Como somar e subtrair frações negativas: guia completo com MMC e borboleta

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Entender frações é indispensável para a matemática do dia a dia, e dominar como lidar com frações negativas faz toda a diferença na hora de somar e subtrair valores racionais. Nesta leitura, você vai descobrir regras práticas de sinais, formas de igualar denominadores e técnicas como MMC e borboleta, sempre com exemplos claros e comentários que evitam confusões comuns.

Além de explicar como proceder quando os denominadores são iguais ou diferentes, vamos reforçar boas práticas de simplificação para obter resultados irredutíveis, apresentar exercícios comentados e revisar multiplicação e divisão de frações para fechar todas as lacunas. Com um passo a passo direto e linguagem informal, a ideia é que você termine confiante para resolver qualquer soma ou subtração com frações negativas.

O que é fração e como funcionam numerador, denominador e sinais

Uma fração representa partes de um todo e é composta por dois termos: o número de cima é o numerador e o de baixo é o denominador. Por exemplo, em 3/8, 3 indica quantas partes estão sendo consideradas e 8 indica em quantas partes iguais o todo foi dividido.

Frações pertencem ao conjunto dos números racionais, e com elas realizamos as quatro operações básicas: adição, subtração, multiplicação e divisão. Quando entram sinais negativos, as contas continuam obedecendo às mesmas estruturas, mas precisamos tratar o sinal com atenção para não inverter resultados.

Se o denominador estiver negativo, podemos “subir” o sinal para o numerador, pois −a/b é equivalente a a/−b e ambos equivalem a −(a/b). Essa convenção simplifica a visualização e padroniza a escrita antes de somar ou subtrair.

Regras de sinais para somar e subtrair frações negativas

Quando adicionamos frações com sinais diferentes, subtraímos os valores absolutos e mantemos o sinal do termo com maior módulo; já na soma de duas frações negativas, somamos os módulos e o resultado fica negativo. Essa é a mesma lógica usada com números inteiros, aplicada agora a frações.

Para subtração, a dica de ouro é transformar tudo em adição: a − b equivale a a + (−b). Assim, subtrair 2/5 é o mesmo que adicionar −2/5, o que reduz a chance de erro ao distribuir sinais durante os passos do cálculo.

Sempre verifique se os denominadores são iguais; isso define a estratégia. Se forem diferentes, vamos precisar igualar as bases antes de mexer nos numeradores, seja com ajuste direto, MMC ou o método da borboleta.

Soma e subtração com denominadores iguais

Se as frações têm o mesmo denominador, o processo é direto: repetimos o denominador e somamos ou subtraímos apenas os numeradores, lembrando de aplicar as regras de sinais. Em outras palavras, com base comum, a conta fica muito mais simples.

Exemplo: 3/8 + 5/8 = 8/8 = 1. Aqui os denominadores já coincidem, por isso basta somar os numeradores. Outro exemplo clássico: 14/3 − 5/3 = 9/3 = 3, e depois podemos simplificar se necessário para obter uma forma mais enxuta.

Com sinal negativo, a lógica é idêntica. Por exemplo: 3/8 + (−5/8) = (3 − 5)/8 = −2/8, que pode ser reduzido para −1/4 dividindo numerador e denominador por 2. Já em (−7/6) − (5/6) = (−7 − 5)/6 = −12/6 = −2, respeitando a mesma base.

Quando os denominadores são diferentes: MMC e “divide e multiplica”

Se os denominadores não são iguais, precisamos levá-los a um denominador comum. Uma maneira robusta é usar o Mínimo Múltiplo Comum (MMC), que é o menor número positivo múltiplo de todos os denominadores envolvidos. Após encontrado o MMC, fazemos o “divide e multiplica”: dividimos o MMC pelo denominador de cada fração e multiplicamos o resultado pelo numerador correspondente.

Exemplo com três frações (adaptando o raciocínio a um cenário com sinais): suponha denominadores 7, 8 e 5, cujo MMC é 280. Então, 280/7 = 40; se o numerador fosse 32, obteríamos 40 × 32 = 1280. Para 8, temos 280/8 = 35; com numerador 19, obtemos 35 × 19 = 665. E para 5, 280/5 = 56; com numerador 23, 56 × 23 = 1288. Em um caso com sinais, se uma dessas frações for negativa, basta manter o sinal na multiplicação do numerador.

Outro exemplo: com denominadores 9 e 2, o MMC é 18. Seguindo a regra, 18/9 = 2 e 2 × 25 = 50; 18/2 = 9 e 9 × 20 = 180; se houvesse uma terceira fração com denominador 2 e numerador 42, novamente 18/2 = 9 e 9 × 42 = 378. Ao final, reunimos esses numeradores com seus sinais e, se surgir algo como 248/18, podemos simplificar por 2 e obter 124/9.

Em todos os casos, depois de somar ou subtrair os numeradores ajustados para o mesmo denominador, verifique se é possível simplificar a fração. Simplificar significa dividir numerador e denominador pelo mesmo divisor comum (como 2, 3, 5 etc.) para deixar o resultado irredutível.

Método da borboleta (cruzado)

Para duas frações, o método da borboleta, também chamado de “cruzadinha”, é extremamente prático. Multiplicamos cruzado os numeradores pelos denominadores da outra fração para formar o numerador da resposta, e multiplicamos os denominadores entre si para formar o denominador comum. É uma forma rápida de igualar as bases sem calcular explicitamente o MMC.

Exemplo com sinais: (−3/7) + (5/4). Multiplicando cruzado, 4 × (−3) = −12 e 7 × 5 = 35. O numerador resultante é −12 + 35 = 23. O denominador é 7 × 4 = 28. Logo, obtemos 23/28. Se fosse subtração, lembraríamos que a − b = a + (−b), aplicando o mesmo cruzamento com o sinal apropriado no numerador.

Para mais de duas frações, você pode aplicar a borboleta em pares: resolva as duas primeiras, simplifique se possível e, em seguida, combine o resultado com a terceira, e assim por diante, sempre garantindo que o sinal se mantenha consistente em cada etapa do cálculo.

Frações equivalentes e simplificação (deixe a resposta irredutível)

Em contas com negativos, a simplificação preserva o sinal: −6/8 reduz para −3/4 dividindo o numerador e o denominador por 2 (ou por 2 duas vezes). Mover o sinal para o numerador ajuda a manter a fração padronizada, deixando a leitura mais clara.

Revisão rápida: multiplicação e divisão de frações

Multiplicar frações é simples: numerador com numerador e denominador com denominador (“o de cima com o de cima e o de baixo com o de baixo”). Se uma das frações for negativa, o produto herda o sinal negativo; se ambas forem negativas, o resultado é positivo. Exemplos: (−2/3) × (5/7) = −10/21; (−3/5) × (−4/9) = 12/45, que simplifica para 4/15.

Na divisão, repetimos a primeira fração e multiplicamos pelo inverso (recíproco) da segunda. Assim, a ÷ b/c = a × c/b. Com sinais, a regra é a mesma dos inteiros: sinais iguais dão positivo; sinais diferentes dão negativo. Exemplo: (−3/8) ÷ (5/6) = (−3/8) × (6/5) = −18/40, que reduz para −9/20.

Mesmo que o foco aqui seja soma e subtração, revisar multiplicação e divisão ajuda a perceber padrões de simplificação e consolida o raciocínio com frações negativas em todas as operações.

Exemplos resolvidos passo a passo (com negativos)

Exemplo 1 — denominadores iguais: (−7/12) + (5/12) = (−7 + 5)/12 = −2/12, que simplifica para −1/6. Como a base é a mesma, lidamos só com numeradores e depois simplificamos.

Exemplo 2 — subtração transformada em adição: 3/10 − (−9/10) = 3/10 + 9/10 = 12/10, que reduz para 6/5. Converter a subtração em adição do oposto reduz erros de sinal.

Exemplo 3 — MMC com duas frações: (−5/6) + (2/9). O MMC de 6 e 9 é 18. Ajustando, (−5/6) vira (−15)/18 e 2/9 vira 4/18. Somando os numeradores: (−15 + 4)/18 = −11/18, já em forma irredutível.

Exemplo 4 — MMC com três frações: (3/5) − (−7/8) + (−2/3). O MMC de 5, 8 e 3 é 120. Ajustando: 3/5 → 72/120; −(−7/8) é +7/8 → 105/120; −2/3 → −80/120. Somando: 72 + 105 − 80 = 97, sobre 120. Resultado: 97/120.

Exemplo 5 — borboleta: (−4/11) − (3/5). Reescreva como (−4/11) + (−3/5). Cruzando: 5 × (−4) = −20; 11 × (−3) = −33; somando numeradores: −20 + (−33) = −53; denominador: 11 × 5 = 55. Resultado: −53/55.

Exercícios comentados sobre adição e subtração de frações

Questão 1 — Resolva e simplifique quando necessário.

a) (−3/8) + (5/8). Soma de numeradores com mesma base: (−3 + 5)/8 = 2/8 = 1/4.

b) 7/9 − (−4/9). Transforme em adição: 7/9 + 4/9 = 11/9, que é uma fração imprópria; pode ser mantida como 11/9 ou escrita como 1 e 2/9.

c) (−5/12) − (7/18). Converta para soma: (−5/12) + (−7/18). O MMC de 12 e 18 é 36. Ajustes: −5/12 → −15/36; −7/18 → −14/36. Somando: −29/36. Não simplifica; resposta: −29/36.

Questão 2 — Uma barra de chocolate tem 8 quadradinhos. Se alguém comeu 3 quadradinhos ontem e 2 hoje, que fração foi consumida e quanto falta? Somamos 3/8 + 2/8 = 5/8; restam 3/8. Logo, “Comi 5/8 e sobrou 3/8”.

Questão 3 — Uma caixa tem 6 ovos. Para um bolo utiliza-se a metade e para uma omelete, um terço. Metade de 6 é 3, e um terço de 6 é 2. Total: 3 + 2 = 5 ovos. Portanto, a alternativa correta é “5 ovos”.

MMC na prática: técnica “divide e multiplica” em detalhes

Ao usar MMC com muitas frações, organize em etapas: 1) ache o MMC por fatoração; 2) divida o MMC pelo denominador de cada fração; 3) multiplique o resultado pelo numerador, cuidando do sinal; 4) monte a expressão com o denominador comum; 5) some ou subtraia os numeradores e simplifique.

No exemplo com denominadores 7, 8 e 5, o MMC é 280, pois 280 é o menor múltiplo comum desses três números. Segue a aplicação: 280/7 = 40; multiplicando pelo numerador correspondente (como 32), obtemos 40 × 32 = 1280; 280/8 = 35; com numerador 19, fica 35 × 19 = 665; 280/5 = 56; com numerador 23, 56 × 23 = 1288. Depois, somamos ou subtraímos esses resultados conforme os sinais presentes nas frações originais.

Com denominadores 9 e 2, o MMC é 18. A técnica é a mesma: 18/9 = 2 (e 2 × 25 = 50), 18/2 = 9 (e 9 × 20 = 180). Se houver outra fração com denominador 2 e numerador 42, teremos 9 × 42 = 378. Ao final, surgindo uma fração como 248/18, a simplificação por 2 leva a 124/9, que é irredutível.

Método da borboleta: por que funciona e quando usar

A borboleta funciona porque nada mais é do que aplicar a ideia de denominador comum via produto dos denominadores. Em duas frações a/b e c/d, o resultado vem de ad + bc sobre bd. Não é sempre o menor denominador possível, mas é rápido e confiável, especialmente em contas mentais ou em provas com tempo limitado.

Use a borboleta quando há duas frações e a prioridade é agilidade. Se você busca a menor base comum para facilitar simplificações, o MMC costuma ser melhor. Na prática, muitos estudantes resolvem primeiro com a borboleta e depois reduzem a fração, obtendo o mesmo resultado final.

Erros comuns e como evitá-los

Erro 1 — Esquecer de transformar subtração em adição do oposto. Escrever a − b como a + (−b) simplifica o controle de sinais e evita confusões ao combinar numeradores.

Erro 2 — Somar denominadores quando eles são diferentes. O denominador comum deve ser igualado via MMC ou borboleta; somar bases é um deslize clássico que leva a resultados incorretos.

Erro 3 — Ignorar a simplificação final. Muitos resultados podem ser reduzidos por um divisor comum, deixando a fração irredutível e a interpretação numérica mais clara.

Erro 4 — Perder o sinal em meio às conversões. Padronize o negativo no numerador sempre que possível: −a/b é a forma preferida para manter a escrita consistente.

Dicas práticas para estudar frações negativas

Padronize a escrita: leve o sinal negativo para o numerador e mantenha o denominador positivo. Isso evita confusões quando você iguala as bases e combina numeradores.

Prefira etapas curtas: em vez de fazer tudo de uma vez, faça a conversão para denominador comum, some/subtraia os numeradores e só depois simplifique. Etapas pequenas reduzem erros.

Alterne métodos: pratique tanto o MMC quanto a borboleta. O MMC ajuda a chegar a denominadores menores; a borboleta é rápida e facilita quando o tempo é curto ou quando os números são pequenos.

Cheque o sentido numérico: ao final, pense se o resultado faz sentido com os sinais envolvidos (por exemplo, somar dois negativos deve dar negativo). Esse check evita respostas absurdas.

Aplicações do cotidiano

Frações negativas aparecem em finanças (dívidas), temperaturas abaixo de zero, deslocamentos em sentidos opostos e variações de estoque. Se você soma uma perda de −2/5 com outra de −1/5, obtém −3/5, o que representa um aumento da perda.

Já ao subtrair uma perda, como −4/7 − (−1/7), você está reduzindo a magnitude negativa: convertendo, −4/7 + 1/7 = −3/7, o que significa que a situação ficou “menos negativa”, pois diminuímos a dívida.

Mini revisão: adição e subtração com exemplos curtos

Mesma base, soma: (−2/9) + (−4/9) = −6/9 = −2/3.

Mesma base, subtração: 11/10 − (−1/10) = 12/10 = 6/5.

Borboleta, soma: (5/12) + (−1/8) → cruzado: 8 × 5 = 40; 12 × (−1) = −12; numerador 28; denominador 96; resultado 28/96 = 7/24.

MMC, subtração: (−3/5) − (2/3) → (−9/15) + (−10/15) = −19/15, que é fração imprópria; pode ser mantida como −19/15 ou escrita como −1 e 4/15.

Para fechar, vale lembrar que a clareza no tratamento de sinais, a padronização do negativo no numerador e o hábito de simplificar ao final são as três práticas que mais evitam retrabalho e erros bobos em frações negativas.

No conjunto, dominando denominadores iguais, MMC, borboleta e a conversão de subtração em adição do oposto, você está preparado para resolver de forma segura a soma e a subtração de frações negativas em qualquer contexto, inclusive quando houver três ou mais parcelas, exigindo atenção à ordem das operações e à padronização dos sinais.