Um sistema de equações é um conjunto de equações lineares que devem ser resolvidas simultaneamente para encontrar os valores das variáveis desconhecidas. Existem diversos métodos para resolver sistemas de equações, como o método da substituição, o método da adição/subtração e o método da matriz inversa. Neste contexto, exemplos práticos e exercícios são fundamentais para compreender e aplicar esses métodos de solução de forma eficiente. Neste artigo, exploraremos esses métodos, apresentaremos exemplos de sistemas de equações e proporemos exercícios para praticar e aprimorar os conhecimentos sobre o tema.
Como resolver sistemas de equações: métodos e estratégias para encontrar soluções.
Resolver sistemas de equações é uma habilidade essencial em matemática que envolve encontrar os valores das variáveis que satisfazem todas as equações simultaneamente. Existem diferentes métodos e estratégias que podem ser utilizados para encontrar soluções para esses sistemas.
Um dos métodos mais comuns para resolver sistemas de equações é o método de substituição. Neste método, uma das equações é resolvida para uma das variáveis e então essa expressão é substituída na outra equação. Isso permite encontrar o valor da variável restante. Repetindo esse processo para todas as variáveis, é possível encontrar a solução do sistema.
Outro método popular é o método da adição ou da subtração. Neste método, as equações são somadas ou subtraídas de tal forma que uma das variáveis é eliminada, permitindo encontrar o valor das outras variáveis. Este método é especialmente útil quando as equações estão na forma padrão.
Além disso, também é possível resolver sistemas de equações utilizando matrizes e determinantes. Transformando as equações em um sistema de equações lineares, é possível utilizar métodos como eliminação de Gauss-Jordan para encontrar a solução do sistema.
Para exemplificar, considere o seguinte sistema de equações:
2x + y = 10
x – y = 2
Para resolver este sistema, podemos utilizar o método de substituição. Resolvendo a segunda equação para x, obtemos x = y + 2. Substituindo esta expressão na primeira equação, temos 2(y + 2) + y = 10. Resolvendo esta equação, encontramos que y = 2. Substituindo o valor de y na segunda equação, encontramos que x = 4.
Para praticar a resolução de sistemas de equações, tente resolver o seguinte sistema:
3x + 2y = 12
2x – y = 4
Utilize os métodos de substituição, adição ou subtração, ou matrizes para encontrar a solução deste sistema. Responder corretamente este exercício irá ajudá-lo a reforçar seus conhecimentos sobre a resolução de sistemas de equações.
Como resolver um sistema de equações do 1º Grau: métodos e passos necessários.
Resolver um sistema de equações do 1º Grau pode parecer complicado à primeira vista, mas na verdade é um processo bastante simples se seguirmos os passos corretos. Existem diferentes métodos para resolver sistemas de equações, como o método da substituição, o método da adição e o método da comparação. Vamos mostrar a seguir como resolver um sistema de equações passo a passo.
Para resolver um sistema de equações, primeiro precisamos identificar as equações que compõem o sistema. Um sistema de equações é composto por duas ou mais equações que possuem as mesmas incógnitas. Vamos tomar como exemplo o seguinte sistema de equações:
2x + y = 5
3x – y = 1
O próximo passo é escolher um dos métodos de resolução. Vamos utilizar o método da adição neste exemplo. Para isso, vamos somar as duas equações, eliminando a variável y:
2x + y + 3x – y = 5 + 1
5x = 6
x = 6/5
Agora que encontramos o valor de x, podemos substituí-lo em uma das equações originais para encontrar o valor de y. Vamos substituir x na primeira equação:
2(6/5) + y = 5
12/5 + y = 5
y = 5 – 12/5
y = 13/5
Portanto, a solução para o sistema de equações é x = 6/5 e y = 13/5. Basta substituir esses valores nas equações originais para verificar se estão corretos.
Praticar resolvendo diferentes sistemas de equações é fundamental para dominar esse conceito matemático. Realizar exercícios e estudar exemplos de resolução de sistemas de equações ajudará a aprimorar suas habilidades nessa área da matemática.
Resolvendo sistemas de equações utilizando o método da adição de forma simples.
Para resolver sistemas de equações utilizando o método da adição, primeiro é necessário identificar as duas equações do sistema. Em seguida, escolhemos uma das incógnitas para eliminar ao somar as duas equações. Vamos considerar o seguinte exemplo:
Sistema de Equações:
2x + 3y = 10
4x – y = 5
Para resolver esse sistema, vamos escolher eliminar a incógnita y. Multiplicamos a segunda equação por 3 para igualar os coeficientes de y:
2x + 3y = 10
12x – 3y = 15
Agora somamos as duas equações para eliminar o y:
14x = 25
Por fim, dividimos ambos os lados por 14 para encontrar o valor de x:
x = 25/14
Com o valor de x encontrado, podemos substituí-lo em uma das equações originais para encontrar o valor de y. Neste caso, substituímos em 2x + 3y = 10:
2(25/14) + 3y = 10
50/14 + 3y = 10
3y = 10 – 50/14
3y = 140/14 – 50/14
3y = 90/14
Dividindo ambos os lados por 3, encontramos o valor de y:
y = 30/14
Portanto, a solução para o sistema de equações é x = 25/14 e y = 30/14.
Passo a passo para resolver sistemas de equações utilizando o método da substituição.
Para resolver sistemas de equações utilizando o método da substituição, siga o passo a passo abaixo:
Passo 1: Escolha uma das equações do sistema e isole uma das incógnitas em função das outras.
Passo 2: Substitua a incógnita isolada na outra equação do sistema.
Passo 3: Resolva a nova equação obtida no passo anterior para encontrar o valor da incógnita.
Passo 4: Substitua o valor encontrado na equação inicial para encontrar o valor da outra incógnita.
Passo 5: Verifique se as soluções encontradas satisfazem todas as equações do sistema.
Vamos ver um exemplo para entender melhor o processo:
Exemplo: Considere o sistema de equações:
2x + y = 5
x – y = 1
Primeiro, isolamos uma das incógnitas. Vamos isolar y na segunda equação:
x – y = 1
y = x – 1
Agora, substituímos o valor de y na primeira equação:
2x + (x – 1) = 5
3x – 1 = 5
Resolvendo a equação acima, encontramos que x = 2. Substituímos esse valor na equação y = x – 1:
y = 2 – 1
y = 1
Portanto, a solução do sistema de equações é x = 2 e y = 1.
Pratique a resolução de sistemas de equações utilizando o método da substituição com exercícios para consolidar seu entendimento.
Sistema de equações: métodos de solução, exemplos, exercícios
Os sistemas de equações consistem em duas ou mais equações com várias variáveis que devem ter uma solução comum. Eles são frequentes, porque na prática existem inúmeras situações que dependem de muitos fatores, que estão relacionados de várias maneiras.
Em geral, um sistema de equações tem a seguinte forma, em que cada função representa uma das condições que a solução deve satisfazer:
Vejamos um exemplo: suponha que você precise criar folhas de papel retangulares com uma área de 180 cm 2 e um perímetro de 54 cm. Quais devem ser as dimensões da folha?
Para responder à pergunta, levamos em conta que as dimensões de uma folha retangular são duas: largura e altura. Isso significa que temos 2 variáveis para as quais daremos os nomes usuais de x e y .
E essas variáveis devem satisfazer as duas condições impostas ao mesmo tempo:
-Primeira condição: a área da folha é 180 cm 2 . Esta será a primeira função: F 1 .
-Segunda condição: o perímetro ou contorno da folha deve ser de 54 cm. Esta é a segunda função F 2 .
Para cada condição, uma equação é estabelecida usando a linguagem algébrica. A área A de uma folha retangular é obtida multiplicando a largura pela altura:
A = xy = 180 cm 2
E o perímetro P resulta da adição dos lados. Como o perímetro é a soma dos lados:
P = 2x + 2y = 54 cm
O sistema resultante de duas equações e duas incógnitas é:
xy = 180
2 (x + y) = 54
Precisamos de dois números cujo produto é 180 e que o produto duplo de sua soma é 54, ou o que é o mesmo: somados eles têm que dar 27. Esses números são 12 e 15.
Na seção de exercícios resolvidos, ofereceremos o método detalhado para encontrar esses valores, enquanto o leitor pode facilmente verificar, substituindo, se eles satisfazem efetivamente as duas equações.
Exemplos de aplicações de sistemas de equações
A situação proposta acima contém 2 variáveis e são necessárias pelo menos 2 equações para encontrá-las. Existem sistemas com muito mais variáveis, mas, em qualquer caso, se o sistema tiver n delas, são necessárias pelo menos n equações independentes (uma não pode ser uma combinação linear das outras) para encontrar a solução, se existir. .
Quanto às aplicações, elas são numerosas. Aqui estão alguns exemplos nos quais os sistemas de equações demonstram sua utilidade:
– Encontre as correntes que circulam através de um circuito usando as leis de Kirchoff.
-Em transporte terrestre e aéreo para estabelecer horários de partida e chegada.
-Encontre as magnitudes das forças em sistemas dinâmicos ou estáticos sujeitos a múltiplas interações.
– Conhecer a quantidade de itens vendidos durante um determinado período de tempo, ou em fábricas, para determinar as dimensões dos objetos para satisfazer determinadas condições em termos de superfície ou volume.
– Ao determinar a maneira de distribuir capital em vários investimentos.
– Estabeleça tarifas para vários serviços, por exemplo, telecomunicações ou shows e conheça a quantidade de dinheiro arrecadado (veja o exemplo resolvido 2)
Métodos de resolução de sistemas de equações
Método de substituição
-Um equação é escolhida e uma das variáveis é limpa.
-Então devemos substituir em outra equação a variável limpa. Portanto, essa variável desaparece a partir daí e se o sistema tiver duas equações e duas incógnitas, existe uma equação com uma variável que já pode ser resolvida.
-Se o sistema tiver mais de duas variáveis, é necessário limpar um terceiro desconhecido de outra equação e também substituí-lo.
Um exemplo de aplicação desse método está no Exercício resolvido 1.
Método de redução ou eliminação
Este método consiste em adicionar ou subtrair equações para eliminar uma ou mais variáveis e deixar apenas uma. Para isso, é conveniente multiplicar as equações por um fator que, ao adicionar com outra equação, o desconhecido desapareça. Vamos ver um exemplo:
3x 2 – y 2 = 11
x 2 + 4y 2 = 8
Multiplicamos a primeira equação por 4:
12x 2 – 4y 2 = 44
x 2 + 4y 2 = 8
Ao adicioná-los, o desconhecido desaparece e , permanecendo:
13x 2 = 52
x 2 = 4
Portanto x 1 = 2 ex 2 = -2. Com esses valores, o leitor pode verificar se y 1 = 1 yy 2 = -1
Método de equalização
Quando o sistema é duas equações com duas incógnitas:
-Você escolhe um fator desconhecido e resolve as duas equações.
-Os resultados são equalizados, o que permite obter uma única equação com uma única incógnita.
-Esta equação é resolvida e o resultado é substituído em uma das folgas anteriores para obter o valor da outra desconhecida.
Este método será aplicado no exercício 2 da próxima seção.
Método gráfico
Este método consiste em representar graficamente as curvas que cada equação representa. O ponto de interseção é a solução do sistema. O exemplo a seguir mostra a solução gráfica do sistema:
x 2 + y 2 = 1
2x + 4y = 0
A primeira das equações é um círculo de raio 1 centrado na origem e a segunda é uma linha.
A interseção de ambos são os dois pontos mostrados em azul. O leitor pode ver que, ao substituir as coordenadas dos pontos nas equações acima, a igualdade é obtida.
Exercícios
– Exercício resolvido 1
É necessário fazer folhas de papel retangulares com uma área de 180 cm 2 e um perímetro de 54 cm. Quais devem ser as dimensões da folha?
Solução
O sistema a resolver é:
xy = 180
2 (x + y) = 54
A segunda equação pode ser simplificada para x + y = 27, portanto:
xy = 180
x + y = 27
Uma das incógnitas na segunda equação é limpa:
y = 27 – x
A folga é substituída no primeiro:
(27 –x) = 180
Aplicando a propriedade distributiva:
-x 2 + 27x = 180
Multiplicando por (-1) em ambos os lados da equação e enviando 180 para o lado esquerdo:
x 2 – 27x +180 = 0
Uma equação quadrática resulta em x, que é resolvido pela fórmula:
Com a = 1, b = -27 ec = 180
– Exercício resolvido 2
Um parque de diversões tem as seguintes taxas de entrada: crianças $ 1,5 e adultos $ 4. Em um dia, houve 2.200 visitantes, arrecadando 5.050 dólares. Encontre o número de crianças e adultos que visitaram o parque naquele dia.
Solução
Seja x o número de crianças e y o número de adultos. Podemos estabelecer a primeira das equações sabendo que a soma de ambas deve ser 2200:
x + y = 2200.
Agora vamos com o dinheiro arrecadado. O preço da entrada para crianças é de US $ 1,5 para cada criança, multiplicando esse valor por x, o número de crianças, teremos o valor para a entrada de crianças:
1.5x = dinheiro arrecadado para ingressos para crianças
E se multiplicarmos US $ 4 por adulto pela quantidade e visitantes adultos, obteremos o dinheiro total para todos os adultos:
4a = dinheiro arrecadado para ingressos para adultos
Adicionamos isso para obter $ 5050:
1,5x + 4y = 5050
Nosso sistema de equações é:
x + y = 2200
1,5x + 4y = 5050
Vamos resolvê-lo por equalização. Limpamos a variável y do primeiro y da segunda equação:
y = 2200 – x
y = (5050 – 1,5 x) / 4
Combinamos as duas expressões:
2200 – x = (5050 – 1,5x) / 4
Multiplicamos tudo por 4 para eliminar a fração:
8800 – 4x = 5050 – 1,5x
Agrupamos os termos com x à esquerda e números puros à direita:
-4x + 1,5x = 5050 – 8800
-2,5x = -3750
x = 1500 filhos.
Substituímos esse valor em y = 2200 – x para encontrar o número de adultos:
y = 2200 – 1500 = 700 adultos.
Referências
- CK-12. Sistemas de equações e desigualdades. Recuperado de: ck12.org.
- Hoffman, J. Seleção de tópicos de matemática. Volume 2.
- Jiménez, R. 2008. Álgebra. Prentice Hall.
- Stewart, J. 2006. Pré-cálculo: Matemática para Cálculo. 5 ª. Edição. Aprendizado Cengage.
- Zill, D. 1984. Álgebra e trigonometria. McGraw Hill.