Trinomial da forma x ^ 2 + bx + c (com Exemplos)

Antes de aprender a resolver o trinômio da forma x ^ 2 + bx + c , e mesmo antes de conhecer o conceito de trinomial, é importante conhecer duas noções essenciais; ou seja, os conceitos de monômio e polinômio. Um monômio é uma expressão do tipo a * x n , onde a é um número racional, n é um número natural e x é uma variável.

Um polinomial é uma combinação linear de monomios de forma a n * x n + um n-1 * x n-1 + … + a 2 * x 2 + a 1 * x + a , em que cada um de i , com i = 0, …, n, é um número racional, n é um número natural e a_n é diferente de zero. Nesse caso, diz-se que o grau do polinômio é n.

Trinomial da forma x ^ 2 + bx + c (com Exemplos) 1

Um polinômio formado pela soma de apenas dois termos (dois monômios) de diferentes graus, é conhecido como binomial.

Trinomiais

Um polinômio formado pela soma de apenas três termos (três monômios) de diferentes graus, é conhecido como trinomial. A seguir, exemplos de trinômios:

  • x 3 + x 2 + 5x
  • 2x 4 -x 3 +5
  • x 2 + 6x + 3

Existem vários tipos de trinômios. Destes, destaca-se o trinômio quadrado perfeito.

Trinomial quadrado perfeito

Um trinômio quadrado perfeito é o resultado do aumento de um binômio ao quadrado. Por exemplo:

  • (3x-2) 2 = 9x 2 -12x + 4
  • (2x 3 + y) 2 = 4x 6 + 4x 3 y + y 2
  • (4x 2 -2y 4 ) 2 = 16x 4 -16x 2 y 4 + 4y 8
  • 1 / 16x 2 e 8 -1 / 2x e 4 z + z 2 = (1 / 4x e 4 ) 2 -2 (1 / 4x e 4 ) z + z 2 = (1 / 4x e 4 -z) 2

Características dos trinômios de grau 2

Quadrado perfeito

Em geral, um trinômio da forma ax 2 + bx + c é um quadrado perfeito se seu discriminante for igual a zero; isto é, se b 2 -4ac = 0, pois nesse caso, ele terá apenas uma raiz e poderá ser expresso na forma a (xd) 2 = (√a (xd)) 2 , onde d é a raiz já mencionada.

A raiz de um polinômio é um número no qual o polinômio se torna zero; em outras palavras, um número que, substituindo-o em x na expressão do polinômio, dá zero.

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Resolução de Fórmula

Uma fórmula geral para calcular as raízes de um polinômio de segundo grau da forma ax 2 + bx + c é a fórmula do resolvedor, que afirma que essas raízes são dadas por (–b ± √ (b 2 -4ac)) / 2a, onde b 2 -4ac é conhecido como discriminante e geralmente é denotado por ∆. A partir desta fórmula, segue-se que ax 2 + bx + c possui:

– Duas raízes reais diferentes se ∆> 0.

– Uma única raiz real se ∆ = 0.

– Não possui raiz real se ∆ <0.

A seguir, apenas os trinômios da forma x 2 + bx + c serão considerados, onde claramente c deve ser um número diferente de zero (caso contrário, seria um binômio). Esses tipos de trinômios têm certas vantagens quando se trata de fatorar e operar com eles.

Interpretação geométrica

Geometricamente, o trinómio x 2 + bx + c é uma parábola que se abre para cima e tem o vértice no ponto (-b / 2, -b 2 /4 + c) o plano cartesiano que x 2 + bx + c = ( x + b / 2) 2 -b 2 /4 + c.

Essa parábola corta para o eixo Y no ponto (0, c) e o eixo X nos pontos (d 1 , 0) e (d 2 , 0); então, d 1 e d 2 são as raízes do trinômio. Pode acontecer que o trinômio tenha apenas uma raiz d; nesse caso, o único corte com o eixo X seria (d, 0).

Também pode acontecer que o trinômio não tenha raízes reais, caso em que não cortaria o eixo X em nenhum momento.

Por exemplo, x 2 + 6x + 9 = (x + 3) 2 -9 + 9 = (x + 3) 2 é a parábola com vértice em (-3,0), que corta o eixo Y em (0, 9) e para o eixo X em (-3,0).

Trinomial da forma x ^ 2 + bx + c (com Exemplos) 2

Fatoração Trinomial

Uma ferramenta muito útil ao trabalhar com polinômios é a fatoração, que consiste em expressar um polinômio como um produto de fatores. Em geral, dado um trinômio da forma x 2 + bx + c, se tiver duas raízes diferentes d 1 e d 2 , pode ser fatorado como (xd 1 ) (xd 2 ).

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Se tiver uma única raiz d, poderá ser fatorada como (xd) (xd) = (xd) 2 e, se não tiver uma raiz real, será a mesma; neste caso, não admite uma fatoração como produto de outros fatores que não ele próprio.

Isso significa que, conhecendo as raízes de um trinômio da maneira já estabelecida, sua fatoração pode ser facilmente expressa e, como já mencionado acima, essas raízes sempre podem ser determinadas usando o resolvedor.

No entanto, existe uma quantidade significativa desse tipo de trinômio que pode ser fatorada sem a necessidade de conhecer suas raízes de antemão, o que simplifica o trabalho.

As raízes podem ser determinadas diretamente a partir da fatoração sem usar a fórmula do resolvedor; estes são os polinômios da forma x 2 + (a + b) x + ab. Nesse caso, você tem:

x 2 + (a + b) x + ab = x 2 + ax + bx + ab = x (x + a) + b (x + a) = (x + b) (x + a).

A partir daqui, é fácil observar que as raízes são –ay –b.

Em outras palavras, dado um trinômio x 2 + bx + c, se houver dois números u e v tais que c = uv eb = u + v, então x 2 + bx + c = (x + u) (x + v).

Ou seja, dado um trinômio x 2 + bx + c, primeiro é verificado se existem dois números que multiplicados fornecem o termo independente (c) e adicionados (ou subtraídos, dependendo do caso), fornecem o termo que acompanha x ( b)

Nem com todos os trinômios dessa maneira esse método pode ser aplicado; em que não é possível, o resolvedor é consultado e o mencionado acima se aplica.

Exemplos

Exemplo 1

Para fatorar o seguinte trinômio x 2 + 3x + 2, faça o seguinte:

Dois números devem ser encontrados para que, adicionando-os, o resultado seja 3 e, multiplicando-os, o resultado seja 2.

Depois de fazer uma inspeção, pode-se concluir que os números buscados são: 2 e 1. Portanto, x 2 + 3x + 2 = (x + 2) (x + 1).

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Exemplo 2

Para fatorar o trinômio x 2 -5x + 6, procuramos dois números cuja soma é -5 e seu produto é 6. Os números que atendem a essas duas condições são -3 e -2. Portanto, a fatoração trinomial fornecida é x 2 -5x + 6 = (x-3) (x-2).

Referências

  1. Fuentes, A. (2016). MATEMÁTICA BÁSICA. Uma introdução ao cálculo. Lulu.com
  2. Garo, M. (2014). Matemática: equações quadráticas: Como resolver uma equação quadrática. Marilù Garo.
  3. Haeussler, EF, e Paul, RS (2003). Matemática para administração e economia. Pearson Education.
  4. Jimenez, J., Rodriguez, M., & Estrada, R. (2005). Matemática 1 SEP. Limiar
  5. Preciado, CT (2005). Curso de Matemática 3º. Editorial Progreso.
  6. Rock, NM (2006). Álgebra eu sou fácil! Tão fácil. Team Rock Press
  7. Sullivan, J. (2006). Álgebra e Trigonometria. Pearson Education.

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