A fatoração é um processo fundamental na matemática que consiste em decompor um número em seus fatores primos. Existem diversas técnicas e métodos para realizar essa operação, e neste artigo vamos abordar 10 métodos de fatoração de matematização. Esses métodos são utilizados para simplificar expressões algébricas, resolver equações, encontrar raízes de polinômios e muito mais. Compreender e dominar essas técnicas é essencial para o estudo e aplicação da matemática em diversas áreas do conhecimento. Vamos explorar cada um desses métodos e sua aplicação prática.
Descubra os 7 tipos de fatoração e como aplicá-los em equações matemáticas.
Existem diversos métodos de fatoração que podem ser aplicados em equações matemáticas para facilitar a resolução de problemas. Neste artigo, vamos abordar os 7 tipos de fatoração mais comuns e como aplicá-los de forma prática.
1. Fatoração comum: Consiste em encontrar o maior fator comum entre os termos de uma expressão e dividi-los por esse fator. Por exemplo, na equação 2x² + 4x, o maior fator comum é 2x, então podemos fatorar como 2x(x + 2).
2. Fatoração por agrupamento: É utilizado quando a expressão possui quatro termos e é possível agrupá-los de forma a encontrar um fator comum. Por exemplo, na equação x² + 2x – 3x – 6, podemos agrupar os termos e fatorar como (x + 2)(x – 3).
3. Fatoração por diferença de quadrados: É aplicado quando a expressão é o resultado da diferença de dois quadrados perfeitos. Por exemplo, na equação x² – 4, podemos fatorar como (x + 2)(x – 2).
4. Fatoração por soma ou diferença de cubos: Utilizado quando a expressão é o resultado da soma ou diferença de dois cubos perfeitos. Por exemplo, na equação x³ + 8, podemos fatorar como (x + 2)(x² – 2x + 4).
5. Fatoração de trinômios do segundo grau: Aplicado em expressões do tipo ax² + bx + c, onde é necessário encontrar dois números que somados resultem em b e multiplicados resultem em c. Por exemplo, na equação x² + 5x + 6, podemos fatorar como (x + 2)(x + 3).
6. Fatoração por tentativas: É utilizado quando os métodos anteriores não são aplicáveis e é necessário testar diferentes combinações para fatorar a expressão. Por exemplo, na equação x² + 7x + 12, podemos testar diferentes combinações até encontrar a fatoração correta.
7. Fatoração de polinômios: Consiste em fatorar polinômios de grau superior a 2, utilizando métodos como agrupamento, divisão sintética, entre outros. Por exemplo, na equação x³ + 6x² + 11x + 6, podemos utilizar a divisão sintética para fatorar o polinômio.
Com esses 7 tipos de fatoração, é possível resolver uma variedade de equações matemáticas de forma mais rápida e eficiente. Praticando esses métodos, é possível aprimorar suas habilidades em fatoração e facilitar a resolução de problemas mais complexos.
Conheça os diferentes métodos de fatorização utilizados em matemática.
Existem diversos métodos de fatorização utilizados em matemática para facilitar a resolução de equações e simplificar expressões algébricas. Conhecer esses métodos pode ser de grande ajuda para resolver problemas matemáticos de forma mais eficiente.
1. Fatoração por agrupamento: Esse método consiste em agrupar os termos de uma expressão e encontrar um fator comum em cada grupo.
2. Fatoração por diferenciação de quadrados: Neste método, é necessário identificar expressões que possam ser escritas na forma de (a + b)(a – b) para fatorá-las.
3. Fatoração por trinômio do segundo grau: Para fatorar expressões do tipo ax^2 + bx + c, é preciso encontrar dois números que somados resultem em b e multiplicados resultem em ac.
4. Fatoração por quadrado da soma ou da diferença: Esse método é utilizado para fatorar expressões do tipo a^2 + 2ab + b^2 ou a^2 – 2ab + b^2.
5. Fatoração por cubo perfeito: Quando uma expressão é um cubo perfeito, pode-se fatorá-la utilizando a fórmula a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = (a + b)^3.
6. Fatoração por diferença de dois quadrados: Semelhante à diferenciação de quadrados, esse método é aplicado quando a expressão pode ser escrita na forma de a^2 – b^2.
7. Fatoração por fator comum em evidência: Consiste em identificar um fator que é comum a todos os termos da expressão e fatorá-lo.
8. Fatoração por substituição: Esse método envolve substituir uma variável por outra para facilitar a fatoração da expressão.
9. Fatoração por soma ou diferença de cubos: É utilizado para fatorar expressões do tipo a^3 + b^3 ou a^3 – b^3.
10. Fatoração por divisão sintética: Esse método é utilizado para fatorar polinômios de grau maior que 2, realizando divisões sucessivas para encontrar os fatores.
Com o conhecimento desses diferentes métodos de fatorização, é possível resolver uma variedade de problemas matemáticos de forma mais eficiente e precisa, facilitando o entendimento e a resolução de equações e expressões algébricas.
Conheça os quatro tipos de fatoração utilizados na matemática básica.
Na matemática básica, a fatoração é uma técnica fundamental para simplificar expressões algébricas e resolver equações. Existem quatro tipos principais de fatoração que são frequentemente utilizados:
1. Fatoração de números inteiros: Consiste em decompor um número inteiro em seus fatores primos. Por exemplo, o número 24 pode ser fatorado como 2 x 2 x 2 x 3.
2. Fatoração de expressões algébricas: Neste tipo de fatoração, procuramos encontrar os fatores comuns em uma expressão algébrica. Por exemplo, a expressão x² + 2x pode ser fatorada como x(x + 2).
3. Fatoração por agrupamento: É utilizada quando uma expressão algébrica possui quatro termos e podemos agrupá-los de forma a facilitar a fatoração. Por exemplo, na expressão x² + 2xy + 2x + 4y, podemos agrupar os termos para fatorar.
4. Fatoração por diferença de quadrados: É aplicada quando temos uma expressão do tipo a² – b², onde podemos fatorar essa diferença como (a + b)(a – b). Por exemplo, x² – 4 pode ser fatorado como (x + 2)(x – 2).
Esses quatro tipos de fatoração são essenciais para resolver problemas matemáticos e simplificar cálculos. Dominar essas técnicas pode facilitar o trabalho com expressões algébricas e equações, tornando a matemática mais acessível e compreensível.
Como posso decompor o número 10 em seus fatores primos?
Para decompor o número 10 em seus fatores primos, primeiro precisamos entender o que são fatores primos. Fatores primos são números primos que multiplicados entre si resultam no número que estamos tentando decompor.
No caso do número 10, podemos começar dividindo-o pelos números primos menores, como o número 2. 10 dividido por 2 é igual a 5. Como 5 é primo, nossa decomposição termina aqui. Portanto, a decomposição de 10 em fatores primos é: 2 x 5.
Este método de decomposição em fatores primos é conhecido como fatoração em números primos, que é um dos 10 métodos de fatoração de matematização. Outros métodos incluem a fatoração por agrupamento, fatoração por diferença de dois quadrados e fatoração por soma ou diferença de dois cubos, entre outros.
É importante dominar a fatoração de números em seus fatores primos, pois isso pode ser útil em diversas áreas da matemática, como na simplificação de frações, resolução de equações e na simplificação de expressões algébricas.
10 Métodos de fatoração de matematização
A fatoração é um método utilizado em matemática para simplificar uma expressão que pode conter números variáveis, ou uma combinação de ambos.
Para falar sobre fatoração, o aluno deve primeiro mergulhar no mundo da matemática e entender certos conceitos básicos.
Constantes e variáveis são dois conceitos fundamentais. Uma constante é um número, que pode ser qualquer um. O iniciante geralmente tem problemas para resolver com números inteiros que são mais fáceis de manusear, mas mais tarde esse campo é estendido a qualquer valor real e até complexo.
Por sua vez, costumamos nos dizer que a variável é o “x” e que assume qualquer valor. Mas esse conceito é um pouco conciso. Para assimilar melhor, vamos imaginar que percorremos uma estrada infinita em uma determinada direção.
A cada momento, passamos por ele e é a distância percorrida desde o início de nossa caminhada que nos indica nossa posição. Nossa posição é a variável.
Agora, se você andou 300 metros por aquela estrada, mas eu andei 600, posso dizer que minha posição é 2 vezes a sua, ou seja, eu = 2 * VOCÊ. As variáveis na equação são VOCÊ e I, e a constante é 2. Esse valor constante é o fator que multiplica a variável.
Quando temos equações mais complicadas, usamos a fatoração, que é extrair os fatores comuns para simplificar a expressão, facilitar a resolução ou a capacidade de realizar operações algébricas com ela.
Fatoração em números primos
Um número primo é um número inteiro que só é divisível por si e por unidade. O número um não é considerado um número primo.
Os números primos são 2, 3, 5, 7, 11 … etc. Não existe uma fórmula para calcular um número primo até hoje; portanto, para saber se um número é primo ou não, tente dividir em fatores e testar.
Fatorar um número em números primos é encontrar os números que, multiplicados e adicionados, nos dão o número fornecido. Por exemplo, se tivermos o número 132, dividimos da seguinte forma:
Dessa maneira, consideramos 132 como a multiplicação de números primos.
Polinômios
Vamos voltar para a estrada
Agora, não só você e eu estamos andando na estrada. Há outras pessoas também. Cada um deles representa uma variável. E não apenas continuamos andando na estrada, mas alguns se desviam e saem do caminho. Andamos no avião e não na reta.
Para complicar um pouco mais, algumas pessoas não apenas dobram ou multiplicam nossa velocidade por um fator, mas podem ser tão rápidas quanto o quadrado, o cubo ou a enésima potência de nosso.
Vamos chamar a nova expressão polinomial, pois expressa muitas variáveis ao mesmo tempo. O grau do polinômio é dado pelo maior expoente de sua variável.
Dez casos de fatoração
1- Para fatorar um polinômio, procuramos novamente fatores comuns (que são repetidos) na expressão.
2- É possível que o fator comum seja por sua vez um polinômio, por exemplo:
3- Trinomial quadrado perfeito. A expressão resultante do quadrado de um binômio é nomeada.
4- Diferença de quadrados perfeitos. Ocorre quando a expressão é a subtração de dois termos com raiz quadrada exata:
5- Trinomial quadrado perfeito por adição e subtração. Ocorre quando a expressão tem três termos; alguns deles são quadrados perfeitos e o terceiro é completado com a soma de duas vezes o produto das raízes.
Seria desejável se fosse assim
Em seguida, adicionamos os termos ausentes e os subtraímos, para não alterar a equação:
Reagrupando temos:
Agora aplicamos a soma dos quadrados que diz:
Onde:
6- Trinomial do formulário:
Nesse caso, o seguinte procedimento é realizado:
Exemplo: seja o polinômio
O sinal dependerá do seguinte: No primeiro dos fatores, o sinal terá o mesmo do segundo dos termos do trinômio, neste caso (+2); no segundo dos fatores, terá como resultado o resultado da multiplicação dos sinais do segundo e do terceiro fatores do trinômio ((+12). (+ 36)) = + 432.
Se os sinais forem os mesmos em ambos os casos, serão adicionados dois números que adicionam o segundo termo e o produto ou multiplicação é igual ao terceiro dos termos do trinômio:
k + m = b; km = c
Por outro lado, se os sinais não forem iguais, dois números devem ser buscados para que a diferença seja igual ao segundo termo e sua multiplicação resulte no valor do terceiro termo.
km = b; km = c
No nosso caso:
Então a fatoração é:
Todo o trinômio é multiplicado pelo coeficiente a.
O trinômio se decompõe em dois fatores binomiais, cujo primeiro termo é a raiz do termo quadrático
Os números syp são tais que sua soma é igual ao coeficiente 8 e sua multiplicação para 12
8- Soma ou diferença de enésimas potências. É o caso da expressão:
E a fórmula é aplicada:
No caso de diferença de poderes, independentemente de n ser par ou ímpar, aplica-se:
Exemplos:
9- Cubo perfeito de tetranômios. Já no caso anterior, as fórmulas são deduzidas:
10- Divisores Binômicos:
Quando assumimos que um polinômio é o resultado de uma multiplicação de vários binômios um com o outro, esse método é aplicado. Primeiro, os zeros do polinômio são determinados.
Zeros ou raízes são os valores que tornam a equação zero. Cada fator é criado com a raiz negativa encontrada, por exemplo, se o polinômio P (x) se torna zero para x = 8, então um dos binômios que o compõem será (x-8).Exemplo:
Os divisores do termo independente 14 são ± 1, ± 2, ± 7 e ± 14, portanto, é avaliado para descobrir se os binômios:
Eles são divisores do polinômio.
Avaliando para cada raiz:
Em seguida, a expressão é fatorada da seguinte maneira:
O polinômio é avaliado pelos valores:
Todos esses métodos de simplificação são úteis na resolução de problemas práticos em várias áreas cujos princípios se baseiam em expressões matemáticas como física, química etc., portanto, são ferramentas vitais em cada uma dessas ciências e em suas disciplinas específicas. .
Referências
- Fatoração Inteira. Recuperado de: academickids.com
- Vilson, J. (2014). Edutopia: Como ensinar as crianças a fatorar um polinômio.
- Teorema Fundamental da Aritmética. Recuperado de: mathisfun.com.
- Os 10 casos de fatoração. Recuperado de: teffymarro.blogspot.com.
- Polinômios de fatoração. Recuperado de: jamesbrennan.org.
- Factoring polinômios de terceiro grau. Recuperado de: blog.aloprofe.com.
- Como fatorar um polinômio cúbico. Recuperado de: wikihow.com.
- Os 10 casos de fatoração. Recuperado de: taringa.net.