A Transformação de Laplace é uma técnica matemática utilizada na resolução de equações diferenciais lineares. Desenvolvida por Pierre-Simon Laplace no século XVIII, essa transformação converte uma função de uma variável em outra função de uma variável complexa, facilitando a resolução de equações diferenciais lineares com condições iniciais.
Essa técnica é amplamente utilizada em engenharia, física e outras áreas da ciência, sendo uma ferramenta poderosa para analisar sistemas dinâmicos e resolvê-los de forma mais eficiente. A Transformação de Laplace permite simplificar a solução de equações diferenciais complexas, tornando o processo de resolução mais rápido e preciso.
Entenda a utilidade da transformada de Laplace para análise de sistemas dinâmicos.
A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática poderosa que tem sido amplamente utilizada na análise de sistemas dinâmicos. Criada por Pierre-Simon Laplace no século XVIII, ela tem aplicações em diversas áreas, como engenharia, física e economia.
A transformada de Laplace é útil porque permite transformar equações diferenciais em equações algébricas, facilitando a resolução de problemas complexos. Ela transforma funções de tempo em funções de complexo de Laplace, o que simplifica o processo de análise de sistemas em domínio de frequência.
Com a transformada de Laplace, é possível analisar a estabilidade, a resposta transitória e a resposta em regime permanente de sistemas dinâmicos. Ela também facilita a modelagem e o projeto de sistemas de controle, permitindo a análise de sua dinâmica de forma mais eficiente.
Em resumo, a transformada de Laplace é uma ferramenta essencial para a análise e o projeto de sistemas dinâmicos, tornando a resolução de problemas mais simples e eficaz.
Qual é a utilidade do Teorema de Laplace na matemática aplicada?
O Teorema de Laplace é uma ferramenta essencial na matemática aplicada, principalmente na análise de sistemas lineares e invariantes no tempo. Este teorema permite transformar equações diferenciais em equações algébricas mais simples de serem resolvidas, facilitando o estudo e a compreensão de diversos fenômenos presentes na engenharia, física, economia e outras áreas.
A transformação de Laplace é uma técnica matemática utilizada para converter equações diferenciais em equações algébricas, tornando mais fácil resolver problemas complexos e analisar sistemas dinâmicos. Esta transformação foi desenvolvida por Pierre-Simon Laplace no final do século XVIII e desde então tem sido amplamente utilizada em diversas áreas.
Na prática, a transformação de Laplace é utilizada para resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, simplificando a solução de problemas de controle, circuitos elétricos, dinâmica de fluidos, entre outros. Além disso, a transformação de Laplace é fundamental na análise de sistemas de tempo contínuo e discreto, permitindo estudar a estabilidade, resposta em frequência e comportamento de sistemas complexos.
Em resumo, o Teorema de Laplace e a transformação de Laplace são ferramentas poderosas na matemática aplicada, que facilitam a resolução de problemas práticos e a análise de sistemas dinâmicos em diversas áreas do conhecimento.
Significado da palavra Laplace: descubra o significado por trás do nome do matemático francês.
O nome Laplace tem um significado interessante por trás dele, relacionado ao famoso matemático francês Pierre-Simon Laplace. A palavra Laplace vem do francês antigo “la Place”, que significa “o lugar”. Este nome pode estar relacionado à origem da família de Laplace ou à sua posição de destaque na matemática e na ciência.
Transformação de Laplace é uma técnica matemática utilizada para transformar uma equação diferencial em uma equação algébrica mais simples. Desenvolvida por Laplace no século XVIII, essa transformação é amplamente utilizada em engenharia, física e matemática aplicada.
A história por trás da Transformação de Laplace remonta aos estudos de Laplace sobre séries infinitas e equações diferenciais. Ele percebeu que essa transformação poderia simplificar a resolução de problemas complexos, tornando-os mais acessíveis aos matemáticos e cientistas da época.
A Transformação de Laplace é especialmente útil para resolver equações diferenciais lineares com coeficientes constantes, facilitando a análise de sistemas dinâmicos e processos físicos. Ela também é utilizada em controle de processos, teoria de circuitos elétricos e muitas outras áreas da ciência e engenharia.
Qual a importância da transformada de Laplace na área de controle de processos industriais?
A transformada de Laplace é uma ferramenta matemática essencial na área de controle de processos industriais. Ela permite a análise de sistemas dinâmicos complexos, facilitando a modelagem e o projeto de controladores eficientes.
A história da transformada de Laplace remonta ao século XIX, quando o matemático francês Pierre-Simon Laplace a desenvolveu. Desde então, ela tem sido amplamente utilizada em diversas áreas da engenharia, incluindo o controle de processos industriais.
A principal vantagem da transformada de Laplace é a capacidade de transformar equações diferenciais em equações algébricas, simplificando a resolução de problemas de controle. Isso possibilita a análise de sistemas dinâmicos em tempo contínuo, facilitando a implementação de estratégias de controle em processos industriais.
Em resumo, a transformada de Laplace desempenha um papel fundamental na análise e no projeto de sistemas de controle, proporcionando uma abordagem matemática poderosa e eficiente. Sua aplicação na área de controle de processos industriais permite otimizar o desempenho dos sistemas, melhorar a qualidade dos produtos e aumentar a eficiência dos processos produtivos.
Transformação de Laplace: definição, história e para que serve
A transformação de Laplace tem sido de grande importância nos últimos anos em estudos de engenharia, matemática, física, entre outras áreas científicas, pois além de ser de grande interesse em teoria, fornece uma maneira simples de resolver problemas provenientes de Ciência e engenharia.
Originalmente, a transformação de Laplace foi apresentada por Pierre-Simón Laplace em seu estudo sobre a teoria da probabilidade e, em princípio, foi tratada como um objeto matemático de interesse puramente teórico.
As aplicações atuais surgem quando vários matemáticos tentam dar uma justificativa formal para as “regras operacionais” usadas por Heaviside no estudo de equações da teoria eletromagnética.
Definição de
Seja f uma função definida para t ≥ 0. A transformação de Laplace é definida da seguinte forma:
Diz-se que a Transformada de Laplace existe se a integral anterior convergir, caso contrário, é dito que a transformação de Laplace não existe.
Em geral, para indicar a função a ser transformada, são usadas letras minúsculas e a letra maiúscula corresponde à sua transformação. Desta forma, teremos:
Exemplos
Considere a função constante f (t) = 1. Temos que transformá-la:
Sempre que a integral converge, ou seja, sempre que s> 0. Caso contrário, s <0, a integral diverge.
Seja g (t) = t. Sua transformação de Laplace é dada por
Ao integrar em partes e saber que t -st tende a 0 quando t tende ao infinito es> 0, juntamente com o exemplo anterior, temos que:
A transformação pode ou não existir, por exemplo, para a função f (t) = 1 / t, a integral que define sua transformação de Laplace não converge e, portanto, sua transformação não existe.
Condições suficientes para garantir que a transformada de Laplace de uma função f exista, é que f é contínuo em partes para t ≥ 0 e é de ordem exponencial.
Diz-se que uma função é contínua em partes para t ≥ 0, quando para qualquer intervalo [a, b] com a> 0, existe um número finito de pontos t k, onde f tem descontinuidades e é contínuo em cada subintervalos [t k-1 , t k ].
Por outro lado, diz-se que uma função é de ordem exponencial c se houver constantes reais M> 0, ce T> 0, tais que:
Como exemplos, temos que f (t) = t 2 é de ordem exponencial, pois | t 2 | <e 3t para todos t> 0.
Formalmente, temos o seguinte teorema
Teorema (Condições suficientes para a existência)
Se f é uma função contínua por parte para t> 0 e de ordem exponencial c, então há a transformação de Laplace para s> c.
É importante destacar que esta é uma condição de suficiência, ou seja, pode ser que exista uma função que não atenda a essas condições e mesmo assim exista sua transformação de Laplace.
Um exemplo disso é a função f (t) = t -1/2, que não é contínua em partes para t ≥ 0, mas sua transformação Laplace existe.
Transformação de Laplace de algumas funções básicas
A tabela a seguir mostra as transformações de Laplace das funções mais comuns.
História
A transformação de Laplace deve esse nome a Pierre-Simon Laplace, matemático francês e astrônomo teórico que nasceu em 1749 e morreu em 1827. Sua fama era tal que ele era conhecido como Newton da França.
Em 1744, Leonard Euler dedicou seus estudos a integrais com a forma
como soluções de equações diferenciais ordinárias, mas rapidamente abandonou esta pesquisa. Mais tarde, Joseph Louis Lagrange, que admirava muito Euler, também investigou esses tipos de integrais e os relacionou com a teoria da probabilidade.
1782, Laplace
Em 1782, Laplace começou a estudar essas integrais como soluções para equações diferenciais e, segundo os historiadores, em 1785 ele decidiu reformular o problema, que deu origem às transformadas de Laplace, como são hoje entendidas.
Tendo sido introduzido no campo da teoria das probabilidades, era de pouco interesse para os cientistas do momento e era visto apenas como um objeto matemático de apenas interesse teórico.
Oliver Heaviside
Foi em meados do século XIX que o engenheiro inglês Oliver Heaviside descobriu que os operadores diferenciais podem ser tratados como variáveis algébricas, dando assim sua aplicação moderna às transformadas de Laplace.
Oliver Heaviside era um físico, engenheiro elétrico e matemático inglês, nascido em 1850 em Londres e morto em 1925. Enquanto tentava resolver problemas de equações diferenciais aplicadas à teoria das vibrações e usando os estudos de Laplace, começou a moldar o aplicações modernas das transformadas de Laplace.
Os resultados exibidos por Heaviside se espalharam rapidamente por toda a comunidade científica da época, mas como seu trabalho não era muito rigoroso, ele foi rapidamente criticado pelos matemáticos mais tradicionais.
No entanto, a utilidade do trabalho de Heaviside na resolução de equações da física tornou seus métodos populares entre físicos e engenheiros.
Apesar desses contratempos e após algumas décadas de tentativas fracassadas, no início do século XX, uma rigorosa justificativa poderia ser dada às regras operacionais dadas por Heaviside.
Essas tentativas valeram a pena graças aos esforços de diversos matemáticos como Bromwich, Carson, van der Pol, entre outros.
Propriedades
Entre as propriedades da transformação de Laplace, destacam-se:
Linearidade
Seja c1 e c2 constantes e funções f (t) eg (t) cujas transformadas de Laplace são F (s) e G (s) respectivamente, então você deve:
Por causa dessa propriedade, diz-se que a transformada de Laplace é um operador linear.
Exemplo
Teorema da primeira tradução
Se isso acontecer:
E ‘a’ é qualquer número real, então:
Exemplo
Como a transformada de Laplace de cos (2t) = s / (s ^ 2 + 4), então:
Segundo teorema da tradução
Sim
Então
Exemplo
Se f (t) = t ^ 3, então F (s) = 6 / s ^ 4. E, portanto, a transformação de
é G (s) = 6e -2s / s ^ 4
Mudança de escala
Sim
E ‘a’ é realmente diferente de zero, temos que
Exemplo
Como a transformação de f (t) = sin (t) é F (s) = 1 / (s ^ 2 + 1), você deve
Transformada de Laplace de derivados
Se f, f ‘, f’ ‘,…, f (n) são contínuos para t ≥ 0 e são de ordem exponencial ef (n) (t) é contínuo em partes para t ≥ 0, então
Transformada de Laplace de integrais
Sim
Então
Multiplicação por t n
Se tivermos que
Então
Divisão por t
Se tivermos que
Então
Funções periódicas
Seja f uma função periódica com período T> 0, que é f (t + T) = f (t), então
Comportamento de F (s) quando s tende ao infinito
Se f é contínuo por partes e de ordem exponencial e
Então
Inverso Transformado
Quando aplicamos a transformada de Laplace a uma função f (t), obtemos F (s), que representa essa transformação. Da mesma forma, podemos dizer que f (t) é a transformada de Laplace inversa de F (s) e é escrita como
Sabemos que as transformadas de Laplace de f (t) = 1 eg (t) = t são F (s) = 1 / se G (s) = 1 / s 2 respectivamente, portanto, temos que
Algumas transformações inversas comuns de Laplace são as seguintes
Além disso, a transformação inversa de Laplace é linear, ou seja, é verdade que
Exercício
Localizar
Para resolver este exercício, devemos combinar a função F (s) com uma da tabela anterior. Nesse caso, se pegarmos + 1 = 5 e usar a propriedade de linearidade da transformação inversa, multiplicamos e dividimos por 4! Obtendo
Para a segunda transformação inversa, aplicamos frações parciais para reescrever a função F (s) e depois a propriedade de linearidade, obtendo
Como podemos ver nesses exemplos, é comum que a função F (s) avaliada não corresponda exatamente a nenhuma das funções fornecidas na tabela. Para esses casos, conforme observado, basta reescrever a função até que ela atinja a forma apropriada.
Aplicações de transformação Laplace
Equações diferenciais
A principal aplicação que as transformadas de Laplace possuem é resolver equações diferenciais.
Usando a propriedade da transformação de uma derivada, fica claro que
E dos derivados n-1 avaliados em t = 0.
Essa propriedade torna a transformação muito útil para resolver problemas de valor inicial em que estão envolvidas equações diferenciais com coeficientes constantes.
Os exemplos a seguir mostram como usar a transformada de Laplace para resolver equações diferenciais.
Exemplo 1
Dado o seguinte problema de valor inicial
Use a transformação Laplace para encontrar a solução.
Aplicamos a transformada de Laplace a cada membro da equação diferencial
Para a propriedade da transformação derivada, temos
Ao desenvolver toda a expressão e limpeza E (s) que resta
Usando frações parciais para reescrever o lado direito da equação, obtemos
Finalmente, nosso objetivo é encontrar uma função e (t) que satisfaça a equação diferencial. O uso da transformação inversa de Laplace resulta em
Exemplo 2
Resolver
Como no caso anterior, aplicamos a transformação em ambos os lados da equação e separamos termo a termo.
Desta forma, temos como resultado
Substituindo pelos valores iniciais fornecidos e limpando Y (s)
Usando frações simples, podemos reescrever a seguinte equação
E a aplicação da transformação inversa de Laplace resulta em
Nesses exemplos, pode-se chegar à conclusão errada de que esse método não é muito melhor do que os métodos tradicionais para resolver equações diferenciais.
As vantagens oferecidas pela transformada de Laplace são que não é necessário usar variação de parâmetro ou se preocupar com os vários casos do método de coeficientes indeterminados.
Além de resolver problemas de valor inicial por esse método, desde o início usamos as condições iniciais, portanto não é necessário executar outros cálculos para encontrar a solução específica.
Sistemas de equações diferenciais
A transformação de Laplace também pode ser usada para encontrar soluções para equações diferenciais ordinárias simultâneas, como mostra o exemplo a seguir.
Exemplo
Resolver
Com as condições iniciais x (0) = 8 e y (0) = 3.
Se tivermos que
Então
Resolução de resultados em
E, aplicando a transformada inversa de Laplace, temos
Circuitos mecânicos e elétricos
A transformada de Laplace é de grande importância na física, possui principalmente aplicações em circuitos mecânicos e elétricos.
Um circuito elétrico simples é composto pelos seguintes elementos
Um interruptor, uma bateria ou fonte, um indutor, um resistor e um capacitor. Quando o interruptor é fechado, é produzida uma corrente elétrica que é denotada por i (t). A carga do capacitor é indicada por q (t).
Pela segunda lei de Kirchhoff, a tensão produzida pela fonte E para o circuito fechado deve ser igual à soma de cada uma das quedas de tensão.
A corrente elétrica i (t) está relacionada à carga q (t) no capacitor por i = dq / dt. Por outro lado, a queda de tensão em cada um dos elementos é definida da seguinte forma:
A queda de tensão em um resistor é iR = R (dq / dt)
A queda de tensão em um indutor é L (di / dt) = L (d 2 q / dt 2 )
A queda de tensão em um capacitor é q / C
Com esses dados e aplicando a segunda lei de Kirchhoff ao circuito simples fechado, é obtida uma equação diferencial de segunda ordem que descreve o sistema e permite determinar o valor de q (t).
Exemplo
Um indutor, um capacitor e um resistor estão conectados à bateria E, como mostra a figura. O indutor é de 2 henries, o capacitor de 0,02 farads e a resistência de 16 onhm. No momento t = 0 o circuito fecha. Encontre a carga e a corrente a qualquer momento t> 0 se E = 300 volts.
Temos que a equação diferencial que descreve esse circuito é a seguinte
Onde as condições iniciais são q (0) = 0, i (0) = 0 = q ‘(0).
Aplicando a transformação Laplace, obtemos isso
E limpando Q (t)
Então, aplicando a transformação inversa de Laplace, temos
Referências
- G. Holbrook, J. (1987). Transformada de Laplace para engenheiros eletrônicos. Limusa
- Ruiz, LM e Hernandez, MP (2006). Equações diferenciais e transformada de Laplace com aplicações. Editorial UPV.
- Simmons, GF (1993). Equações diferenciais com aplicações e notas históricas. McGraw-Hill
- Spiegel, MR (1991). Laplace se transforma. McGraw-Hill
- Zill, DG e Cullen, MR (2008). Equações diferenciais com problemas de valor de borda. Cengage Learning Editores, SA