Leis de Morgan

Os l olhos de Morgan são regras de inferência usadas na lógica proposicional, que estabelecem que o resultado de negar uma disjunção e um conjunto de proposições ou variáveis proposicionais. Essas leis foram definidas pelo matemático Augustus De Morgan.

As leis de Morgan representam uma ferramenta muito útil para provar a validade de um raciocínio matemático. Mais tarde, eles foram generalizados dentro do conceito de conjuntos pelo matemático George Boole.

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Essa generalização feita por Boole é completamente equivalente às leis iniciais de Morgan, mas é desenvolvida especificamente para conjuntos e não para proposições. Essa generalização também é conhecida como leis de Morgan.

Revisão da lógica proposicional

Antes de ver quais são as leis de Morgan especificamente e como elas são usadas, é conveniente lembrar algumas noções básicas de lógica proposicional. (Para mais detalhes, consulte o artigo de lógica proposicional).

No campo da lógica matemática (ou proposicional), uma inferência é uma conclusão emitida a partir de um conjunto de premissas ou hipóteses. Essa conclusão, juntamente com as premissas mencionadas, dá origem ao que é conhecido como raciocínio matemático.

Esse raciocínio deve poder ser demonstrado ou negado; isto é, nem todas as inferências ou conclusões em um raciocínio matemático são válidas.

Falácia

Uma inferência falsa emitida a partir de certas suposições que são consideradas verdadeiras é conhecida como falácia. As falácias têm a particularidade de serem argumentos que parecem corretos, mas matematicamente não são.

A lógica proposicional é responsável por desenvolver e fornecer métodos por meio dos quais se possa, sem ambiguidade, validar ou refutar um raciocínio matemático; isto é, inferir uma conclusão válida a partir de premissas. Esses métodos são conhecidos como regras de inferência, das quais as leis de Morgan fazem parte.

Proposições

Os elementos essenciais da lógica proposicional são proposições. As propostas são afirmações sobre as quais se pode dizer se são válidas ou não, mas que não podem ser verdadeiras ou falsas ao mesmo tempo. Não deve haver ambiguidade nesta questão.

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Assim como os números podem ser combinados através das operações de adição, subtração, multiplicação e divisão, as proposições podem ser operadas por meio do conectivo lógico conhecido (ou conectores): negação (¬, “não”), disjunção (V , “O”), conjunção (Ʌ, “y”), condicional (→, “sim … então …”) e bicondicional (↔, “sim, e somente se”).

Para trabalhar de maneira mais geral, em vez de considerar proposições específicas, são consideradas variáveis ​​proposicionais que representam quaisquer proposições e geralmente são indicadas com letras minúsculas p, q, r, s, etc.

Uma fórmula proposicional é uma combinação de variáveis ​​proposicionais através de alguns dos conectivos lógicos. Em outras palavras, é uma composição de variáveis ​​proposicionais. Eles geralmente são indicados com letras gregas.

Diz-se que uma fórmula proposicional implica logicamente outra quando a última é verdadeira cada vez que a primeira é verdadeira. Isso é indicado por:

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Quando a implicação lógica entre duas fórmulas proposicionais é recíproca – isto é, quando a implicação anterior também é válida na direção oposta – as fórmulas são consideradas logicamente equivalentes e denotadas por

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A equivalência lógica é um tipo de igualdade entre fórmulas proposicionais e permite que uma seja substituída pela outra quando necessário.

Leis de Morgan

As leis de Morgan consistem em duas equivalências lógicas entre duas formas proposicionais, a saber:

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Essas leis nos permitem separar a negação de uma disjunção ou conjunção, como negação das variáveis ​​envolvidas.

A primeira pode ser lida da seguinte forma: a negação de uma disjunção é igual à conjunção das negações. E o segundo diz assim: a negação de uma conjunção é a disjunção das negações.

Em outras palavras, negar a disjunção de duas variáveis ​​proposicionais é equivalente à conjunção das negações de ambas as variáveis. Da mesma forma, negar a conjunção de duas variáveis ​​proposicionais é equivalente à disjunção das negações de ambas as variáveis.

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Como mencionado anteriormente, a substituição dessa equivalência lógica ajuda a demonstrar resultados importantes, juntamente com as outras regras de inferência existentes. Com elas, você pode simplificar muitas fórmulas proposicionais, para que sejam mais úteis para trabalhar.

A seguir, é apresentado um exemplo de demonstração matemática usando regras de inferência, entre essas leis de Morgan. Especificamente, é mostrado que a fórmula:

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É equivalente a:

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O último é mais simples de entender e desenvolver.

Demonstração

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Vale ressaltar que a validade das leis de Morgan pode ser demonstrada matematicamente. Uma maneira é comparar suas tabelas de verdade.

Conjuntos

As mesmas regras de inferência e as noções de lógica aplicadas às proposições também podem ser desenvolvidas considerando conjuntos. Isso é conhecido como álgebra booleana, em homenagem ao matemático George Boole.

Para diferenciar casos, é necessário alterar a notação e transferir para conjuntos, todas as noções já vistas da lógica proposicional.

Um conjunto é uma coleção de objetos. Os conjuntos são indicados com letras maiúsculas A, B, C, X, … e os elementos de um conjunto são indicados com letras minúsculas a, b, c, x, etc. Quando um elemento a pertence a um conjunto X, é indicado por:

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Quando não pertence ao X, a notação é:

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A maneira de representar os conjuntos é colocando seus elementos dentro das teclas. Por exemplo, o conjunto de números naturais é representado por:

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Os conjuntos também podem ser representados sem escrever uma lista explícita de seus elementos. Eles podem ser expressos no formato {:}. Os dois pontos são lidos “de modo que”. Uma variável que representa os elementos do conjunto é colocada à esquerda dos dois pontos e a propriedade ou condição que eles satisfazem é colocada no lado direito. Isto é:

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Por exemplo, o conjunto de números inteiros maiores que -4 pode ser expresso como:

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Ou equivalente e mais abreviado, como:

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Da mesma forma, as seguintes expressões representam os conjuntos de números ímpares e pares, respectivamente:

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União, interseção e complementos de conjunto

A seguir, veremos os análogos dos conectivos lógicos no caso de conjuntos, que fazem parte das operações básicas entre conjuntos.

União e interseção

A união e interseção de conjuntos são definidas, respectivamente, da seguinte forma:

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Por exemplo, considere os conjuntos:

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Então, você precisa:

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Complemento

O complemento de um conjunto é formado pelos elementos que não pertencem ao referido conjunto (do mesmo tipo que o original representa). O complemento de um conjunto A é indicado por:

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Por exemplo, dentro de números naturais, o complemento do conjunto de números pares é o de números ímpares e vice-versa.

Para determinar o complemento de um conjunto, o conjunto universal ou principal dos elementos considerados deve estar claro desde o início. Por exemplo, não é o mesmo considerar o complemento de um conjunto de números naturais do que números racionais.

A tabela a seguir mostra o relacionamento ou analogia existente entre as operações em conjuntos definidos anteriormente e os conectivos da lógica proposicional:

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Leis de Morgan para conjuntos

Finalmente, as leis de Morgan sobre conjuntos são:

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Em palavras: o complemento de uma união é a interseção dos complementos, e o complemento de uma interseção é a união dos complementos.

Uma demonstração matemática da primeira igualdade seria a seguinte:

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A demonstração do segundo é análoga.

Referências

  1. Almaguer, G. (2002). Matemática 1. Editorial Limusa.
  2. Aylwin, CU (2011). Lógica, Conjuntos e Números. Mérida – Venezuela: Conselho de Publicações, Universidade de Los Andes.
  3. Barrantes, H., Díaz, P., Murillo, M. e Soto, A. (1998). Introdução à Teoria dos Números. EUNED
  4. Castañeda, S. (2016). Curso básico de teoria dos números. Universidade do Norte
  5. Cofré, A. & Tapia, L. (1995). Como desenvolver o raciocínio lógico matemático. Publicação Universitária.
  6. Guevara, MH (sf). Teoria dos Números. EUNED
  7. Saragoça, AC (sf). Teoria dos números. Editorial Vision Books.

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