Teorema de Steiner: explicação, aplicações, exercícios

O Teorema de Steiner, também conhecido como Teorema dos Eixos Paralelos, é um importante conceito da geometria que descreve a relação entre o momento de inércia de um objeto em relação a um eixo que passa pelo centro de massa e o momento de inércia em relação a um eixo paralelo a esse eixo original. Esse teorema é amplamente utilizado em física e engenharia para determinar a distribuição de massa de um objeto e prever seu comportamento em rotação.

Neste artigo, exploraremos a explicação detalhada do Teorema de Steiner, suas aplicações práticas em diversas áreas, como mecânica, engenharia civil e aeronáutica, e apresentaremos alguns exercícios para ajudar na compreensão e prática desse conceito fundamental da geometria. Ao dominar o Teorema de Steiner, os estudantes e profissionais poderão resolver problemas complexos de rotação de corpos rígidos e melhorar seu desempenho em diversas áreas da ciência e da tecnologia.

Momentos ideais para aplicar o teorema de Steiner em cálculos de momento de inércia.

Um dos momentos ideais para aplicar o teorema de Steiner em cálculos de momento de inércia é quando temos uma forma geométrica complexa, como uma viga com seção transversal irregular. Nesses casos, o teorema de Steiner nos permite calcular o momento de inércia em relação a um eixo paralelo ao eixo de simetria da forma, facilitando os cálculos.

Além disso, o teorema de Steiner também é útil quando precisamos calcular o momento de inércia de um objeto em relação a um eixo que não passa pelo centro de massa. Por exemplo, ao calcular o momento de inércia de uma régua em relação a um eixo que passa por uma de suas extremidades, podemos utilizar o teorema de Steiner para encontrar o momento de inércia em relação ao centro de massa e depois aplicar a fórmula de translação de eixos para obter o resultado desejado.

Saber identificar os momentos ideais para aplicar o teorema de Steiner pode facilitar bastante o trabalho em problemas de física e engenharia.

Quando é apropriado utilizar o teorema dos eixos paralelos em geometria plana?

O teorema dos eixos paralelos, também conhecido como Teorema de Steiner, é utilizado em geometria plana quando queremos determinar o momento de inércia de um corpo em relação a um eixo que não passa pelo centro de massa. Este teorema é aplicado quando conhecemos o momento de inércia de um corpo em relação a um eixo que passa pelo centro de massa e queremos encontrar o momento de inércia em relação a um eixo paralelo a este, mas deslocado a uma certa distância.

O Teorema de Steiner diz que o momento de inércia de um corpo em relação a um eixo paralelo ao eixo que passa pelo centro de massa é igual à soma do momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo centro de massa mais o produto da massa do corpo pela distância entre os dois eixos elevada ao quadrado.

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Este teorema é amplamente utilizado em problemas de engenharia, física e matemática, onde é necessário calcular o momento de inércia de um corpo em relação a um eixo paralelo conhecido. É uma ferramenta poderosa para simplificar cálculos e facilitar a análise de sistemas complexos.

Para aplicar o Teorema de Steiner, é importante ter conhecimento prévio sobre momento de inércia, centro de massa e distâncias entre os eixos. Além disso, é fundamental entender as propriedades geométricas do corpo em questão para determinar corretamente o momento de inércia em relação ao eixo paralelo desejado.

É uma ferramenta essencial para resolver problemas de física e engenharia que envolvem sistemas complexos e diferentes eixos de rotação.

Descobrindo os eixos principais de inércia de uma figura plana: passo a passo.

Para descobrir os eixos principais de inércia de uma figura plana, é necessário seguir alguns passos. Primeiramente, é importante identificar o centro de massa da figura, que é o ponto onde toda a massa está concentrada. Em seguida, deve-se calcular os momentos de inércia em relação aos eixos coordenados.

Os momentos de inércia são as propriedades físicas que descrevem a distribuição da massa em relação a um determinado eixo. Para calcular os momentos de inércia em relação aos eixos principais, é necessário utilizar o Teorema de Steiner, que relaciona o momento de inércia de um corpo em relação a um eixo paralelo ao seu eixo principal com o momento de inércia em relação ao eixo principal mais o produto da massa do corpo pela distância entre os eixos ao quadrado. Em outras palavras, o Teorema de Steiner permite calcular o momento de inércia de um corpo em relação a um eixo paralelo ao seu eixo principal conhecido.

Uma vez calculados os momentos de inércia em relação aos eixos coordenados e aplicado o Teorema de Steiner para encontrar os momentos de inércia em relação aos eixos principais, é possível determinar os eixos principais de inércia da figura plana. Esses eixos são os eixos perpendiculares que passam pelo centro de massa da figura e que minimizam os momentos de inércia em relação a eles.

Teorema de Steiner: explicação, aplicações, exercícios

O Steiner ‘s teorema , também conhecido como o teorema de eixos paralelos , para avaliar o momento de inércia de um corpo alongado, em torno de um eixo que é paralelo a uma outra passagem através do centro de massa do objecto.

Foi descoberto pelo matemático suíço Jakob Steiner (1796-1863) e afirma o seguinte: seja CM o momento de inércia do objeto em relação a um eixo que passa pelo centro de massa CM e z o momento de inércia em relação a outro eixo paralelo a isso.

Teorema de Steiner: explicação, aplicações, exercícios 1

Figura 1. Uma porta retangular girando em suas dobradiças tem um momento de inércia que pode ser calculado aplicando o teorema de Steiner. Fonte: Pixabay
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Sabendo a distância D que separa os dois eixos e a massa M do corpo em questão, o momento de inércia em relação ao eixo incógnito é:

I z = I CM + MD 2

O momento de inércia indica como é fácil para um objeto girar em torno de um determinado eixo. Depende não apenas da massa do corpo, mas de como ele é distribuído. Por esse motivo, também é conhecido como inércia rotacional , sendo suas unidades no Sistema Internacional de Kg. m 2 .

O teorema mostra que o momento de inércia I z é sempre maior que o momento de inércia I CM em uma quantidade dada pelo MD 2 .

Aplicações

Como um objeto é capaz de girar em torno de vários eixos, e nas tabelas geralmente apenas o momento de inércia é dado em relação ao eixo que passa pelo centróide, o teorema de Steiner facilita o cálculo quando é necessário girar corpos nos eixos. Eles não correspondem a isso.

Por exemplo, uma porta geralmente não gira em torno de um eixo que passa pelo centro de massa, mas com relação a um eixo lateral, onde as dobradiças aderem.

Ao conhecer o momento de inércia, é possível calcular a energia cinética associada à rotação no referido eixo. Se K é a energia cinética, I o momento de inércia em torno do eixo em questão e ω a velocidade angular, cumpre-se que:

K = ½ I.ω 2

Essa equação se assemelha muito à fórmula muito familiar da energia cinética para um objeto de massa M que se move na velocidade v : K = ½ Mv 2 . E é que o momento de inércia ou inércia rotacional I desempenha na rotação o mesmo papel que a massa M na tradução.

Prova do teorema de Steiner

O momento de inércia de um objeto estendido é definido como:

I = 2 r 2 dm

Onde dm é uma porção infinitesimal de massa er é a distância entre dm e o eixo de rotação z. Na Figura 2, este eixo cruza o centro de massa CM, porém pode ser qualquer um.

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Figura 2. Um objeto estendido em rotação em torno de dois eixos paralelos. Fonte: F. Zapata.

Em torno de outro eixo z ‘ , o momento de inércia é:

I z = ∫ ( r ‘) 2 dm

Agora, de acordo com o triângulo formado pelos vetores D , r e r ‘ (veja a figura 2 à direita), existe uma soma vetorial:

r + r ‘ = D r’ = Dr

Os três vetores estão no plano do objeto que pode ser xy . A origem do sistema de coordenadas (0,0) é escolhida em CM para facilitar os cálculos a seguir.

Dessa maneira, o módulo quadrado do vetor r ‘ é:

(r ‘) 2 = (D x – r x ) 2 + (D y – r y ) 2 =

= D x 2 + D y 2 + r x 2 + r y 2 -2D x r x – 2 D e r y =

= D 2 + r 2 – 2D x r x – 2 D y r y

Agora esse desenvolvimento é substituído na integral do momento de inércia I z e também a definição de densidade dm = ρ.dV é usada:

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O termo M. D 2 que aparece no teorema de Steiner vem da primeira integral, a segunda é o momento de inércia em relação ao eixo que passa através de CM.

Por outro lado, a terceira e a quarta integrais valem 0, pois, por definição, constituem a posição do CM, que foi escolhida como a origem do sistema de coordenadas (0,0).

Exercícios resolvidos

Exercício -Resolvido 1

A porta retangular da figura 1 tem uma massa de 23 kg, 1,30 de largura e 2,10 m de altura. Determine o momento de inércia da porta em relação ao eixo que passa pelas dobradiças, assumindo que a porta seja fina e uniforme.

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Figura 3. Esquema para o exemplo resolvido 1. Fonte: Pixabay modificado.

Solução

A partir de uma tabela de momentos de inércia para uma placa rectangular de massa M e dimensões a e b , o momento de inércia em torno do eixo que passa pelo seu centro de massa é a seguinte: I CM = (12/1) H ( a 2 + b 2 ).

Uma porta homogênea será assumida (uma aproximação, já que a porta da figura provavelmente não é tanto). Nesse caso, o centro de massa passa por seu centro geométrico. Na Figura 3, foi desenhado um eixo que passa pelo centro de massa e também é paralelo ao eixo que passa pelas dobradiças.

I CM = (1/12) x 23 Kg x (1,30 2 +2,10 2 ) m 2 = 11,7 Kg.m 2

Aplicando o teorema de Steiner ao eixo verde de rotação:

I = I CM + MD 2 = 11,7 kg.m 2 + 23 kg x 0652 m 2 = 21,4 kg.

– Exercício resolvido 2

Encontre o momento de inércia de uma haste fina homogênea quando ela gira em relação a um eixo que passa por uma de suas extremidades, veja a figura. É maior ou menor que o momento de inércia quando gira em torno de seu centro? Porque

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Figura 4. Esquema para o exemplo resolvido 2. Fonte: F. Zapata.

Solução

De acordo com a tabela de momentos de inércia, o momento de inércia I CM de uma haste fina de massa M e comprimento L é: I CM = (1/12) ML 2

E o teorema de Steiner afirma que, quando é girado em torno de um eixo que passa por uma extremidade D = L / 2, permanece:

I = I CM + MD 2 = (1/12) ML 2 + M (L / 2) 2 = (1/3) ML 2

É maior, embora não seja apenas o dobro, mas 4 vezes mais, uma vez que a outra metade da haste (sem sombreamento na figura) gira descrevendo um raio maior.

A influência da distância ao eixo de rotação não é linear, mas quadrática. Uma massa que é duas vezes a distância que outra terá um momento de inércia proporcional a (2D) 2 = 4D 2 .

Referências

  1. Bauer, W. 2011. Física para Engenharia e Ciência. Volume 1. Mc Graw Hill. 313-340.
  2. Universidade Estadual da Geórgia. Movimento Rotacional Recuperado de: phys.nthu.edu.tw.
  3. Teorema do Eixo Paralelo. Recuperado de: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
  4. Rex, A. 2011. Fundamentos de Física. Pearson 190-200
  5. Wikipedia Teorema do eixo paralelo. Recuperado de: en.wikipedia.org

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