Transformação de Laplace: definição, história e para que serve

A transformação de Laplace tem sido de grande importância nos últimos anos em estudos de engenharia, matemática, física, entre outras áreas científicas, pois além de ser de grande interesse em teoria, fornece uma maneira simples de resolver problemas provenientes de Ciência e engenharia.

Originalmente, a transformação de Laplace foi apresentada por Pierre-Simón Laplace em seu estudo sobre a teoria da probabilidade e, em princípio, foi tratada como um objeto matemático de interesse puramente teórico.

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As aplicações atuais surgem quando vários matemáticos tentam dar uma justificativa formal para as “regras operacionais” usadas por Heaviside no estudo de equações da teoria eletromagnética.

Definição de

Seja f uma função definida para t ≥ 0. A transformação de Laplace é definida da seguinte forma:

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Diz-se que a Transformada de Laplace existe se a integral anterior convergir, caso contrário, é dito que a transformação de Laplace não existe.

Em geral, para indicar a função a ser transformada, são usadas letras minúsculas e a letra maiúscula corresponde à sua transformação. Desta forma, teremos:

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Exemplos

Considere a função constante f (t) = 1. Temos que transformá-la:

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Sempre que a integral converge, ou seja, sempre que s> 0. Caso contrário, s <0, a integral diverge.

Seja g (t) = t. Sua transformação de Laplace é dada por

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Ao integrar em partes e saber que t -st tende a 0 quando t tende ao infinito es> 0, juntamente com o exemplo anterior, temos que:

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A transformação pode ou não existir, por exemplo, para a função f (t) = 1 / t, a integral que define sua transformação de Laplace não converge e, portanto, sua transformação não existe.

Condições suficientes para garantir que a transformada de Laplace de uma função f exista, é que f é contínuo em partes para t ≥ 0 e é de ordem exponencial.

Diz-se que uma função é contínua em partes para t ≥ 0, quando para qualquer intervalo [a, b] com a> 0, existe um número finito de pontos t k, onde f tem descontinuidades e é contínuo em cada subintervalos [t k-1 , t k ].

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Por outro lado, diz-se que uma função é de ordem exponencial c se houver constantes reais M> 0, ce T> 0, tais que:

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Como exemplos, temos que f (t) = t 2 é de ordem exponencial, pois | t 2 | <e 3t para todos t> 0.

Formalmente, temos o seguinte teorema

Teorema (Condições suficientes para a existência)

Se f é uma função contínua por parte para t> 0 e de ordem exponencial c, então há a transformação de Laplace para s> c.

É importante destacar que esta é uma condição de suficiência, ou seja, pode ser que exista uma função que não atenda a essas condições e mesmo assim exista sua transformação de Laplace.

Um exemplo disso é a função f (t) = t -1/2, que não é contínua em partes para t ≥ 0, mas sua transformação Laplace existe.

Transformação de Laplace de algumas funções básicas

A tabela a seguir mostra as transformações de Laplace das funções mais comuns.

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História

A transformação de Laplace deve esse nome a Pierre-Simon Laplace, matemático francês e astrônomo teórico que nasceu em 1749 e morreu em 1827. Sua fama era tal que ele era conhecido como Newton da França.

Em 1744, Leonard Euler dedicou seus estudos a integrais com a forma

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como soluções de equações diferenciais ordinárias, mas rapidamente abandonou esta pesquisa. Mais tarde, Joseph Louis Lagrange, que admirava muito Euler, também investigou esses tipos de integrais e os relacionou com a teoria da probabilidade.

1782, Laplace

Em 1782, Laplace começou a estudar essas integrais como soluções para equações diferenciais e, segundo os historiadores, em 1785 ele decidiu reformular o problema, que deu origem às transformadas de Laplace, como são hoje entendidas.

Tendo sido introduzido no campo da teoria das probabilidades, era de pouco interesse para os cientistas do momento e era visto apenas como um objeto matemático de apenas interesse teórico.

Oliver Heaviside

Foi em meados do século XIX que o engenheiro inglês Oliver Heaviside descobriu que os operadores diferenciais podem ser tratados como variáveis ​​algébricas, dando assim sua aplicação moderna às transformadas de Laplace.

Oliver Heaviside era um físico, engenheiro elétrico e matemático inglês, nascido em 1850 em Londres e morto em 1925. Enquanto tentava resolver problemas de equações diferenciais aplicadas à teoria das vibrações e usando os estudos de Laplace, começou a moldar o aplicações modernas das transformadas de Laplace.

Os resultados exibidos por Heaviside se espalharam rapidamente por toda a comunidade científica da época, mas como seu trabalho não era muito rigoroso, ele foi rapidamente criticado pelos matemáticos mais tradicionais.

No entanto, a utilidade do trabalho de Heaviside na resolução de equações da física tornou seus métodos populares entre físicos e engenheiros.

Apesar desses contratempos e após algumas décadas de tentativas fracassadas, no início do século XX, uma rigorosa justificativa poderia ser dada às regras operacionais dadas por Heaviside.

Essas tentativas valeram a pena graças aos esforços de diversos matemáticos como Bromwich, Carson, van der Pol, entre outros.

Propriedades

Entre as propriedades da transformação de Laplace, destacam-se:

Linearidade

Seja c1 e c2 constantes e funções f (t) eg (t) cujas transformadas de Laplace são F (s) e G (s) respectivamente, então você deve:

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Por causa dessa propriedade, diz-se que a transformada de Laplace é um operador linear.

Exemplo

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Teorema da primeira tradução

Se isso acontecer:

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E ‘a’ é qualquer número real, então:

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Exemplo

Como a transformada de Laplace de cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4), então:

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Segundo teorema da tradução

Sim

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Então

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Exemplo

Se f (t) = t ^ 3, então F (s) = 6 / s ^ 4. E, portanto, a transformação de

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é G (s) = 6e -2s / s ^ 4

Mudança de escala

Sim

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E ‘a’ é realmente diferente de zero, temos que

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Exemplo

Como a transformação de f (t) = sin (t) é F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1), você deve

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Transformada de Laplace de derivados

Se f, f ‘, f’ ‘,…, f (n) são contínuos para t ≥ 0 e são de ordem exponencial ef (n) (t) é contínuo em partes para t ≥ 0, então

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Transformada de Laplace de integrais

Sim

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Então

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Multiplicação por t n

Se tivermos que

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Então

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Divisão por t

Se tivermos que

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Então

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Funções periódicas

Seja f uma função periódica com período T> 0, que é f (t + T) = f (t), então

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Comportamento de F (s) quando s tende ao infinito

Se f é contínuo por partes e de ordem exponencial e

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Então

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Inverso Transformado

Quando aplicamos a transformada de Laplace a uma função f (t), obtemos F (s), que representa essa transformação. Da mesma forma, podemos dizer que f (t) é a transformada de Laplace inversa de F (s) e é escrita como

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Sabemos que as transformadas de Laplace de f (t) = 1 eg (t) = t são F (s) = 1 / se G (s) = 1 / s 2 respectivamente, portanto, temos que

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Algumas transformações inversas comuns de Laplace são as seguintes

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Além disso, a transformação inversa de Laplace é linear, ou seja, é verdade que

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Exercício

Localizar

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Para resolver este exercício, devemos combinar a função F (s) com uma da tabela anterior. Nesse caso, se pegarmos + 1 = 5 e usar a propriedade de linearidade da transformação inversa, multiplicamos e dividimos por 4! Obtendo

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Para a segunda transformação inversa, aplicamos frações parciais para reescrever a função F (s) e depois a propriedade de linearidade, obtendo

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Como podemos ver nesses exemplos, é comum que a função F (s) avaliada não corresponda exatamente a nenhuma das funções fornecidas na tabela. Para esses casos, conforme observado, basta reescrever a função até que ela atinja a forma apropriada.

Aplicações de transformação Laplace

Equações diferenciais

A principal aplicação que as transformadas de Laplace possuem é resolver equações diferenciais.

Usando a propriedade da transformação de uma derivada, fica claro que

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E dos derivados n-1 avaliados em t = 0.

Essa propriedade torna a transformação muito útil para resolver problemas de valor inicial em que estão envolvidas equações diferenciais com coeficientes constantes.

Os exemplos a seguir mostram como usar a transformada de Laplace para resolver equações diferenciais.

Exemplo 1

Dado o seguinte problema de valor inicial

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Use a transformação Laplace para encontrar a solução.

Aplicamos a transformada de Laplace a cada membro da equação diferencial

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Para a propriedade da transformação derivada, temos

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Ao desenvolver toda a expressão e limpeza E (s) que resta

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Usando frações parciais para reescrever o lado direito da equação, obtemos

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Finalmente, nosso objetivo é encontrar uma função e (t) que satisfaça a equação diferencial. O uso da transformação inversa de Laplace resulta em

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Exemplo 2

Resolver

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Como no caso anterior, aplicamos a transformação em ambos os lados da equação e separamos termo a termo.

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Desta forma, temos como resultado

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Substituindo pelos valores iniciais fornecidos e limpando Y (s)

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Usando frações simples, podemos reescrever a seguinte equação

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E a aplicação da transformação inversa de Laplace resulta em

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Nesses exemplos, pode-se chegar à conclusão errada de que esse método não é muito melhor do que os métodos tradicionais para resolver equações diferenciais.

As vantagens oferecidas pela transformada de Laplace são que não é necessário usar variação de parâmetro ou se preocupar com os vários casos do método de coeficientes indeterminados.

Além de resolver problemas de valor inicial por esse método, desde o início usamos as condições iniciais, portanto não é necessário executar outros cálculos para encontrar a solução específica.

Sistemas de equações diferenciais

A transformação de Laplace também pode ser usada para encontrar soluções para equações diferenciais ordinárias simultâneas, como mostra o exemplo a seguir.

Exemplo

Resolver

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Com as condições iniciais x (0) = 8 e y (0) = 3.

Se tivermos que

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Então

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Resolução de resultados em

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E, aplicando a transformada inversa de Laplace, temos

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Circuitos mecânicos e elétricos

A transformada de Laplace é de grande importância na física, possui principalmente aplicações em circuitos mecânicos e elétricos.

Um circuito elétrico simples é composto pelos seguintes elementos

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Um interruptor, uma bateria ou fonte, um indutor, um resistor e um capacitor. Quando o interruptor é fechado, é produzida uma corrente elétrica que é denotada por i (t). A carga do capacitor é indicada por q (t).

Pela segunda lei de Kirchhoff, a tensão produzida pela fonte E para o circuito fechado deve ser igual à soma de cada uma das quedas de tensão.

A corrente elétrica i (t) está relacionada à carga q (t) no capacitor por i = dq / dt. Por outro lado, a queda de tensão em cada um dos elementos é definida da seguinte forma:

A queda de tensão em um resistor é iR = R (dq / dt)

A queda de tensão em um indutor é L (di / dt) = L (d 2 q / dt 2 )

A queda de tensão em um capacitor é q / C

Com esses dados e aplicando a segunda lei de Kirchhoff ao circuito simples fechado, é obtida uma equação diferencial de segunda ordem que descreve o sistema e permite determinar o valor de q (t).

Exemplo

Um indutor, um capacitor e um resistor estão conectados à bateria E, como mostra a figura. O indutor é de 2 henries, o capacitor de 0,02 farads e a resistência de 16 onhm. No momento t = 0 o circuito fecha. Encontre a carga e a corrente a qualquer momento t> 0 se E = 300 volts.

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Temos que a equação diferencial que descreve esse circuito é a seguinte

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Onde as condições iniciais são q (0) = 0, i (0) = 0 = q ‘(0).

Aplicando a transformação Laplace, obtemos isso

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E limpando Q (t)

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Então, aplicando a transformação inversa de Laplace, temos

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Referências

  1. G. Holbrook, J. (1987). Transformada de Laplace para engenheiros eletrônicos. Limusa
  2. Ruiz, LM e Hernandez, MP (2006). Equações diferenciais e transformada de Laplace com aplicações. Editorial UPV.
  3. Simmons, GF (1993). Equações diferenciais com aplicações e notas históricas. McGraw-Hill
  4. Spiegel, MR (1991). Laplace se transforma. McGraw-Hill
  5. Zill, DG e Cullen, MR (2008). Equações diferenciais com problemas de valor de borda. Cengage Learning Editores, SA

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