Sistema de equações: métodos de solução, exemplos, exercícios

Sistema de equações: métodos de solução, exemplos, exercícios

Os sistemas de equações consistem em duas ou mais equações com várias variáveis ​​que devem ter uma solução comum. Eles são frequentes, porque na prática existem inúmeras situações que dependem de muitos fatores, que estão relacionados de várias maneiras.

Em geral, um sistema de equações tem a seguinte forma, em que cada função representa uma das condições que a solução deve satisfazer:

Vejamos um exemplo: suponha que você precise criar folhas de papel retangulares com uma área de 180 cm 2 e um perímetro de 54 cm. Quais devem ser as dimensões da folha?

Para responder à pergunta, levamos em conta que as dimensões de uma folha retangular são duas: largura e altura. Isso significa que temos 2 variáveis ​​para as quais daremos os nomes usuais de x e y .

E essas variáveis ​​devem satisfazer as duas condições impostas ao mesmo tempo:

-Primeira condição: a área da folha é 180 cm 2 . Esta será a primeira função: F 1 .

-Segunda condição: o perímetro ou contorno da folha deve ser de 54 cm. Esta é a segunda função F 2 .

Para cada condição, uma equação é estabelecida usando a linguagem algébrica. A área A de uma folha retangular é obtida multiplicando a largura pela altura:

A = xy = 180 cm 2

E o perímetro P resulta da adição dos lados. Como o perímetro é a soma dos lados:

P = 2x + 2y = 54 cm

O sistema resultante de duas equações e duas incógnitas é:

xy = 180

2 (x + y) = 54

Precisamos de dois números cujo produto é 180 e que o produto duplo de sua soma é 54, ou o que é o mesmo: somados eles têm que dar 27. Esses números são 12 e 15.

Na seção de exercícios resolvidos, ofereceremos o método detalhado para encontrar esses valores, enquanto o leitor pode facilmente verificar, substituindo, se eles satisfazem efetivamente as duas equações.

Exemplos de aplicações de sistemas de equações

A situação proposta acima contém 2 variáveis ​​e são necessárias pelo menos 2 equações para encontrá-las. Existem sistemas com muito mais variáveis, mas, em qualquer caso, se o sistema tiver n delas, são necessárias pelo menos n equações independentes (uma não pode ser uma combinação linear das outras) para encontrar a solução, se existir. .

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Quanto às aplicações, elas são numerosas. Aqui estão alguns exemplos nos quais os sistemas de equações demonstram sua utilidade:

– Encontre as correntes que circulam através de um circuito usando as leis de Kirchoff.

-Em transporte terrestre e aéreo para estabelecer horários de partida e chegada.

-Encontre as magnitudes das forças em sistemas dinâmicos ou estáticos sujeitos a múltiplas interações.

– Conhecer a quantidade de itens vendidos durante um determinado período de tempo, ou em fábricas, para determinar as dimensões dos objetos para satisfazer determinadas condições em termos de superfície ou volume.

– Ao determinar a maneira de distribuir capital em vários investimentos.

– Estabeleça tarifas para vários serviços, por exemplo, telecomunicações ou shows e conheça a quantidade de dinheiro arrecadado (veja o exemplo resolvido 2)

Métodos de resolução de sistemas de equações

Método de substituição

-Um equação é escolhida e uma das variáveis ​​é limpa.

-Então devemos substituir em outra equação a variável limpa. Portanto, essa variável desaparece a partir daí e se o sistema tiver duas equações e duas incógnitas, existe uma equação com uma variável que já pode ser resolvida.

-Se o sistema tiver mais de duas variáveis, é necessário limpar um terceiro desconhecido de outra equação e também substituí-lo.

Um exemplo de aplicação desse método está no Exercício resolvido 1.

Método de redução ou eliminação

Este método consiste em adicionar ou subtrair equações para eliminar uma ou mais variáveis ​​e deixar apenas uma. Para isso, é conveniente multiplicar as equações por um fator que, ao adicionar com outra equação, o desconhecido desapareça. Vamos ver um exemplo:

3x 2 – y 2 = 11

x 2 + 4y 2 = 8

Multiplicamos a primeira equação por 4:

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12x 2 – 4y 2 = 44

x 2 + 4y 2 = 8

Ao adicioná-los, o desconhecido desaparece e , permanecendo:

13x 2 = 52

x 2 = 4

Portanto x 1 = 2 ex 2 = -2. Com esses valores, o leitor pode verificar se y 1 = 1 yy 2 = -1

Método de equalização

Quando o sistema é duas equações com duas incógnitas:

-Você escolhe um fator desconhecido e resolve as duas equações.

-Os resultados são equalizados, o que permite obter uma única equação com uma única incógnita.

-Esta equação é resolvida e o resultado é substituído em uma das folgas anteriores para obter o valor da outra desconhecida.

Este método será aplicado no exercício 2 da próxima seção.

Método gráfico

Este método consiste em representar graficamente as curvas que cada equação representa. O ponto de interseção é a solução do sistema. O exemplo a seguir mostra a solução gráfica do sistema:

x 2 + y 2 = 1

2x + 4y = 0

A primeira das equações é um círculo de raio 1 centrado na origem e a segunda é uma linha.

A interseção de ambos são os dois pontos mostrados em azul. O leitor pode ver que, ao substituir as coordenadas dos pontos nas equações acima, a igualdade é obtida.

Exercícios

– Exercício resolvido 1

É necessário fazer folhas de papel retangulares com uma área de 180 cm 2 e um perímetro de 54 cm. Quais devem ser as dimensões da folha?

Solução

O sistema a resolver é:

xy = 180

2 (x + y) = 54

A segunda equação pode ser simplificada para x + y = 27, portanto:

xy = 180

x + y = 27

Uma das incógnitas na segunda equação é limpa:

y = 27 – x

A folga é substituída no primeiro:

(27 –x) = 180

Aplicando a propriedade distributiva:

-x 2 + 27x = 180

Multiplicando por (-1) em ambos os lados da equação e enviando 180 para o lado esquerdo:

x 2 – 27x +180 = 0

Uma equação quadrática resulta em x, que é resolvido pela fórmula:

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Com a = 1, b = -27 ec = 180

– Exercício resolvido 2

Um parque de diversões tem as seguintes taxas de entrada: crianças $ 1,5 e adultos $ 4. Em um dia, houve 2.200 visitantes, arrecadando 5.050 dólares. Encontre o número de crianças e adultos que visitaram o parque naquele dia.

Solução

Seja x o número de crianças e y o número de adultos. Podemos estabelecer a primeira das equações sabendo que a soma de ambas deve ser 2200:

x + y = 2200.

Agora vamos com o dinheiro arrecadado. O preço da entrada para crianças é de US $ 1,5 para cada criança, multiplicando esse valor por x, o número de crianças, teremos o valor para a entrada de crianças:

1.5x = dinheiro arrecadado para ingressos para crianças

E se multiplicarmos US $ 4 por adulto pela quantidade e visitantes adultos, obteremos o dinheiro total para todos os adultos:

4a = dinheiro arrecadado para ingressos para adultos

Adicionamos isso para obter $ 5050:

1,5x + 4y = 5050

Nosso sistema de equações é:

x + y = 2200

1,5x + 4y = 5050

Vamos resolvê-lo por equalização. Limpamos a variável y do primeiro y da segunda equação:

y = 2200 – x

y = (5050 – 1,5 x) / 4

Combinamos as duas expressões:

2200 – x = (5050 – 1,5x) / 4

Multiplicamos tudo por 4 para eliminar a fração:

8800 – 4x = 5050 – 1,5x

Agrupamos os termos com x à esquerda e números puros à direita:

-4x + 1,5x = 5050 – 8800

-2,5x = -3750

x = 1500 filhos.

Substituímos esse valor em y = 2200 – x para encontrar o número de adultos:

y = 2200 – 1500 = 700 adultos.

Referências

  1. CK-12. Sistemas de equações e desigualdades. Recuperado de: ck12.org.
  2. Hoffman, J. Seleção de tópicos de matemática. Volume 2.
  3. Jiménez, R. 2008. Álgebra. Prentice Hall.
  4. Stewart, J. 2006. Pré-cálculo: Matemática para Cálculo. 5 ª. Edição. Aprendizado Cengage.
  5. Zill, D. 1984. Álgebra e trigonometria. McGraw Hill.

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