A fatoração é um método utilizado em matemática para simplificar uma expressão que pode conter números variáveis, ou uma combinação de ambos.
Para falar sobre fatoração, o aluno deve primeiro mergulhar no mundo da matemática e entender certos conceitos básicos.
Constantes e variáveis são dois conceitos fundamentais. Uma constante é um número, que pode ser qualquer um. O iniciante geralmente tem problemas para resolver com números inteiros que são mais fáceis de manusear, mas mais tarde esse campo é estendido a qualquer valor real e até complexo.
Por sua vez, costumamos nos dizer que a variável é o “x” e que assume qualquer valor. Mas esse conceito é um pouco conciso. Para assimilar melhor, vamos imaginar que percorremos uma estrada infinita em uma determinada direção.
A cada momento, passamos por ele e é a distância percorrida desde o início de nossa caminhada que nos indica nossa posição. Nossa posição é a variável.
Agora, se você andou 300 metros por aquela estrada, mas eu andei 600, posso dizer que minha posição é 2 vezes a sua, ou seja, eu = 2 * VOCÊ. As variáveis na equação são VOCÊ e I, e a constante é 2. Esse valor constante é o fator que multiplica a variável.
Quando temos equações mais complicadas, usamos a fatoração, que é extrair os fatores comuns para simplificar a expressão, facilitar a resolução ou a capacidade de realizar operações algébricas com ela.
Fatoração em números primos
Um número primo é um número inteiro que só é divisível por si e por unidade. O número um não é considerado um número primo.
Os números primos são 2, 3, 5, 7, 11 … etc. Não existe uma fórmula para calcular um número primo até hoje; portanto, para saber se um número é primo ou não, tente dividir em fatores e testar.
Fatorar um número em números primos é encontrar os números que, multiplicados e adicionados, nos dão o número fornecido. Por exemplo, se tivermos o número 132, dividimos da seguinte forma:
Dessa maneira, consideramos 132 como a multiplicação de números primos.
Polinômios
Vamos voltar para a estrada
Agora, não só você e eu estamos andando na estrada. Há outras pessoas também. Cada um deles representa uma variável. E não apenas continuamos andando na estrada, mas alguns se desviam e saem do caminho. Andamos no avião e não na reta.
Para complicar um pouco mais, algumas pessoas não apenas dobram ou multiplicam nossa velocidade por um fator, mas podem ser tão rápidas quanto o quadrado, o cubo ou a enésima potência de nosso.
Vamos chamar a nova expressão polinomial, pois expressa muitas variáveis ao mesmo tempo. O grau do polinômio é dado pelo maior expoente de sua variável.
Dez casos de fatoração
1- Para fatorar um polinômio, procuramos novamente fatores comuns (que são repetidos) na expressão.
2- É possível que o fator comum seja por sua vez um polinômio, por exemplo:
3- Trinomial quadrado perfeito. A expressão resultante do quadrado de um binômio é nomeada.
4- Diferença de quadrados perfeitos. Ocorre quando a expressão é a subtração de dois termos com raiz quadrada exata:
5- Trinomial quadrado perfeito por adição e subtração. Ocorre quando a expressão tem três termos; alguns deles são quadrados perfeitos e o terceiro é completado com a soma de duas vezes o produto das raízes.
Seria desejável se fosse assim
Em seguida, adicionamos os termos ausentes e os subtraímos, para não alterar a equação:
Reagrupando temos:
Agora aplicamos a soma dos quadrados que diz:
Onde:
6- Trinomial do formulário:
Nesse caso, o seguinte procedimento é realizado:
Exemplo: seja o polinômio
O sinal dependerá do seguinte: No primeiro dos fatores, o sinal terá o mesmo do segundo dos termos do trinômio, neste caso (+2); no segundo dos fatores, terá como resultado o resultado da multiplicação dos sinais do segundo e do terceiro fatores do trinômio ((+12). (+ 36)) = + 432.
Se os sinais forem os mesmos em ambos os casos, serão adicionados dois números que adicionam o segundo termo e o produto ou multiplicação é igual ao terceiro dos termos do trinômio:
k + m = b; km = c
Por outro lado, se os sinais não forem iguais, dois números devem ser buscados para que a diferença seja igual ao segundo termo e sua multiplicação resulte no valor do terceiro termo.
km = b; km = c
No nosso caso:
Então a fatoração é:
Todo o trinômio é multiplicado pelo coeficiente a.
O trinômio se decompõe em dois fatores binomiais, cujo primeiro termo é a raiz do termo quadrático
Os números syp são tais que sua soma é igual ao coeficiente 8 e sua multiplicação para 12
8- Soma ou diferença de enésimas potências. É o caso da expressão:
E a fórmula é aplicada:
No caso de diferença de poderes, independentemente de n ser par ou ímpar, aplica-se:
Exemplos:
9- Cubo perfeito de tetranômios. Já no caso anterior, as fórmulas são deduzidas:
10- Divisores Binômicos:
Quando assumimos que um polinômio é o resultado de uma multiplicação de vários binômios um com o outro, esse método é aplicado. Primeiro, os zeros do polinômio são determinados.
Zeros ou raízes são os valores que tornam a equação zero. Cada fator é criado com a raiz negativa encontrada, por exemplo, se o polinômio P (x) se torna zero para x = 8, então um dos binômios que o compõem será (x-8).Exemplo:
Os divisores do termo independente 14 são ± 1, ± 2, ± 7 e ± 14, portanto, é avaliado para descobrir se os binômios:
Eles são divisores do polinômio.
Avaliando para cada raiz:
Em seguida, a expressão é fatorada da seguinte maneira:
O polinômio é avaliado pelos valores:
Todos esses métodos de simplificação são úteis na resolução de problemas práticos em várias áreas cujos princípios se baseiam em expressões matemáticas como física, química etc., portanto, são ferramentas vitais em cada uma dessas ciências e em suas disciplinas específicas. .
Referências
- Fatoração Inteira. Recuperado de: academickids.com
- Vilson, J. (2014). Edutopia: Como ensinar as crianças a fatorar um polinômio.
- Teorema Fundamental da Aritmética. Recuperado de: mathisfun.com.
- Os 10 casos de fatoração. Recuperado de: teffymarro.blogspot.com.
- Polinômios de fatoração. Recuperado de: jamesbrennan.org.
- Factoring polinômios de terceiro grau. Recuperado de: blog.aloprofe.com.
- Como fatorar um polinômio cúbico. Recuperado de: wikihow.com.
- Os 10 casos de fatoração. Recuperado de: taringa.net.