O Teorema de Steiner, também conhecido como Teorema dos Eixos Paralelos, é um importante conceito da geometria que descreve a relação entre o momento de inércia de um objeto em relação a um eixo que passa pelo centro de massa e o momento de inércia em relação a um eixo paralelo a esse eixo original. Esse teorema é amplamente utilizado em física e engenharia para determinar a distribuição de massa de um objeto e prever seu comportamento em rotação.
Neste artigo, exploraremos a explicação detalhada do Teorema de Steiner, suas aplicações práticas em diversas áreas, como mecânica, engenharia civil e aeronáutica, e apresentaremos alguns exercícios para ajudar na compreensão e prática desse conceito fundamental da geometria. Ao dominar o Teorema de Steiner, os estudantes e profissionais poderão resolver problemas complexos de rotação de corpos rígidos e melhorar seu desempenho em diversas áreas da ciência e da tecnologia.
Momentos ideais para aplicar o teorema de Steiner em cálculos de momento de inércia.
Um dos momentos ideais para aplicar o teorema de Steiner em cálculos de momento de inércia é quando temos uma forma geométrica complexa, como uma viga com seção transversal irregular. Nesses casos, o teorema de Steiner nos permite calcular o momento de inércia em relação a um eixo paralelo ao eixo de simetria da forma, facilitando os cálculos.
Além disso, o teorema de Steiner também é útil quando precisamos calcular o momento de inércia de um objeto em relação a um eixo que não passa pelo centro de massa. Por exemplo, ao calcular o momento de inércia de uma régua em relação a um eixo que passa por uma de suas extremidades, podemos utilizar o teorema de Steiner para encontrar o momento de inércia em relação ao centro de massa e depois aplicar a fórmula de translação de eixos para obter o resultado desejado.
Saber identificar os momentos ideais para aplicar o teorema de Steiner pode facilitar bastante o trabalho em problemas de física e engenharia.
Quando é apropriado utilizar o teorema dos eixos paralelos em geometria plana?
O teorema dos eixos paralelos, também conhecido como Teorema de Steiner, é utilizado em geometria plana quando queremos determinar o momento de inércia de um corpo em relação a um eixo que não passa pelo centro de massa. Este teorema é aplicado quando conhecemos o momento de inércia de um corpo em relação a um eixo que passa pelo centro de massa e queremos encontrar o momento de inércia em relação a um eixo paralelo a este, mas deslocado a uma certa distância.
O Teorema de Steiner diz que o momento de inércia de um corpo em relação a um eixo paralelo ao eixo que passa pelo centro de massa é igual à soma do momento de inércia em relação ao eixo que passa pelo centro de massa mais o produto da massa do corpo pela distância entre os dois eixos elevada ao quadrado.
Este teorema é amplamente utilizado em problemas de engenharia, física e matemática, onde é necessário calcular o momento de inércia de um corpo em relação a um eixo paralelo conhecido. É uma ferramenta poderosa para simplificar cálculos e facilitar a análise de sistemas complexos.
Para aplicar o Teorema de Steiner, é importante ter conhecimento prévio sobre momento de inércia, centro de massa e distâncias entre os eixos. Além disso, é fundamental entender as propriedades geométricas do corpo em questão para determinar corretamente o momento de inércia em relação ao eixo paralelo desejado.
É uma ferramenta essencial para resolver problemas de física e engenharia que envolvem sistemas complexos e diferentes eixos de rotação.
Descobrindo os eixos principais de inércia de uma figura plana: passo a passo.
Para descobrir os eixos principais de inércia de uma figura plana, é necessário seguir alguns passos. Primeiramente, é importante identificar o centro de massa da figura, que é o ponto onde toda a massa está concentrada. Em seguida, deve-se calcular os momentos de inércia em relação aos eixos coordenados.
Os momentos de inércia são as propriedades físicas que descrevem a distribuição da massa em relação a um determinado eixo. Para calcular os momentos de inércia em relação aos eixos principais, é necessário utilizar o Teorema de Steiner, que relaciona o momento de inércia de um corpo em relação a um eixo paralelo ao seu eixo principal com o momento de inércia em relação ao eixo principal mais o produto da massa do corpo pela distância entre os eixos ao quadrado. Em outras palavras, o Teorema de Steiner permite calcular o momento de inércia de um corpo em relação a um eixo paralelo ao seu eixo principal conhecido.
Uma vez calculados os momentos de inércia em relação aos eixos coordenados e aplicado o Teorema de Steiner para encontrar os momentos de inércia em relação aos eixos principais, é possível determinar os eixos principais de inércia da figura plana. Esses eixos são os eixos perpendiculares que passam pelo centro de massa da figura e que minimizam os momentos de inércia em relação a eles.
Teorema de Steiner: explicação, aplicações, exercícios
O Steiner ‘s teorema , também conhecido como o teorema de eixos paralelos , para avaliar o momento de inércia de um corpo alongado, em torno de um eixo que é paralelo a uma outra passagem através do centro de massa do objecto.
Foi descoberto pelo matemático suíço Jakob Steiner (1796-1863) e afirma o seguinte: seja CM o momento de inércia do objeto em relação a um eixo que passa pelo centro de massa CM e z o momento de inércia em relação a outro eixo paralelo a isso.
Sabendo a distância D que separa os dois eixos e a massa M do corpo em questão, o momento de inércia em relação ao eixo incógnito é:
I z = I CM + MD 2
O momento de inércia indica como é fácil para um objeto girar em torno de um determinado eixo. Depende não apenas da massa do corpo, mas de como ele é distribuído. Por esse motivo, também é conhecido como inércia rotacional , sendo suas unidades no Sistema Internacional de Kg. m 2 .
O teorema mostra que o momento de inércia I z é sempre maior que o momento de inércia I CM em uma quantidade dada pelo MD 2 .
Aplicações
Como um objeto é capaz de girar em torno de vários eixos, e nas tabelas geralmente apenas o momento de inércia é dado em relação ao eixo que passa pelo centróide, o teorema de Steiner facilita o cálculo quando é necessário girar corpos nos eixos. Eles não correspondem a isso.
Por exemplo, uma porta geralmente não gira em torno de um eixo que passa pelo centro de massa, mas com relação a um eixo lateral, onde as dobradiças aderem.
Ao conhecer o momento de inércia, é possível calcular a energia cinética associada à rotação no referido eixo. Se K é a energia cinética, I o momento de inércia em torno do eixo em questão e ω a velocidade angular, cumpre-se que:
K = ½ I.ω 2
Essa equação se assemelha muito à fórmula muito familiar da energia cinética para um objeto de massa M que se move na velocidade v : K = ½ Mv 2 . E é que o momento de inércia ou inércia rotacional I desempenha na rotação o mesmo papel que a massa M na tradução.
Prova do teorema de Steiner
O momento de inércia de um objeto estendido é definido como:
I = 2 r 2 dm
Onde dm é uma porção infinitesimal de massa er é a distância entre dm e o eixo de rotação z. Na Figura 2, este eixo cruza o centro de massa CM, porém pode ser qualquer um.
Em torno de outro eixo z ‘ , o momento de inércia é:
I z = ∫ ( r ‘) 2 dm
Agora, de acordo com o triângulo formado pelos vetores D , r e r ‘ (veja a figura 2 à direita), existe uma soma vetorial:
r + r ‘ = D → r’ = D – r
Os três vetores estão no plano do objeto que pode ser xy . A origem do sistema de coordenadas (0,0) é escolhida em CM para facilitar os cálculos a seguir.
Dessa maneira, o módulo quadrado do vetor r ‘ é:
(r ‘) 2 = (D x – r x ) 2 + (D y – r y ) 2 =
= D x 2 + D y 2 + r x 2 + r y 2 -2D x r x – 2 D e r y =
= D 2 + r 2 – 2D x r x – 2 D y r y
Agora esse desenvolvimento é substituído na integral do momento de inércia I z e também a definição de densidade dm = ρ.dV é usada:
O termo M. D 2 que aparece no teorema de Steiner vem da primeira integral, a segunda é o momento de inércia em relação ao eixo que passa através de CM.
Por outro lado, a terceira e a quarta integrais valem 0, pois, por definição, constituem a posição do CM, que foi escolhida como a origem do sistema de coordenadas (0,0).
Exercícios resolvidos
Exercício -Resolvido 1
A porta retangular da figura 1 tem uma massa de 23 kg, 1,30 de largura e 2,10 m de altura. Determine o momento de inércia da porta em relação ao eixo que passa pelas dobradiças, assumindo que a porta seja fina e uniforme.
Solução
A partir de uma tabela de momentos de inércia para uma placa rectangular de massa M e dimensões a e b , o momento de inércia em torno do eixo que passa pelo seu centro de massa é a seguinte: I CM = (12/1) H ( a 2 + b 2 ).
Uma porta homogênea será assumida (uma aproximação, já que a porta da figura provavelmente não é tanto). Nesse caso, o centro de massa passa por seu centro geométrico. Na Figura 3, foi desenhado um eixo que passa pelo centro de massa e também é paralelo ao eixo que passa pelas dobradiças.
I CM = (1/12) x 23 Kg x (1,30 2 +2,10 2 ) m 2 = 11,7 Kg.m 2
Aplicando o teorema de Steiner ao eixo verde de rotação:
I = I CM + MD 2 = 11,7 kg.m 2 + 23 kg x 0652 m 2 = 21,4 kg.
– Exercício resolvido 2
Encontre o momento de inércia de uma haste fina homogênea quando ela gira em relação a um eixo que passa por uma de suas extremidades, veja a figura. É maior ou menor que o momento de inércia quando gira em torno de seu centro? Porque
Solução
De acordo com a tabela de momentos de inércia, o momento de inércia I CM de uma haste fina de massa M e comprimento L é: I CM = (1/12) ML 2
E o teorema de Steiner afirma que, quando é girado em torno de um eixo que passa por uma extremidade D = L / 2, permanece:
I = I CM + MD 2 = (1/12) ML 2 + M (L / 2) 2 = (1/3) ML 2
É maior, embora não seja apenas o dobro, mas 4 vezes mais, uma vez que a outra metade da haste (sem sombreamento na figura) gira descrevendo um raio maior.
A influência da distância ao eixo de rotação não é linear, mas quadrática. Uma massa que é duas vezes a distância que outra terá um momento de inércia proporcional a (2D) 2 = 4D 2 .
Referências
- Bauer, W. 2011. Física para Engenharia e Ciência. Volume 1. Mc Graw Hill. 313-340.
- Universidade Estadual da Geórgia. Movimento Rotacional Recuperado de: phys.nthu.edu.tw.
- Teorema do Eixo Paralelo. Recuperado de: hyperphysics.phy-astr.gsu.edu.
- Rex, A. 2011. Fundamentos de Física. Pearson 190-200
- Wikipedia Teorema do eixo paralelo. Recuperado de: en.wikipedia.org