Número de Euler ou número e: quanto vale, propriedades, aplicações

Número de Euler ou número e: quanto vale, propriedades, aplicações

O número de Euler ou número e é uma constante matemática conhecida que aparece frequentemente em inúmeras aplicações científicas e econômicas, juntamente com o número π e outros números importantes em matemática.

Uma calculadora científica retorna o seguinte valor para o número e:

e = 2,718281828…

Mas muitos mais decimais são conhecidos, por exemplo:

e = 2,71828182845904523536…

E os computadores modernos tornaram possível encontrar trilhões de casas decimais para o número e.

É um número irracional , o que significa que possui um número infinito de casas decimais sem nenhum padrão de repetição (a sequência de 1828 aparece duas vezes no início e não é mais repetida).

E isso também significa que o número e não pode ser obtido como quociente de dois números inteiros.

História

O número e foi identificado pelo cientista Jacques Bernoulli em 1683, quando estudou o problema do interesse composto, mas anteriormente ele apareceu indiretamente nos trabalhos do matemático escocês John Napier, que inventou logaritmos por volta de 1618.

No entanto, foi Leonhard Euler, em 1727, que lhe deu o nome de número e e estudou intensamente suas propriedades. É por isso que também é conhecido como número de Euler e também como base natural dos logaritmos neperianos (um expoente) atualmente usados.

Quanto é o número e?

O número e vale:

e = 2,71828182845904523536…

Reticências significa que há um número infinito de casas decimais e, na verdade, milhões delas são conhecidas nos computadores atuais.

Representações do número e

Existem várias maneiras de definir e que descrevemos abaixo:

O número e como limite

Uma das várias maneiras pelas quais o número e é expresso é o que o cientista Bernoulli encontrou em seu trabalho sobre juros compostos:

Em que devemos tornar o valor  n  um número muito grande.

É fácil verificar, com a ajuda de uma calculadora, que quando n é muito grande, a expressão anterior tende ao valor de e dado acima.

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Claro que podemos nos perguntar quão grande pode n conseguir  , então vamos tentar números redondos, como estes por exemplo:

n = 1000; 10.000 ou 100.000

No primeiro caso, obtemos e = 2,7169239…. No segundo e = 2.7181459 … e no terceiro, está muito mais próximo do valor de e : 2.7182682. Já podemos imaginar que com n = 1.000.000 ou mais, a aproximação será ainda melhor.

Na linguagem matemática, o procedimento para obter n cada vez mais perto de um valor muito grande é chamado limite do infinito e é indicado da seguinte forma:

Para denotar infinito, o símbolo “∞” é usado.

O número e como um somatório

Também é possível definir o número e usando esta operação:

Os números que aparecem no denominador: 1, 2, 6, 24, 120 … correspondem à operação n!, Em que:

n! = n. (n-1). (n-2). (n-3) …

E por definição 0! = 1.

É fácil verificar se quanto mais adendos são adicionados, mais precisamente o número e é atingido .

Vamos fazer alguns testes com a calculadora, adicionando mais e mais adendos:

1 +1+ (1/2) + (1/6) = 2,71667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) = 2,78533

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) = 2,76667

1 +1+ (1/2) + (1/6) + (1/24) + (1/120) + (1/720) = 2,71806

Quanto mais termos forem adicionados à soma, mais o resultado será semelhante ao e .

Os matemáticos criaram uma notação compacta para essas somas envolvendo muitos termos, usando o símbolo de soma mation:

Esta expressão lê “soma de n = 0 ao infinito de 1 entre n fatorial”.

O número e do ponto de vista geométrico

O número e tem uma representação gráfica relacionada à área abaixo do gráfico da curva:

y = 1 / x

Quando os valores de x estão entre 1 e e, essa área vale 1, conforme ilustrado na figura a seguir:

Propriedades do número e

Algumas das propriedades do número e são:

– É irracional, em outras palavras, não pode ser obtido simplesmente dividindo dois números inteiros.

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-O número e também é um número transcendente , o que significa que e não é uma solução para nenhuma equação polinomial.

-Está relacionado a outros quatro números famosos no campo da matemática, a saber: π, i, 1 e 0, através da identidade de Euler:

e πi + 1 = 0

-Os chamados números complexos podem ser expressos através de e.

Forma a base dos logaritmos naturais ou neperianos de hoje (a definição original de John Napier difere um pouco).

-É o único número tal que seu logaritmo neperiano é 1, ou seja:

 ln e = 1

Formulários

Estatisticas

O número e aparece com muita frequência no campo de probabilidade e estatística, aparecendo em várias distribuições, como a normal ou gaussiana, a Poisson e outras.

Engenharia

Na engenharia é frequente, uma vez que a função exponencial y = e x está presente na mecânica e no eletromagnetismo, por exemplo. Entre as muitas aplicações, podemos citar:

-Um cabo ou corrente pendurado nas extremidades assume a forma da curva dada por:

y = (e x + e -x ) / 2

-Um capacitor C descarregado inicialmente, que é conectado em série a uma resistência R e a uma fonte de tensão V para carregar, adquire uma certa carga Q em função do tempo t dado por:

Q (t) = CV (1-e- t / RC )

biologia

A função exponencial y = Ae Bx , com constantes A e B, é usada para modelar o crescimento celular e o crescimento bacteriano.

Fisica

Na física nuclear, o decaimento radioativo e a determinação da idade são modelados por datação por radiocarbono.

Economia

No cálculo dos juros compostos, o número e vem naturalmente.

Suponha que você tem uma certa quantia de dinheiro P o , investi-lo a uma taxa de juros de% i por ano.

Se você deixar o dinheiro por 1 ano, após esse período, terá:

P (1 ano) = P o + P o .i = P o (1+ i)

Depois de mais um ano sem tocá-lo, você terá:

P (2 anos) = P o + P o .i + (P o + P o . I) i = P o + 2P o .i + P o .i = Po (1 + i) 2

E continuando dessa maneira por n anos:

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P = P o (1 + i) n

Agora vamos lembrar uma das definições de e:

Parece um pouco com a expressão para P, então deve haver um relacionamento.

Vamos distribuir a taxa de juros nominal i em n períodos de tempo, dessa maneira a taxa de juros composta será i / n:

P = P ou [1+ (i / n)] n

Essa expressão se parece um pouco com o nosso limite, mas ainda não é exatamente a mesma.

No entanto, após algumas manipulações algébricas, pode-se mostrar que essa variável é alterada:

h = n / i → i = n / h

Nosso dinheiro P é transformado em:

P = P ou [1+ (1 / h)] hi = P ou {[1+ (1 / h)] h } i

E o que está entre os chavetas, mesmo que esteja escrito com a letra h , é igual ao argumento do limite que define o número e, faltando apenas o limite.

Vamos fazer   h → ∞, e o que está entre as teclas se torna o número e . Isso não significa que temos que esperar um tempo infinitamente longo para sacar nosso dinheiro.

Se olharmos atentamente, fazendo h = n / i e tendendo a ∞, o que realmente fizemos é distribuir a taxa de juros por períodos muito, muito pequenos:

i = n / h

Isso é chamado de capitalização contínua . Nesse caso, a quantidade de dinheiro é facilmente calculada assim:

P = P o  .e i

Onde i é a taxa de juros anual. Por exemplo, ao depositar 12 € a 9% ao ano, através de capitalização contínua, após um ano, você tem:

P = 12 xe 0,09 ×1 = 13,13 €

Com um lucro de 1,13  €.

Referências

  1. Aprecie matemática. Juros compostos: composição periódica. Recuperado de: enjolasmatematicas.com.
  2. Figuera, J. 2000. Matemática 1st. Diversificado. Edições CO-BO.
  3. García, M. O número e no cálculo elementar. Recuperado de: matematica.ciens.ucv.ve.
  4. Jiménez, R. 2008. Álgebra. Prentice Hall.
  5. Larson, R. 2010. Cálculo de uma variável. 9º. Edição. McGraw Hill.

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