Trinomial da forma x ^ 2 + bx + c (com Exemplos)

O trinomial da forma x^2 + bx + c é uma expressão matemática que possui três termos, sendo o primeiro termo um quadrado perfeito, o segundo termo uma constante multiplicada por x e o terceiro termo uma constante independente de x. Este tipo de trinomial pode ser fatorado utilizando o método da decomposição em dois binômios.

Exemplos de trinômios da forma x^2 + bx + c:

1) x^2 + 5x + 6
Para fatorar este trinômio, devemos encontrar dois números que somados resultem em 5 (coeficiente de x) e que multiplicados resultem em 6 (constante independente). Os números que satisfazem essas condições são 2 e 3. Assim, a fatoração será:
(x + 2)(x + 3)

2) x^2 – 4x – 5
Neste caso, devemos encontrar dois números que somados resultem em -4 (coeficiente de x) e que multiplicados resultem em -5 (constante independente). Os números que satisfazem essas condições são -5 e 1. Portanto, a fatoração será:
(x – 5)(x + 1)

Conceito e exemplo de trinômio na matemática: entenda de forma simples e prática.

Um trinômio na matemática é uma expressão algébrica que possui três termos. Em sua forma mais comum, um trinômio é representado por x^2 + bx + c, onde x^2 é o termo quadrático, bx é o termo linear e c é o termo constante.

Um exemplo de trinômio é x^2 + 5x + 6. Neste caso, x^2 é o termo quadrático, 5x é o termo linear e 6 é o termo constante. Para simplificar a expressão, basta resolver as operações matemáticas de acordo com as regras estabelecidas.

Os trinômios são comumente utilizados em equações quadráticas e podem ser fatorados para encontrar as raízes da equação. Saber identificar e manipular trinômios é essencial para resolver problemas matemáticos mais complexos.

Identificando trinômios: dicas simples para reconhecer e resolver essas expressões matemáticas.

Um trinômio é uma expressão matemática composta por três termos. Na forma x^2 + bx + c, o trinômio é identificado pelo termo quadrático x^2, pelo termo linear bx e pelo termo constante c. Para reconhecer e resolver trinômios dessa forma, algumas dicas simples podem ser muito úteis.

Uma maneira de identificar trinômios é observar a presença do termo quadrático, que sempre estará elevado ao quadrado. Em seguida, verifique se há um termo linear e um termo constante. Caso esses três elementos estejam presentes, você está diante de um trinômio da forma x^2 + bx + c.

Para resolver trinômios dessa forma, basta aplicar técnicas como fatoração, completar o quadrado ou utilizar a fórmula de Bhaskara, dependendo do caso. Vamos ver um exemplo prático:

Considere o trinômio 2x^2 + 5x – 3. Neste caso, temos o termo quadrático 2x^2, o termo linear 5x e o termo constante -3. Portanto, podemos afirmar que se trata de um trinômio da forma x^2 + bx + c.

Agora, podemos resolver esse trinômio utilizando a fatoração. Ao fatorar o trinômio, chegamos à forma (2x – 1)(x + 3). Portanto, a fatoração do trinômio 2x^2 + 5x – 3 é (2x – 1)(x + 3).

Solução de trinômios: passo a passo para resolver expressões matemáticas de terceiro grau.

A solução de trinômios é uma técnica matemática utilizada para resolver expressões de terceiro grau, ou seja, trinômios da forma x ^ 2 + bx + c. Para resolver esse tipo de expressão, é necessário seguir alguns passos simples que garantem a obtenção do resultado correto.

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O primeiro passo é identificar os valores de b e c na expressão x ^ 2 + bx + c. Em seguida, procuramos dois números que somados resultem em b e multiplicados resultem em c. Esses números serão os coeficientes que irão compor os binômios que vamos utilizar para resolver o trinômio.

Com os coeficientes identificados, podemos escrever o trinômio na forma de um quadrado perfeito, ou seja, na forma de (x + m) ^ 2, onde m é um número que será determinado a partir dos coeficientes encontrados anteriormente.

Por fim, utilizamos a propriedade distributiva para expandir a expressão (x + m) ^ 2 e obter a solução do trinômio. Vamos ver um exemplo para ilustrar melhor esse processo:

Considere o trinômio x ^ 2 + 5x + 6. Podemos identificar que b = 5 e c = 6. Os números que somados resultam em 5 e multiplicados resultam em 6 são 2 e 3. Portanto, podemos reescrever o trinômio como x ^ 2 + 2x + 3x + 6.

Em seguida, agrupamos os termos em pares e fatoramos, obtendo x(x + 2) + 3(x + 2). Assim, temos (x + 2)(x + 3). Portanto, a solução do trinômio x ^ 2 + 5x + 6 é (x + 2)(x + 3).

Seguindo esses passos simples, é possível resolver trinômios de terceiro grau de forma rápida e eficiente, garantindo a obtenção do resultado correto.

Descubra os 4 tipos de fatoração: comum, agrupamento, diferença de quadrados e trinômio do quadrado perfeito.

Quando se trata de fatoração de expressões algébricas, existem quatro tipos principais que são comumente utilizados: fatoração comum, agrupamento, diferença de quadrados e trinômio do quadrado perfeito. Neste artigo, vamos nos concentrar no trinômio da forma x ^ 2 + bx + c.

Um trinômio da forma x ^ 2 + bx + c é uma expressão algébrica que consiste em três termos, sendo o primeiro termo um quadrado perfeito, o segundo termo um produto da multiplicação de dois termos e o terceiro termo um número constante.

Para fatorar um trinômio desse tipo, devemos procurar dois números que, quando multiplicados, resultem no terceiro termo da expressão e, quando somados, resultem no segundo termo. Em seguida, podemos expressar o trinômio como o produto de dois binômios.

Vamos ver um exemplo para ilustrar melhor esse conceito. Considere o trinômio x ^ 2 + 5x + 6. Para fatorá-lo, precisamos encontrar dois números que multiplicados resultem em 6 e somados resultem em 5. Esses números são 2 e 3. Portanto, podemos fatorar o trinômio da seguinte forma: (x + 2)(x + 3).

Como podemos ver, a fatoração de trinômios da forma x ^ 2 + bx + c segue um processo simples, mas requer atenção para identificar os números corretos que irão permitir a fatoração da expressão. Praticar diversos exercícios pode ajudar a aprimorar essa habilidade e tornar a fatoração de trinômios uma tarefa mais fácil e rápida.

Trinomial da forma x ^ 2 + bx + c (com Exemplos)

Antes de aprender a resolver o trinômio da forma x ^ 2 + bx + c , e mesmo antes de conhecer o conceito de trinomial, é importante conhecer duas noções essenciais; ou seja, os conceitos de monômio e polinômio. Um monômio é uma expressão do tipo a * x n , onde a é um número racional, n é um número natural e x é uma variável.

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Um polinomial é uma combinação linear de monomios de forma a n * x n + um n-1 * x n-1 + … + a 2 * x 2 + a 1 * x + a 0 , em que cada um de i , com i = 0, …, n, é um número racional, n é um número natural e a_n é diferente de zero. Nesse caso, diz-se que o grau do polinômio é n.

Trinomial da forma x ^ 2 + bx + c (com Exemplos) 1

Um polinômio formado pela soma de apenas dois termos (dois monômios) de diferentes graus, é conhecido como binomial.

Trinomiais

Um polinômio formado pela soma de apenas três termos (três monômios) de diferentes graus, é conhecido como trinomial. A seguir, exemplos de trinômios:

  • x 3 + x 2 + 5x
  • 2x 4 -x 3 +5
  • x 2 + 6x + 3

Existem vários tipos de trinômios. Destes, destaca-se o trinômio quadrado perfeito.

Trinomial quadrado perfeito

Um trinômio quadrado perfeito é o resultado do aumento de um binômio ao quadrado. Por exemplo:

  • (3x-2) 2 = 9x 2 -12x + 4
  • (2x 3 + y) 2 = 4x 6 + 4x 3 y + y 2
  • (4x 2 -2y 4 ) 2 = 16x 4 -16x 2 y 4 + 4y 8
  • 1 / 16x 2 e 8 -1 / 2x e 4 z + z 2 = (1 / 4x e 4 ) 2 -2 (1 / 4x e 4 ) z + z 2 = (1 / 4x e 4 -z) 2

Características dos trinômios de grau 2

Quadrado perfeito

Em geral, um trinômio da forma ax 2 + bx + c é um quadrado perfeito se seu discriminante for igual a zero; isto é, se b 2 -4ac = 0, pois nesse caso, ele terá apenas uma raiz e poderá ser expresso na forma a (xd) 2 = (√a (xd)) 2 , onde d é a raiz já mencionada.

A raiz de um polinômio é um número no qual o polinômio se torna zero; em outras palavras, um número que, substituindo-o em x na expressão do polinômio, dá zero.

Resolução de Fórmula

Uma fórmula geral para calcular as raízes de um polinômio de segundo grau da forma ax 2 + bx + c é a fórmula do resolvedor, que afirma que essas raízes são dadas por (–b ± √ (b 2 -4ac)) / 2a, onde b 2 -4ac é conhecido como discriminante e geralmente é denotado por ∆. A partir desta fórmula, segue-se que ax 2 + bx + c possui:

– Duas raízes reais diferentes se ∆> 0.

– Uma única raiz real se ∆ = 0.

– Não possui raiz real se ∆ <0.

A seguir, apenas os trinômios da forma x 2 + bx + c serão considerados, onde claramente c deve ser um número diferente de zero (caso contrário, seria um binômio). Esses tipos de trinômios têm certas vantagens quando se trata de fatorar e operar com eles.

Interpretação geométrica

Geometricamente, o trinómio x 2 + bx + c é uma parábola que se abre para cima e tem o vértice no ponto (-b / 2, -b 2 /4 + c) o plano cartesiano que x 2 + bx + c = ( x + b / 2) 2 -b 2 /4 + c.

Essa parábola corta para o eixo Y no ponto (0, c) e o eixo X nos pontos (d 1 , 0) e (d 2 , 0); então, d 1 e d 2 são as raízes do trinômio. Pode acontecer que o trinômio tenha apenas uma raiz d; nesse caso, o único corte com o eixo X seria (d, 0).

Também pode acontecer que o trinômio não tenha raízes reais, caso em que não cortaria o eixo X em nenhum momento.

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Por exemplo, x 2 + 6x + 9 = (x + 3) 2 -9 + 9 = (x + 3) 2 é a parábola com vértice em (-3,0), que corta o eixo Y em (0, 9) e para o eixo X em (-3,0).

Trinomial da forma x ^ 2 + bx + c (com Exemplos) 2

Fatoração Trinomial

Uma ferramenta muito útil ao trabalhar com polinômios é a fatoração, que consiste em expressar um polinômio como um produto de fatores. Em geral, dado um trinômio da forma x 2 + bx + c, se tiver duas raízes diferentes d 1 e d 2 , pode ser fatorado como (xd 1 ) (xd 2 ).

Se tiver uma única raiz d, poderá ser fatorada como (xd) (xd) = (xd) 2 e, se não tiver uma raiz real, será a mesma; neste caso, não admite uma fatoração como produto de outros fatores que não ele próprio.

Isso significa que, conhecendo as raízes de um trinômio da maneira já estabelecida, sua fatoração pode ser facilmente expressa e, como já mencionado acima, essas raízes sempre podem ser determinadas usando o resolvedor.

No entanto, existe uma quantidade significativa desse tipo de trinômio que pode ser fatorada sem a necessidade de conhecer suas raízes de antemão, o que simplifica o trabalho.

As raízes podem ser determinadas diretamente a partir da fatoração sem usar a fórmula do resolvedor; estes são os polinômios da forma x 2 + (a + b) x + ab. Nesse caso, você tem:

x 2 + (a + b) x + ab = x 2 + ax + bx + ab = x (x + a) + b (x + a) = (x + b) (x + a).

A partir daqui, é fácil observar que as raízes são –ay –b.

Em outras palavras, dado um trinômio x 2 + bx + c, se houver dois números u e v tais que c = uv eb = u + v, então x 2 + bx + c = (x + u) (x + v).

Ou seja, dado um trinômio x 2 + bx + c, primeiro é verificado se existem dois números que multiplicados fornecem o termo independente (c) e adicionados (ou subtraídos, dependendo do caso), fornecem o termo que acompanha x ( b)

Nem com todos os trinômios dessa maneira esse método pode ser aplicado; em que não é possível, o resolvedor é consultado e o mencionado acima se aplica.

Exemplos

Exemplo 1

Para fatorar o seguinte trinômio x 2 + 3x + 2, faça o seguinte:

Dois números devem ser encontrados para que, adicionando-os, o resultado seja 3 e, multiplicando-os, o resultado seja 2.

Depois de fazer uma inspeção, pode-se concluir que os números buscados são: 2 e 1. Portanto, x 2 + 3x + 2 = (x + 2) (x + 1).

Exemplo 2

Para fatorar o trinômio x 2 -5x + 6, procuramos dois números cuja soma é -5 e seu produto é 6. Os números que atendem a essas duas condições são -3 e -2. Portanto, a fatoração trinomial fornecida é x 2 -5x + 6 = (x-3) (x-2).

Referências

  1. Fuentes, A. (2016). MATEMÁTICA BÁSICA. Uma introdução ao cálculo. Lulu.com
  2. Garo, M. (2014). Matemática: equações quadráticas: Como resolver uma equação quadrática. Marilù Garo.
  3. Haeussler, EF, e Paul, RS (2003). Matemática para administração e economia. Pearson Education.
  4. Jimenez, J., Rodriguez, M., & Estrada, R. (2005). Matemática 1 SEP. Limiar
  5. Preciado, CT (2005). Curso de Matemática 3º. Editorial Progreso.
  6. Rock, NM (2006). Álgebra eu sou fácil! Tão fácil. Team Rock Press
  7. Sullivan, J. (2006). Álgebra e Trigonometria. Pearson Education.

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