- Frazioni: significato di numeratore e denominatore e operazioni di base.
- m.c.m. per denominatori diversi con esempi concreti (7, 8, 5 e 9, 2).
- Frazioni equivalenti e prodotti incrociati per trovare numeri mancanti.
- Divisione di frazioni e semplificazione per risultati chiari.
Le frazioni sono uno strumento essenziale per descrivere parti di un intero e per confrontare quantità. Capire come funzionano numeratore e denominatore è il primo passo per riuscire a sommare, sottrarre, moltiplicare, dividere e, soprattutto, completare correttamente i numeri mancanti nelle frazioni.
Quando lavori con frazioni, non basta ricordare le regole: serve metodo. Per addizioni e sottrazioni con denominatori diversi entra in gioco il minimo comune multiplo (m.c.m.), mentre per scoprire valori mancanti si sfruttano equivalenze e prodotti incrociati. Questa guida, ricca di esempi, ti accompagnerà con un linguaggio chiaro e informale.
Cosa sono le frazioni e come si leggono i loro termini
Una frazione rappresenta una o più parti uguali di un tutto: il numero sopra la linea si chiama numeratore, mentre quello sotto è il denominatore. Se pensi a una pizza tagliata in 8 fette, 3 fette sono 3/8 del totale: il denominatore 8 indica in quante parti uguali è stato diviso l’intero, il numeratore 3 indica quante di quelle parti stai considerando.
Con le frazioni puoi eseguire tutte le operazioni aritmetiche di base. Addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione sono pienamente definite per le frazioni e si applicano seguendo regole precise che vedremo tra poco. Ricordalo: la frazione non è altro che un modo compatto per scrivere “a diviso b”.
Addizione e sottrazione quando i denominatori coincidono
Se due o più frazioni hanno lo stesso denominatore, la gestione è semplice: si sommano o si sottraggono i numeratori e si conserva il denominatore comune. Per esempio, 3/8 + 2/8 = 5/8 perché il denominatore (8) resta identico e sommi solo i “pezzi” numeratori (3 + 2). Lo stesso discorso vale per la differenza.
È buona pratica, una volta ottenuto il risultato, verificare se la frazione può essere semplificata dividendo numeratore e denominatore per uno stesso divisore comune. In questo modo ottieni una frazione equivalente più “pulita” e facile da interpretare.
E quando i denominatori sono diversi?
Quando i denominatori non sono uguali, bisogna prima portarli a un denominatore comune, preferibilmente il minimo comune multiplo (m.c.m.). Il m.c.m. dei denominatori è il più piccolo numero che è multiplo di tutti loro; una volta trovato, trasformi ogni frazione in un equivalente con quel denominatore e poi procedi a sommare o sottrarre i numeratori.
Per capire come funziona, considera questo schema generale: se il denominatore comune è D, allora moltiplichi ogni numeratore per D diviso il suo denominatore. In pratica “espandi” ciascuna frazione allo stesso denominatore per poter combinare i numeratori correttamente.
Esempio 1: denominatori 7, 8 e 5 e uso del m.c.m.
Immagina di dover combinare tre frazioni con denominatori 7, 8 e 5. Il loro m.c.m. è 280. Se le frazioni fossero, ad esempio, 32/7, 19/8 e 23/5, ecco la trasformazione: 280/7 = 40 e 40 × 32 = 1280; 280/8 = 35 e 35 × 19 = 665; 280/5 = 56 e 56 × 23 = 1288. Le frazioni equivalenti diventano quindi 1280/280, 665/280 e 1288/280, pronte per essere sommate o sottratte a seconda del problema proposto.
La logica è lineare: dividi il denominatore comune per il denominatore della frazione e moltiplica il risultato per il suo numeratore. Così riallinei i “tagli” dell’intero e puoi combinare quantità omogenee, evitando errori concettuali.
Esempio 2: denominatori 9 e 2, e semplificazione finale
Con due denominatori 9 e 2, il m.c.m. è 18. Trasformazione tipica: 18/9 = 2 e 2 × 25 = 50 per una frazione del tipo 25/9; mentre per denominatore 2 si ha 18/2 = 9 e 9 × 20 = 180, oppure 9 × 42 = 378 per numeratori 20 o 42, rispettivamente. Una volta ottenute le frazioni con denominatore 18, puoi eseguire l’operazione sui numeratori e, se possibile, semplificare il risultato.
Se, a lavoro finito, capiti su una frazione come 248/18, è utile ridurre entrambe le parti per lo stesso divisore: dividendo per 2 ottieni 124/9. La semplificazione rende i calcoli più eleganti e i risultati più leggibili, soprattutto nei passaggi successivi.
Frazioni equivalenti e numeri mancanti
Capire le frazioni equivalenti è fondamentale per “riempire” correttamente un numero mancante. Due frazioni sono equivalenti se si possono ottenere moltiplicando (o dividendo) numeratore e denominatore per lo stesso numero non nullo. Questo concetto ti permette, ad esempio, di passare da 1/6 a 3/18 moltiplicando per 3 sia sopra sia sotto.
Guarda il caso classico di ragione 1:6 riscritta come frazione 1/6. Moltiplicando 1/6 per 3/3 ottieni 3/18: se ti viene proposta la frazione 3/? equivalente a 1/6, il valore mancante è 18. Questa strategia vale sempre: per trovare un denominatore mancante, chiediti con quale numero è stato moltiplicato il numeratore e applica lo stesso fattore al denominatore.
Lo stesso meccanismo funziona al contrario. Se conosci il denominatore della frazione equivalente e ti manca il numeratore, usa la proporzione o i prodotti incrociati. Ad esempio, se a/b = c/d e conosci a, b e d, il numero mancante c si trova con c = (a × d)/b, mantenendo la coerenza tra le due frazioni.
Divisione di frazioni: interpretazioni e metodi
Ricorda che la notazione a/b è un altro modo per dire “a diviso b”. Quando devi calcolare (a/b) ÷ (c/d), puoi interpretare la divisione come moltiplicare la prima frazione per l’inversa della seconda, cioè (a/b) × (d/c). Questo è il metodo più rapido e diffuso.
Nella pratica operativa, molti insegnanti fanno riferimento a due strategie dal risultato equivalente: la cosiddetta “regola dell’orecchio” e i “prodotti incrociati”. Qualunque approccio tu scelga, se applicato correttamente, conduce allo stesso esito numerico, quindi è una questione di preferenza e di chiarezza per chi studia.
Una volta svolta la moltiplicazione (dopo l’inversione della seconda frazione), semplificare sempre quando possibile facilita i passaggi successivi. Ridurre numeratore e denominatore per un fattore comune evita numeri troppo grandi e rende i risultati più trasparenti.
Strategie pratiche per evitare errori frequenti
Prima di sommare o sottrarre frazioni, chiediti: i denominatori sono uguali? Se sì, opera direttamente sui numeratori; se no, calcola il m.c.m. e riscrivi le frazioni con denominatore comune. Questa semplice “checklist mentale” previene la maggior parte degli sbagli.
Quando devi trovare un numero mancante in una frazione equivalente, cerca il fattore di scala che trasforma una frazione nell’altra. Se è noto come cambia il numeratore, applica lo stesso fattore al denominatore (e viceversa). E se ti bloccassi, i prodotti incrociati sono un’ancora di salvezza affidabile.
Nel caso della divisione tra frazioni, passa con disinvoltura alla moltiplicazione per l’inverso: inverti la seconda frazione e moltiplica. Questo passaggio, oltre a essere più intuitivo, si combina bene con eventuali semplificazioni immediate tra numeratore e denominatore incrociati.
Esercizi commentati su addizione e sottrazione di frazioni
Allenarsi con esempi concreti consolida i concetti. Qui trovi tracce in stile scolastico con suggerimenti e, quando utile, la soluzione. Prova a risolverle in autonomia e confronta poi i passaggi.
Quesito 1
Esegui le operazioni con le seguenti frazioni e semplifica il risultato quando necessario. Controlla denominatori, trova il m.c.m. se serve, e riduci alla fine.
- a) —
- b) —
- c) —
Ricorda: con lo stesso denominatore sommi/sottrai i numeratori; con denominatori diversi, usa il m.c.m. e crea frazioni equivalenti.
Quesito 2
Ho comprato una tavoletta di cioccolato divisa in otto quadretti. Ieri ne ho mangiati tre e oggi due. Quale frazione ho già mangiato e quale frazione resta?
- a) Ho mangiato 5/8 e resta 3/8
- b) Ho mangiato 6/8 e resta 2/8
- c) Ho mangiato 3/8 e resta 5/8
Si sommano le parti mangiate: 3/8 + 2/8 = 5/8. Dunque ho mangiato 5/8 e ne resta 3/8.
Quesito 3
Ana ha una scatola con 6 uova. Per una torta le serve la metà delle uova e per una frittata un terzo delle uova. Quante uova usa in totale per le due ricette?
- a) 4 uova
- b) 5 uova
- c) 6 uova
La metà di 6 è 3, un terzo di 6 è 2; 3 + 2 = 5. Risposta corretta: 5 uova.
Prodotti incrociati ed equivalenze: perché funzionano
I prodotti incrociati sono un modo rapido per gestire proporzioni del tipo a/b = c/d, molto utili per i “numeri mancanti”. Moltiplicando in croce ottieni a × d = b × c, relazione che ti permette di ricavare il termine sconosciuto isolandolo con una semplice divisione.
L’idea di base è che due frazioni equivalenti rappresentano la stessa parte dell’intero. Se trasformi una frazione moltiplicando numeratore e denominatore per lo stesso numero, non cambi il valore della quantità, ma solo la sua rappresentazione. Ecco perché i prodotti incrociati mantengono l’uguaglianza.
Semplificazione: rendere le frazioni più leggere
Dopo ogni calcolo, conviene domandarsi se la frazione risultante può essere ridotta. Dividere numeratore e denominatore per un loro divisore comune non modifica il valore della frazione, ma ne semplifica la lettura e l’uso in successive operazioni.
Se incontri una frazione come 248/18, individua un divisore comune (ad esempio 2) e riduci: 248/18 → 124/9. In generale, la semplificazione evita numeri grandi e facilita confronti ed equivalenze, soprattutto nei problemi applicati.
Dal rapporto alla frazione: un passaggio utile
Un rapporto come 1:6 può essere scritto come frazione 1/6. Questo è utilissimo quando si chiede di completare una frazione equivalente, ad esempio trovare il denominatore mancante in 3/? equivalente a 1/6. Moltiplicando 1/6 per 3/3 ottieni 3/18; dunque il numero che manca è 18.
Allo stesso modo, se hai una forma come ?/18 equivalente a 1/6, il numeratore mancante sarà 3, perché 1 × 3 = 3 e 6 × 3 = 18. Questo “gioco” di fattori è il cuore delle frazioni equivalenti e rende veloci molti esercizi.
Piccolo promemoria operativo
– Stesso denominatore? Sì: somma/sottrai i numeratori. No: trova il m.c.m. e riscrivi le frazioni.
– Numeri mancanti? Usa equivalenze e prodotti incrociati per ricavare il termine ignoto con sicurezza.
– Divisione tra frazioni? Inversa della seconda e moltiplicazione, poi semplifica se possibile.
Imparando a maneggiare m.c.m., frazioni equivalenti e prodotti incrociati, riempire correttamente i numeri mancanti diventa un gesto naturale. Gli esempi con denominatori 7, 8 e 5 (m.c.m. 280) o con 9 e 2 (m.c.m. 18) mostrano come uniformare le frazioni prima di operare; la semplificazione finale (come 248/18 → 124/9) mantiene i risultati compatti; e il caso 1/6 → 3/18 chiarisce alla perfezione come si completano i valori mancanti nelle equivalenze.