a velocidade do ar é alta e, portanto, a menor pressão. Essa diferença de pressão produz uma força direcionada verticalmente (força de elevação) que permite que os aviões sejam mantidos no ar. Um efeito semelhante é obtido nos ailerons dos carros de Fórmula 1.

Exercício resolvido

Um fluxo de água flui a 5,18 m / s através de um tubo com uma seção transversal de 4,2 cm 2 . A água desce de uma altura de 9,66 m para um nível mais baixo com uma altura de zero, enquanto a superfície transversal do tubo aumenta para 7,6 cm 2 .

a) Calcule a velocidade do fluxo de água no nível mais baixo.

b) Determine a pressão no nível inferior sabendo que a pressão no nível superior é 152000 Pa.

Solução

a) Como o fluxo deve ser conservado, é verdade que:

Q nível superior = Q nível inferior

v 1 . S 1 = v 2 . S 2

5,18 m / s. 4,2 centímetros 2 = v 2 . 7.6 cm ^ 2

Compensação, você obtém:

v 2 = 2,86 m / s

b) Aplicando o teorema de Bernoulli entre os dois níveis, e considerando que a densidade da água é de 1000 kg / m 3 , obtém-se que:

v 1 2 ƿ ƿ / 2 + P 1 + ƿ g ∙ z 1 = v 2 2 ƿ 2/2 + P 2 + ƿ g ∙ z 2

(1/2) 1000 kg / m 3 . (5,18 m / s) 2 + 152000 + 1000 kg / m 3 . 10 m / s 2 . 9,66 m =

= (1/2). 1000 kg / m 3 . (2,86 m / s) 2 + P 2 + 1000 kg / m 3 . 10 m / s 2 . 0 m

Ao apagar P 2, você obtém:

P 2 = 257926,4 Pa

Referências

  1. Princípio de Bernoulli. (nd) Na Wikipedia Recuperado em 12 de maio de 2018, em es.wikipedia.org.
  2. Princípio de Bernoulli. (nd) Na Wikipedia Recuperado em 12 de maio de 2018, em en.wikipedia.org.
  3. Batchelor, GK (1967). Uma introdução à dinâmica de fluidos . Cambridge University Press.
  4. Lamb, H. (1993). Hidrodinâmica (6ª ed.). Cambridge University Press.
  5. Mott, Robert (1996). Mecânica dos fluidos aplicada (4ª ed.). México: Pearson Education.

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