Trajetória em física: características, tipos, exemplos e exercícios

A trajetória em física é a curva que descreve um móvel ao passar por pontos sucessivos durante seu movimento. Como isso pode adotar inúmeras variantes, os caminhos que o celular pode seguir.

Para ir de um lugar para outro, uma pessoa pode seguir caminhos diferentes e de maneiras diferentes: a pé pelas calçadas nas ruas e avenidas, ou chegando de carro ou de moto em uma rodovia. Durante uma caminhada pela floresta, o caminhante pode seguir um caminho complicado que inclui voltas, subir e descer de nível e até passar várias vezes pelo mesmo ponto.

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Figura 1. A união dos pontos finais de cada vetor de posição fornece o caminho seguido pela partícula. Fonte: Algarabia [Domínio público]

Se os pontos pelos quais o celular estiver viajando seguirem uma linha reta, o caminho será retilíneo. Este é o caminho mais simples, porque é unidimensional. A especificação da posição requer uma única coordenada.

Mas o celular pode seguir uma trajetória curvilínea, podendo ser fechado ou aberto. Nesses casos, o rastreamento de posição requer duas ou três coordenadas. Estes são movimentos no plano e no espaço, respectivamente. Isso tem a ver com os links : condições materiais que limitam o movimento. Alguns exemplos são:

– As órbitas que descrevem os planetas ao redor do sol são caminhos fechados em forma de elipse. Embora, em alguns casos, eles possam aproximar uma circular, como no caso da Terra.

– A bola que o goleiro chuta em um chute de gol segue um caminho parabólico.

– Um pássaro em voo descreve trajetórias curvilíneas no espaço, porque, além de se mover em um avião, pode subir ou descer à vontade.

A trajetória na física pode ser expressa matematicamente quando a posição móvel é conhecida a qualquer momento. Vamos R ser o vector de posição, que por sua vez tem as coordenadas X , e e Z no caso geral de um movimento em três dimensões. Ao conhecer a função r (t), a trajetória será completamente determinada.

Tipos

Em termos gerais, a trajetória pode ser uma curva bastante complicada, especialmente se você deseja expressar matematicamente. Portanto, começa com os modelos mais simples, onde os celulares viajam em linha reta ou em um avião, que pode ser o do piso ou qualquer outro adequado:

Movimentos em uma, duas e três dimensões

As trajetórias mais estudadas são:

Retilíneo , ao viajar em linha reta horizontal, vertical ou inclinada. Uma bola lançada verticalmente para cima segue esse caminho ou um objeto que desliza ladeira abaixo ao longo de um plano inclinado. São movimentos unidimensionais, apenas uma coordenada é suficiente para determinar sua posição completamente.

Parabólico , no qual o celular descreve um arco de parábola. É frequente, pois qualquer objeto lançado obliquamente sob a ação da gravidade (um projétil) segue esse caminho. Para especificar a posição móvel, duas coordenadas devem ser dadas: x e y .

Circular , ocorre quando a partícula em movimento segue um círculo. Também é comum na natureza e na prática diária. Muitos objetos do cotidiano seguem um caminho circular, como pneus, peças de máquinas e satélites em órbita, para citar alguns.

Elíptico , o objeto se move após uma elipse. Como afirmado no início, é o caminho que os planetas em órbita seguem ao redor do sol.

– Objetos astronômicos hiperbólicos sob a ação de uma força central (gravidade), podem seguir caminhos elípticos (fechados) ou hiperbólicos (abertos), sendo estes menos frequentes que o primeiro.

– Movimento helicoidal ou espiral, como o de um pássaro que sobe em uma corrente térmica.

Swing ou pêndulo , o celular descreve um arco em movimentos de ida e volta.

Exemplos

As trajetórias descritas na seção anterior são muito úteis para ter uma idéia rápida de como são os movimentos de um objeto. De qualquer forma, é necessário esclarecer que a trajetória de um celular depende da localização do observador.Isso significa que o mesmo evento pode ser visto de maneiras diferentes, dependendo de onde cada pessoa está.

Por exemplo, uma garota está pedalando a uma velocidade constante e joga uma bola. Ela observa que a bola descreve uma trajetória retilínea.

No entanto, para um observador parado na estrada que a vê passar, a bola terá um movimento parabólico. Para ele, a bola foi lançada inicialmente com uma velocidade inclinada, resultado da aceleração pela mão da garota mais a velocidade da bicicleta.

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Figura 2. Esta animação mostra o lançamento vertical de uma bola feita por uma garota que anda de bicicleta, como a vê (trajetória retilínea) e como vista por um observador (trajetória parabólica). (Preparado por F. Zapata).

Trajetória móvel explícita, implícita e parametricamente

Explícito , especificando diretamente a curva ou o local geométrico dado pela equação y (x)

Implícito , no qual uma curva é expressa como f (x, y, z) = 0

Paramétrico , desta maneira as coordenadas x, ye z são dadas com base em um parâmetro que, em geral, é escolhido como o tempo t . Nesse caso, a trajetória é composta pelas funções: x (t), y (t ) e z (t).

A seguir, são detalhadas duas trajetórias altamente estudadas em cinemática: a trajetória parabólica e a trajetória circular.

Lançamento inclinado no vácuo

Um objeto (o projétil) é jogado em um ângulo a com a velocidade horizontal e com velocidade inicial v ou como mostrado na figura. A resistência do ar não é levada em consideração. O movimento pode ser tratado como dois movimentos independentes e simultâneos: um horizontal com velocidade constante e outro vertical sob a ação da gravidade.

x (t) = x o + v ox .t

y (t) = y o + v oy .t -½g.t 2

Essas equações são as equações paramétricas dos lançamentos de projéteis. Como explicado acima, eles têm o parâmetro t , que é o tempo, comum.

O triângulo a seguir pode ser visto no triângulo retângulo:

v ox = v ou cos θ i

v oy = v o sen θ i

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Figura 3. Caminho parabólico seguido por um projétil, no qual são mostrados os componentes do vetor velocidade. H é a altura máxima e R é a faixa horizontal máxima. Fonte: Ayush12gupta [CC BY-SA 4.0 (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)]

Substituir essas equações que contêm o ângulo de lançamento nas equações paramétricas resulta em:

x (t) = x ou + v ou cos θ i .t

y (t) = y o + v o . sen θ i .t -½g.t 2

Equação do caminho parabólico

A equação explícita da trajetória é encontrada limpando t da equação por x (t) e substituindo na equação de y (t). Para facilitar o trabalho algébrico, pode-se supor que a origem (0,0) esteja localizada no ponto de lançamento e, portanto, x o = y o = 0.

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Esta é a equação do caminho explicitamente .

Caminho circular

Um caminho circular é dado por:

(x – x o ) 2 + (y – y o ) 2 = R 2

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Figura 4. Uma partícula se move em um caminho circular no plano. Fonte: modificado por F. Zapata, do Wikimedia Commons.

Aqui x ou y o representam o centro do círculo descrito pelo móvel e R é o raio dele. P (x, y) é um ponto no caminho. No triângulo retângulo sombreado (figura 3), observe-se que:

x = R. cos θ

y = R. sen θ

O parâmetro, neste caso, é o ângulo de varredura θ, chamado deslocamento angular. No caso específico em que a velocidade angular ω (ângulo de varredura por unidade de tempo) é constante, pode-se afirmar que:

θ = θ ou + ω t

Onde θ o é a posição angular inicial da partícula, que se considerada como 0, é reduzida para:

θ = ω t

Nesse caso, o tempo retorna às equações paramétricas, como:

x = R.cos ω t

y = R. sen ω t

Os vectores unitários i e j são muito convenientes para escrever a função da posição de um objecto r (t). Eles indicam as direções no eixo xe no eixo y, respectivamente. Em seus termos, a posição de uma partícula que descreve um movimento circular uniforme é:

r (t) = R.cos ω t i + R. sen ω t j

Exercícios resolvidos

Exercício resolvido 1

Um canhão pode disparar uma bala com velocidade de 200 m / se ângulo de 40º a partir da horizontal. Se o lançamento for feito em terreno plano e a resistência do ar for negligenciada, encontre:

a) A equação da trajetória y (x) ..

b) As equações paramétricas x (t) e y (t).

c) O alcance horizontal e a duração do projétil no ar.

d) A altura em que o projétil está quando x = 12.000 m

Solução a)

a) Para encontrar a trajetória, os valores dados na equação y (x) da seção anterior são substituídos:

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y (x) = tg 40º. x – {9.8 / (2 ‘400 2 . cos 2 40) } x 2y (x) = 0,8391 x – 0.0000522x dois

Solução b)

b) O ponto de lançamento na origem do sistema de coordenadas (0,0) é escolhido:

x (t) = x ou + v ox. t = 400 ´ cos 40º.t = 306,42. t.

y (t) = y o + v oy .t -½g.t 2 = 400 ′ sen 40º.t – 0,5 ´ 9,8 ´ t 2 = 257,12 t – 4,9.t 2

Solução c)

c) Para encontrar o tempo que o projétil dura no ar, é feito e (t) = 0 , sendo o lançamento feito em terreno plano:

0 = 257,12.t – 4,9.t 2

t = 257,12 / 4,9 s = 52.473 s

O alcance horizontal máximo está substituindo esse valor em x (t):

x max = 306,42 ′ 52,47 m = 16077,7 m

Outra maneira de encontrar x max diretamente é fazendo y = 0 na equação da trajetória:

0 = 0,8391 x máx – 0,0000522 x 2 máx

x = 0,8391 / 0,0000522 m = 16078,5 m

Há uma pequena diferença devido ao arredondamento das casas decimais.

Solução d)

d) Para conhecer a altura quando x = 12000 m, esse valor é diretamente substituído na equação da trajetória:

y (12000) = 0,8391 ´ 12000 – 0,0000522 ´12000 2 m = 2552,4 m

Exercício resolvido 2

A função de posição de um objeto é dada por:

r (t) = 3t i + (4-5t 2 ) j m

Localizar:

a) A equação da trajetória. Que curva é essa?

b) A posição inicial e a posição quando t = 2 s.

c) O deslocamento realizado após t = 2 s.

Solução

a) A função de posição foi dada em termos da unidade de vectores i e j , as quais determinam a direcção na respectivamente os eixos x e e , por conseguinte,:

x (t) = 3t

y (t) = 4 -5t 2

A equação da trajetória y (x) é encontrada limpando t de x (t) e substituindo y (t):

t = x / 3

y (x) = 4-5. (X / 3) 2 = 4 – 5 x 2 /9 (parábola)

b) A posição inicial é: r (2) = 4 j m ; a posição em t = 2 s é r (2) = 6 i -16 j m

c) O deslocamento D r é a subtração dos dois vetores de posição:

Δ r = r (2) – r (2) = {6 i -16 j } 4 j = 6 i – 20 j m

Exercício resolvido 3

A Terra tem um raio R = 6300 Km e sabe-se que o período de rotação de seu movimento em torno de seu eixo é de um dia. Localizar:

a) A equação da trajetória de um ponto na superfície da Terra e sua função de posição.

b) A velocidade e aceleração do referido ponto.

Solução a)

a) A função de posição para qualquer ponto da órbita circular é:

r (t) = R.cos ω t i + R.sen ω t j

Você tem o raio da Terra R, mas não a velocidade angular ω, mas pode calcular o período, sabendo que, para o movimento circular, é válido dizer que:

ω = 2π × frequência = 2π / período

O período do movimento é: 1 dia = 24 horas = 1440 minutos = 86400 segundos, portanto:

ω = / 86400 s = 0,000023148 ​​s -1

Substituindo na função de posição:

r (t) = R.cos ω t i + R. sen ω t j = 6300 (cos 0,000023148t i + sen 0,000023148t j ) Km

A trajetória paramétrica é:

x (t) = 6300. cos 0,000023148t

e (t) = 6300. sen 0,000023148t

Solução b)

b) Para movimento circular, a magnitude da velocidade linear v de um ponto está relacionada à velocidade angular w por:

v = ω R = 0,000023148 ​​s -1 ´ 6300 Km = 0,1458 Km / s = 145,8 m / s

Mesmo sendo um movimento com velocidade constante de 145,8 m / s , há uma aceleração que aponta para o centro da órbita circular, responsável por manter o ponto em rotação. É a aceleração centrípeta para c , dada por:

um c = v 2 / R = (145,8 m / s) 2 / é 6300 × de Outubro de 3 m = 0,00337 m / s 2 .

Referências

  1. Giancoli, D. Física. (2006). Princípios com aplicações. 6 ª Prentice Hall. 22-25.
  2. Kirkpatrick, L. 2007. Física: Um olhar sobre o mundo. 6 ta Abridged Edition. Cengage Learning 23-27.
  3. Resnick, R. (1999). Física Volume 1. Terceira edição em espanhol. México Empresa Editorial Continental SA de CV 21-22.
  4. Rex, A. (2011). Fundamentos de Física. Pearson 33 – 36
  5. Sears, Zemansky. (2016). Física Universitária com Física Moderna. 14 th . Ed. Volume1. 50-53.
  6. Serway, R., Jewett, J. (2008). Física para Ciências e Engenharia. Volume 1. 7 ma . Edição México Cengage Learning Publishers. 23-25.
  7. Serway, R., Vulle, C. (2011). Fundamentos de Física. 9 na Ed. Cengage Learning. 43-55.
  8. Wilson, J. (2011). Física 10. Educação em Pearson. 133-149.

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