As classes de conjuntos podem ser classificadas em iguais, finitas e infinitas, subconjuntos, vazios, disjuntos ou disjuntivos, equivalentes, unitários, sobrepostos ou sobrepostos, congruentes e não congruentes, entre outros.
Um conjunto é uma coleção de objetos, mas são necessários novos termos e símbolos para poder falar com sensibilidade sobre os conjuntos. Por exemplo, diz conjunto de cavalos, conjunto de números reais, conjunto de pessoas, conjunto de cães, etc.
Na linguagem comum, o mundo em que vivemos classificando as coisas faz sentido. O espanhol tem muitas palavras para essas coleções. Por exemplo, “um bando de pássaros”, “um rebanho de gado”, “um enxame de abelhas” e “uma colônia de formigas”.
Algo semelhante é feito na matemática quando números, figuras geométricas etc. são classificados. Os objetos desses conjuntos são chamados de elementos do conjunto.
Descrição de um conjunto
Um conjunto pode ser descrito listando todos os seus elementos. Por exemplo,
S = {1, 3, 5, 7, 9}.
“S é o conjunto cujos elementos são 1, 3, 5, 7 e 9”. Os cinco elementos do conjunto são separados por vírgulas e são listados entre chaves.
Um conjunto também pode ser delimitado, apresentando uma definição de seus elementos entre colchetes. Assim, o conjunto anterior S também pode ser escrito como:
S = {números inteiros ímpares menores que 10}.
Um conjunto deve ser bem definido. Isso significa que a descrição dos elementos de um conjunto deve ser clara e inequívoca. Por exemplo, {pessoas altas} não é um conjunto, porque as pessoas tendem a discordar do que significa “altura”. Um exemplo de um conjunto bem definido é
T = {letras do alfabeto}.
Tipos de conjuntos
1- Conjuntos iguais
Dois conjuntos são iguais se tiverem exatamente os mesmos elementos.
Por exemplo:
- Se A = {vogais do alfabeto} e B = {a, e, i, o, u}, diz-se que A = B.
- Por outro lado, os conjuntos {1, 3, 5} e {1, 2, 3} não são os mesmos, porque possuem elementos diferentes. Isso está escrito como {1, 3, 5} ≠ {1, 2, 3}.
- A ordem na qual os elementos são escritos dentro dos colchetes não importa. Por exemplo, {1, 3, 5, 7, 9} = {3, 9, 7, 5, 1} = {5, 9, 1, 3, 7}.
- Se um item aparecer na lista mais de uma vez, será contado apenas uma vez. Por exemplo, {a, a, b} = {a, b}.
O conjunto {a, a, b} possui apenas os dois elementos a e b. A segunda menção de a é uma repetição desnecessária e pode ser ignorada. Geralmente, é considerada uma notação ruim quando um item é listado mais de uma vez.
2- Conjuntos finitos e infinitos
Conjuntos finitos são aqueles em que todos os elementos do conjunto podem ser contados ou listados. Aqui estão dois exemplos:
- {Inteiros entre 2.000 e 2.005} = {2.001, 2.002, 2.003, 2.004}
- {Inteiros entre 2.000 e 3.000} = {2.001, 2.002, 2.003,…, 2.999}
Os três pontos ‘…’ no segundo exemplo representam os outros 995 números no conjunto. Você poderia ter listado todos os elementos, mas, para economizar espaço, foram utilizados pontos. Essa notação só pode ser usada se estiver completamente claro o que significa, como nesta situação.
Um conjunto também pode ser infinito – a única coisa que importa é que seja bem definido. Aqui estão dois exemplos de conjuntos infinitos:
- {Números pares e inteiros maiores ou iguais a dois} = {2, 4, 6, 8, 10,…}
- {Inteiros maiores que 2.000} = {2.001, 2.002, 2.003, 2.004,…}
Os dois conjuntos são infinitos, pois, não importa quantos itens você tente listar, sempre haverá mais itens no conjunto que não poderão ser listados, não importa quanto tempo você tente. Desta vez, os pontos ‘…’ têm um significado ligeiramente diferente, porque representam infinitamente muitos elementos não listados.
3- Define subconjuntos
Um subconjunto é parte de um conjunto.
- Exemplo: As corujas são um tipo específico de pássaro; portanto, cada coruja também é um pássaro. Na linguagem dos conjuntos, é expresso dizendo que o conjunto de corujas é um subconjunto do conjunto de pássaros.
Um conjunto S é chamado de subconjunto de outro conjunto T, se cada elemento de S for um elemento de T. Isso é escrito como:
- S ⊂ T (Lê “S é um subconjunto de T”)
O novo símbolo ⊂ significa ‘é um subconjunto de’. Então {corujas} ⊂ {pássaros} porque cada coruja é um pássaro.
- Se A = {2, 4, 6} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, então A ⊂ B,
Porque cada elemento de A é um elemento de B.
O símbolo ⊄ significa ‘não é um subconjunto’.
Isso significa que pelo menos um elemento de S não é um elemento de T. Por exemplo:
- {Aves} ⊄ {criaturas voadoras}
Porque um avestruz é um pássaro, mas não voa.
- Se A = {0, 1, 2, 3, 4} e B = {2, 3, 4, 5, 6}, então A ⊄
Como 0 ∈ A, mas 0 ∉ B, ele lê “0 pertence ao conjunto A”, mas “0 não pertence ao conjunto B”.
4- Conjunto vazio
O símbolo Ø representa o conjunto vazio, que é o conjunto que não possui elementos. Nada no universo inteiro é um elemento do Ø:
- | Ø = 0 e X ∉ Ø, não importa o que X possa ser.
Existe apenas um conjunto vazio, porque dois conjuntos vazios têm exatamente os mesmos elementos, portanto, eles devem ser iguais um ao outro.
5- Conjuntos disjuntos ou disjuntivos
Dois conjuntos são chamados de disjuntos, se não tiverem elementos em comum. Por exemplo:
- Os conjuntos S = {2, 4, 6, 8} e T = {1, 3, 5, 7} são disjuntos.
6- Conjuntos equivalentes
Diz-se que A e B são equivalentes se tiverem a mesma quantidade de elementos que os constituem, ou seja, o número cardinal do conjunto A é igual ao número cardinal do conjunto B, n (A) = n (B). O símbolo para indicar um conjunto equivalente é ‘↔’.
- Por exemplo:
A = {1, 2, 3}, portanto, n (A) = 3
B = {p, q, r}, portanto, n (B) = 3
Portanto, A ↔ B
7- Conjuntos de unidades
É um conjunto que contém exatamente um elemento. Em outras palavras, existe apenas um elemento que compõe o conjunto.
Por exemplo:
- S = {a}
- Seja B = {é um número primo par}
Portanto, B é uma unidade definida porque existe apenas um número primo que é par, ou seja, 2.
8- Conjunto universal ou referencial
Um conjunto universal é a coleção de todos os objetos em um contexto ou teoria particular. Todos os outros conjuntos nesse quadro constituem subconjuntos do conjunto universal, chamados pelas letras maiúscula e itálica U.
A definição precisa de U depende do contexto ou teoria em consideração. Por exemplo:
- U pode ser definido como o conjunto de todos os seres vivos no planeta Terra. Nesse caso, o conjunto de todos os gatos é um subconjunto de U, o conjunto de todos os peixes é outro subconjunto de U.
- Se U é definido como o conjunto de todos os animais no planeta Terra, então o conjunto de todos os felinos é um subconjunto de U, o conjunto de todos os peixes é outro subconjunto de U, mas o conjunto de todas as árvores não é um subconjunto de U.
9- Conjuntos sobrepostos ou sobrepostos
Dois conjuntos que possuem pelo menos um elemento comum são chamados de conjuntos sobrepostos.
- Exemplo: Seja X = {1, 2, 3} e Y = {3, 4, 5}
Os dois conjuntos X e Y têm um elemento em comum, o número 3. Portanto, eles são chamados de conjuntos sobrepostos.
10- Conjuntos congruentes.
São aqueles conjuntos nos quais cada elemento de A tem a mesma relação de distância com seus elementos de imagem de B. Exemplo:
- B {2, 3, 4, 5, 6} e A {1, 2, 3, 4, 5}
A distância entre: 2 e 1, 3 e 2, 4 e 3, 5 e 4, 6 e 5 é uma (1) unidade, portanto A e B são conjuntos congruentes.
11- Conjuntos não congruentes
São aqueles em que você não pode estabelecer a mesma relação de distância entre cada elemento de A com sua imagem em B. Exemplo:
- B {2, 8, 20, 100, 500} e A {1, 2, 3, 4, 5}
A distância entre: 2 e 1, 8 e 2, 20 e 3, 100 e 4, 500 e 5 é diferente, portanto A e B são conjuntos não congruentes.
12- Conjuntos homogêneos
Todos os elementos que compõem o conjunto pertencem à mesma categoria, gênero ou classe. Eles são do mesmo tipo. Exemplo:
- B {2, 8, 20, 100, 500}
Todos os elementos de B são números, portanto o conjunto é considerado homogêneo.
13- Conjuntos heterogêneos
Os elementos que fazem parte do conjunto pertencem a diferentes categorias. Exemplo:
- A {z, auto, π, edifícios, maçã}
Não existe uma categoria à qual todos os elementos do conjunto pertençam; portanto, é um conjunto heterogêneo.
Referências
- Brown, P. et al. (2011). Conjuntos e diagramas de Venn. Universidade de Melbourne.
- Conjunto finito Recuperado de: math.tutorvista.com.
- Hoon, L. e Hoon, T. (2009). Insights Matemáticos Secundário 5 Normal (Acadêmico). Singapura, Pearson Educação Sul da Ásia Pte Ld.
- Recuperado de: searchsecurity.techtarget.com.
- Tipos de conjuntos. Recuperado de: math-only-math.com.