Como resolver inequações com frações: guia completo e prático

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Se você sempre trava quando aparecem inequações com frações nos exercícios, saiba que isso é muito comum, especialmente porque esse tipo de questão mistura dois temas que já dão trabalho separados: inequações e frações algébricas. A boa notícia é que, entendendo a lógica por trás das desigualdades e alguns cuidados específicos com denominadores, fica bem mais tranquilo resolver qualquer expressão desse tipo, seja de 1º grau, 2º grau ou envolvendo produtos e quocientes de polinômios.

Neste artigo completo, vamos revisar o que é uma inequação, quais são seus símbolos, ver os principais tipos (1º grau, 2º grau e fracionárias), além de mostrar o passo a passo para resolver inequações com frações, destacando os cuidados com o sinal e com os valores que anulam o denominador. Ao longo do texto, você encontrará vários exemplos comentados, em linguagem bem direta, para conseguir enxergar o raciocínio e não apenas decorar fórmulas.

O que é inequação e como ela aparece com frações

Inequação é uma expressão algébrica em que os termos estão ligados por um símbolo de desigualdade, em vez do sinal de igual. Em outras palavras, em vez de termos uma igualdade do tipo 2x + 1 = 7, temos sentenças como 2x + 1 > 7 ou x² – 4x ≤ 0, nas quais queremos descobrir para quais valores de x a frase matemática é verdadeira.

Os símbolos de desigualdade que caracterizam uma inequação são quatro: menor que (<), maior que (>), menor ou igual (≤) e maior ou igual (≥). Assim, qualquer expressão algébrica que envolva variável e um desses sinais é considerada uma inequação, seja ela simples, composta, de 1º grau, de 2º grau ou ainda envolvendo frações e radicais.

Alguns exemplos clássicos de inequações são: 2x – 5 > 4, x² + 2x + 2 ≤ -1, 5x + 1 ≥ 4x – 3 e x² – 4x < 0. Note que em todos os casos existe uma variável (x) e uma comparação de grandezas, indicando se determinado lado é maior, menor ou igual (ou não) ao outro.

Resolver uma inequação significa encontrar o conjunto de valores que tornam essa desigualdade verdadeira. Diferente de muitas equações de 1º grau, que costumam ter uma única solução, uma inequação de 1º grau ou de 2º grau, por exemplo, em geral tem infinitas soluções, formando intervalos da reta real em vez de apenas um número isolado.

Quando surgem frações, falamos em inequações fracionárias, ou inequações com frações algébricas, ou seja, expressões em que a variável aparece no denominador: por exemplo, (2x – 1)/(x – 3) > 0. Esse tipo de inequação exige um cuidado extra para não admitir valores que zerem o denominador, pois divisão por zero é indefinida e não pode fazer parte do conjunto solução.

Símbolos de desigualdade e interpretação das inequações

Os símbolos de desigualdade são a base de toda inequação e determinam como interpretamos o conjunto de soluções. São eles: < (menor que), ≤ (menor ou igual), > (maior que) e ≥ (maior ou igual). Cada um indica se o valor da expressão do lado esquerdo é estritamente menor, maior ou se pode também ser igual ao do lado direito.

Quando usamos os símbolos < ou >, falamos em desigualdades estritas, pois a igualdade não é admitida. Por exemplo, em x < 7, o número 7 não pertence ao conjunto solução. Já com os símbolos ≤ e ≥, a fronteira é incluída, então, em x ≥ -4, o valor -4 faz parte das soluções e costuma ser representado por um ponto fechado na reta numérica.

Em inequações com frações, os mesmos símbolos aparecem, mas o modo de interpretar o resultado leva em conta também os valores proibidos, ou seja, aqueles em que o denominador é igual a zero. Mesmo que a desigualdade pareça indicar que tal valor deveria entrar no conjunto, ele precisa ser excluído por ser um ponto de não definição.

Além disso, a operação com os símbolos de desigualdade obedece a regras específicas: somar ou subtrair o mesmo número em ambos os lados mantém o sentido da desigualdade, mas multiplicar ou dividir ambos os lados por um número negativo inverte o sinal. Esse detalhe é fundamental, principalmente quando reorganizamos inequações para isolar a variável.

Outra forma de interpretar uma inequação é visualmente, na reta real ou no gráfico de uma função. Representar a solução como intervalos abertos ou fechados ajuda muito a entender inequações de 2º grau e fracionárias, em que o estudo de sinais de fatores é o caminho mais eficiente.

Tipos de inequação: 1º grau, 2º grau e inequações fracionárias

De modo geral, classificamos as inequações pelo grau do polinômio envolvido ou pela forma da expressão. As mais comuns no ensino básico são as inequações do 1º grau, do 2º grau e as inequações fracionárias, que normalmente combinam polinômios no numerador e denominador.

Uma inequação de 1º grau é aquela em que a variável aparece com expoente 1, como em ax + b > 0, ax + b ≤ 0, ax + b < 0 ou ax + b ≥ 0. Nesse tipo de inequação, o método padrão é isolar a incógnita, manipulando a expressão com somas, subtrações, multiplicações e divisões, sempre respeitando as regras do sinal de desigualdade.

Já uma inequação de 2º grau envolve expressões quadráticas, do tipo ax² + bx + c > 0, ax² + bx + c ≤ 0, ax² + bx + c < 0 ou ax² + bx + c ≥ 0, com a ≠ 0. Aqui, costuma-se resolver encontrando as raízes da equação associada ax² + bx + c = 0 (usando, por exemplo, a fórmula de Bhaskara) e depois fazendo um estudo de sinais, normalmente a partir do gráfico da parábola correspondente.

As inequações fracionárias aparecem quando temos frações algébricas, ou seja, com polinômios no numerador e no denominador, como (ax + b)/(cx + d) ≥ 0 ou (x² – 4)/(x – 3) < 0. Essas inequações podem ter grau 1, grau 2 ou superior, mas o que manda é que a variável também esteja no denominador, o que introduz restrições adicionais ao domínio.

Na prática, uma inequação com frações pode ser tratada como um estudo de sinais do produto e quociente de vários fatores. Fatoramos numeradores e denominadores, identificamos as raízes (inclusive as que anulam o denominador, que serão excluídas) e, em seguida, montamos uma tabela de sinais para determinar em quais intervalos a expressão é positiva, negativa ou zero.

Como resolver inequações de 1º grau

As inequações de 1º grau são as mais diretas de resolver, pois seguem o raciocínio semelhante ao de uma equação do 1º grau, com o detalhe extra de manter o controle sobre o símbolo de desigualdade. O objetivo é sempre isolar a variável em um lado da desigualdade.

Considere, por exemplo, a inequação 2x – 10 < 4. Para resolver, podemos somar 10 nos dois lados: 2x – 10 + 10 < 4 + 10, obtendo 2x < 14. Depois, dividimos os dois lados por 2 (que é positivo, portanto não inverte o sinal), chegando a x < 7. O conjunto solução é formado por todos os reais menores que 7, frequentemente indicado como S = {x ∈ ℝ | x < 7}.

Agora observe outra inequação: 5x – 9 ≤ 8x + 2. Reunindo os termos em x de um lado, temos 5x – 8x ≤ 2 + 9, isto é, -3x ≤ 11. Nesse ponto, para isolar x, podemos dividir ou multiplicar por -1, mas, ao fazer isso, o sentido da desigualdade deve ser invertido, pois estamos multiplicando por um número negativo. Assim, -3x ≤ 11 implica 3x ≥ -11 e, finalmente, x ≥ -11/3.

O cuidado principal nas inequações de 1º grau é justamente na etapa em que multiplicamos ou dividimos por um número negativo. Sempre que isso ocorrer, o sinal < vira > e o sinal ≤ vira ≥ (e vice-versa). Esse detalhe é o que mais gera erros de distração, por isso vale grifar e treinar bastante.

Uma vez encontrada a solução algébrica, é comum representá-la na reta numérica, usando ponto aberto para desigualdades estritas (< ou >) e ponto fechado para desigualdades não estritas (≤ ou ≥). Essa visão geométrica ajuda, mais adiante, na hora de combinar resultados de inequações fracionárias e quadráticas.

Como resolver inequações de 2º grau e estudo de sinais

Para inequações de 2º grau, a estratégia mais eficiente é combinar álgebra com análise do sinal da função quadrática. Em vez de resolver diretamente a desigualdade, transformamos o problema em: encontrar onde o polinômio é positivo, negativo ou zero, usando as raízes da equação associada.

Considere a inequação x² – 2x – 3 < 0. Primeiro, tratamos a equação x² – 2x – 3 = 0. Identificamos os coeficientes: a = 1, b = -2, c = -3. Calculamos o discriminante: Δ = b² – 4ac = (-2)² – 4·1·(-3) = 4 + 12 = 16. As raízes são x₁ e x₂ que satisfazem x = /2 = /2, resultando em x₁ = -1 e x₂ = 3.

Sabendo que a = 1 > 0, o gráfico da função f(x) = x² – 2x – 3 é uma parábola com concavidade para cima, cruzando o eixo x nos pontos -1 e 3. Para descobrir onde f(x) < 0, analisamos o trecho da parábola que fica abaixo do eixo das abscissas. Nesse caso, os valores de x entre -1 e 3 produzem valores negativos para a função, logo, a solução é o intervalo (-1, 3).

Em notação de conjuntos, muitas vezes escrevemos S = {x ∈ ℝ | -1 < x < 3}. Se a desigualdade fosse ≤ em vez de <, incluiríamos as raízes, ficando S = {x ∈ ℝ | -1 ≤ x ≤ 3}. Esse método, conhecido como estudo de sinais, é a chave para lidar também com inequações fracionárias, porque nelas trabalhamos com numeradores e denominadores fatorados.

Outro exemplo clássico é a inequação -2x² – x + 1 ≤ 0. Organizamos a equação associada -2x² – x + 1 = 0 e calculamos o discriminante. Aqui, a = -2, b = -1, c = 1. Obtemos Δ = b² – 4ac = (-1)² – 4·(-2)·1 = 1 + 8 = 9. Aplicando a fórmula de Bhaskara, encontramos duas raízes reais, que podemos chamar de x₁ e x₂. Como a < 0, a parábola tem concavidade para baixo e estará abaixo ou sobre o eixo x em intervalos externos às raízes, o que gera conjuntos do tipo x ≤ α ou x ≥ β.

Em muitos exercícios, o enunciado traz situações do cotidiano, como idade ou preço, que restringem ainda mais o conjunto de soluções. Quando a incógnita representa, por exemplo, idade de uma pessoa, só aceitamos números inteiros positivos compatíveis com o contexto, mesmo que a solução algébrica indique um intervalo maior dos números reais.

Inequações fracionárias: conceito e cuidados com o denominador

Chegando ao ponto central: inequações com frações (ou inequações fracionárias) são aquelas em que pelo menos um termo é uma fração algébrica, isto é, uma fração em que aparece a variável no denominador. Um exemplo genérico é (2x – 5)/(x – 3) ≥ 0.

O primeiro cuidado indispensável nesse tipo de inequação é identificar os valores que anulam o denominador e excluí-los do domínio. Se o denominador é x – 3, então x = 3 não pode ser solução, pois tornaria a expressão indefinida. Mesmo que o estudo de sinais aponte x = 3 como ponto de troca de sinal, ele nunca fará parte do conjunto solução.

Outro ponto importante é perceber que uma inequação fracionária pode ser transformada em um estudo de sinais de um quociente de fatores polinomiais. Para isso, costuma-se fatorar numerador e denominador, reescrevendo a expressão como produto de termos do tipo (x – a), (x + b), (x – c) etc. Cada fator gera um “marco” na reta real, que separa trechos em que o sinal da expressão pode mudar.

Por exemplo, suponha uma inequação do tipo (ax + b)/(cx + d) > 0. As raízes do numerador (ax + b = 0) indicam onde a fração pode ser zero, se a desigualdade permitir (casos com ≥ ou ≤). Já as raízes do denominador (cx + d = 0) são pontos de descontinuidade, que jamais podem ser incluídos no conjunto solução, embora dividam a reta em diferentes intervalos.

Depois de listar esses pontos críticos (raízes do numerador e do denominador), montamos uma linha real com todos eles ordenados. Em seguida, escolhemos valores de teste em cada intervalo e verificamos o sinal da expressão (positivo ou negativo). Os intervalos que satisfazem a desigualdade (por exemplo, > 0 ou ≤ 0) formam o conjunto de soluções, respeitando sempre as exclusões de domínio.

Passo a passo geral para resolver inequações com frações

Embora cada exercício possa ter suas particularidades, existe um roteiro bem seguro para resolver inequações fracionárias, seja no 1º ou 2º grau. A ideia é evitar erros de manipulação direta e usar o estudo de sinais de forma sistemática.

Um esquema bastante usado é o seguinte: primeiro, colocar todos os termos do mesmo lado, deixando zero do outro, de forma que a inequação assuma o formato “fração > 0”, “fração < 0”, “fração ≥ 0” ou “fração ≤ 0”. Assim, fica claro que estamos procurando onde a expressão é positiva, negativa ou nula.

Em seguida, fatoramos ao máximo tanto o numerador quanto o denominador. Para isso, entram em cena técnicas como fatoração por evidência, produto notável, fórmula de Bhaskara para polinômios de 2º grau, entre outras. Cada fator linear ou quadrático simples ajuda a identificar raízes e pontos críticos.

Depois de fatorar, resolvemos cada fator igualado a zero. Os zeros do numerador indicam possíveis pontos onde a fração vale zero (admitidos apenas em inequações com ≤ ou ≥), e os zeros do denominador definem valores proibidos. Com esses números, construímos a tabela de sinais, analisando o comportamento em cada intervalo da reta real.

Por fim, reunimos todos os intervalos que satisfazem a desigualdade pedida, tomando cuidado com os extremos. Pontos em que o numerador zera podem ou não ser incluídos (depende de ser < ou ≤, por exemplo), enquanto pontos em que o denominador zera nunca entram. Representar a solução na reta numérica ou em notação de intervalos ajuda a visualizar o resultado e a checar coerência.

Exemplos clássicos de resolução e interpretação de soluções

Para fixar a ideia de estudo de sinais, vale olhar alguns exemplos de inequações, mesmo quando não aparecem explicitamente em formato fracionário. Eles mostram o raciocínio que mais tarde será aplicado quando tivermos produtos e quocientes de fatores.

Pense na inequação 2x² – 5x > 2x² – 3x – 8. Podemos começar simplificando: subtraímos 2x² dos dois lados, obtendo -5x > -3x – 8. Trazendo -3x para o primeiro membro, fica -5x + 3x > -8, ou seja, -2x > -8. Agora entra o cuidado crucial: ao dividir por -2, o sinal da inequação inverte, resultando em x < 4. Logo, o conjunto solução é S = {x ∈ ℝ | x < 4}.

Outro exemplo famoso envolve uma situação de problema contextualizado com idade. Suponha uma inequação como x² – 32x + 252 < 0 representando uma condição sobre a idade de uma pessoa. Resolvendo a equação associada x² – 32x + 252 = 0, encontramos as raízes utilizando Δ = b² – 4ac. Depois de obter duas raízes reais, concluímos que os valores de x entre essas raízes satisfazem a desigualdade.

Se, por exemplo, essas raízes forem 14 e 18, então qualquer x real entre 14 e 18 fará a inequação ser verdadeira. No entanto, se x representa idade em anos, muitas vezes restringimos aos inteiros entre esses dois limites: {15, 16, 17}. Assim, além da matemática pura, também levamos em conta o significado da variável no contexto do problema.

Esses exemplos, mesmo sem frações explícitas, ilustram bem a lógica que também é usada quando trabalhamos com termos fracionários. A grande diferença é que, com frações, sempre surgem pontos de não definição e o sinal da expressão passa a depender tanto do numerador quanto do denominador, o que torna indispensável o uso da tabela de sinais.

Aos poucos, ao treinar inequações de 1º e 2º grau e depois adicionar frações algébricas à jogada, você passa a reconhecer padrões e a resolver exercícios de forma quase automática, sem precisar “decorar passos”, mas sim compreendendo o porquê de cada manipulação.

Dominar inequações com frações exige atenção a detalhes como inversão de sinal, valores proibidos e interpretação de intervalos, mas a técnica em si é bastante mecânica depois que você entende os fundamentos. Com a prática, montar estudos de sinais e analisar gráficos de funções passa a ser uma ferramenta poderosa tanto em provas quanto em problemas aplicados do dia a dia.