Ortoedro: fórmulas, área, volume, diagonal, exemplos

O ortoedro é um sólido geométrico formado por seis faces retangulares, onde cada vértice possui três ângulos retos. Neste artigo, iremos abordar as fórmulas para calcular a área e o volume do ortoedro, além de como encontrar a diagonal deste sólido. Também apresentaremos alguns exemplos práticos para ilustrar como aplicar essas fórmulas na resolução de problemas envolvendo ortoedros. Vamos explorar as propriedades e características deste sólido de forma detalhada.

Descubra como determinar as medidas de um ortoedro de maneira simples e precisa.

O ortoedro é uma figura geométrica tridimensional formada por seis faces retangulares, onde cada face oposta é paralela e congruente. Para determinar as medidas de um ortoedro, é importante conhecer suas fórmulas e propriedades.

Uma das fórmulas mais importantes para o ortoedro é a do cálculo da área da superfície, que pode ser encontrada multiplicando o comprimento pela largura de cada face e somando todas as áreas das faces. Ou seja, a fórmula da área total do ortoedro é 2*(comprimento * largura + largura * altura + altura * comprimento).

Já para calcular o volume do ortoedro, basta multiplicar o comprimento, a largura e a altura. A fórmula do volume do ortoedro é comprimento * largura * altura.

Para encontrar a diagonal de um ortoedro, podemos usar o teorema de Pitágoras, que nos diz que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Assim, a fórmula para calcular a diagonal de um ortoedro é raiz quadrada de (comprimento^2 + largura^2 + altura^2).

Vamos ver um exemplo prático: suponha que temos um ortoedro com comprimento 5, largura 3 e altura 4. Para encontrar a área total, utilizamos a fórmula 2*(5*3 + 3*4 + 4*5) = 2*(15 + 12 + 20) = 2*(47) = 94. Portanto, a área total do ortoedro é 94 unidades de área.

Por fim, para calcular o volume, multiplicamos o comprimento, largura e altura: 5*3*4 = 60. Assim, o volume do ortoedro é 60 unidades cúbicas.

Como determinar o comprimento da diagonal de um quadrado ou retângulo?

Para determinar o comprimento da diagonal de um quadrado ou retângulo, podemos utilizar o teorema de Pitágoras. O teorema de Pitágoras afirma que em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. No caso do quadrado ou retângulo, a diagonal funciona como a hipotenusa do triângulo retângulo formado pelas arestas do quadrado ou retângulo.

Para um quadrado ou retângulo com lados de comprimento a e b, respectivamente, a fórmula para calcular o comprimento da diagonal é dada por:

Diagonal (d) = √(a² + b²)

Portanto, para encontrar a diagonal de um quadrado ou retângulo, basta elevar ao quadrado os comprimentos dos lados, somá-los e então calcular a raiz quadrada do resultado.

O ortoedro é um sólido geométrico formado por seis faces retangulares, onde as faces opostas são congruentes. Para calcular a área de um ortoedro, basta somar a área de todas as suas faces. A fórmula para o cálculo da área de um ortoedro é:

Área = 2(ab + ac + bc)

Já o volume de um ortoedro é dado pelo produto de suas três dimensões:

Volume = a * b * c

Além disso, para encontrar a diagonal de um ortoedro, basta utilizar a mesma fórmula mencionada anteriormente, considerando as três dimensões do sólido.

Por exemplo, se tivermos um retângulo com lados de comprimento 3 e 4, a diagonal será:

Diagonal = √(3² + 4²) = √(9 + 16) = √25 = 5

Portanto, a diagonal desse retângulo terá comprimento igual a 5 unidades.

Descubra como calcular o volume de um objeto utilizando uma fórmula simples.

Para calcular o volume de um objeto, como um ortoedro, você pode utilizar uma fórmula simples. O volume de um ortoedro é calculado multiplicando a largura, a altura e o comprimento do objeto. A fórmula para calcular o volume de um ortoedro é:

Volume = comprimento x largura x altura

Por exemplo, se tivermos um ortoedro com as seguintes medidas: comprimento = 5 cm, largura = 3 cm e altura = 4 cm, podemos calcular o volume da seguinte forma:

Volume = 5 cm x 3 cm x 4 cm

Volume = 60 cm³

Portanto, o volume do ortoedro é de 60 cm³. Esta fórmula simples pode ser aplicada para calcular o volume de outros objetos tridimensionais, como caixas, cubos, cilindros, entre outros.

Descubra a fórmula para calcular a diagonal de um paralelepípedo de maneira simples e eficiente.

Um dos cálculos mais importantes quando se trata de paralelepípedos é a diagonal, que é a linha reta que une dois vértices não adjacentes. Para calcular a diagonal de um paralelepípedo, podemos usar a fórmula:

Diagonal = √(a² + b² + c²)

Onde a, b e c são as medidas dos lados do paralelepípedo. Essa fórmula nos permite encontrar a diagonal de forma simples e eficiente, sem a necessidade de muitos cálculos complexos.

Por exemplo, se tivermos um paralelepípedo com lados de medidas 3, 4 e 5, podemos calcular a diagonal da seguinte forma:

Diagonal = √(3² + 4² + 5²) = √(9 + 16 + 25) = √50 ≈ 7,07

Portanto, a diagonal desse paralelepípedo é aproximadamente 7,07 unidades de medida.

Com essa fórmula simples, podemos facilmente calcular a diagonal de qualquer paralelepípedo, facilitando o trabalho de medição e dimensionamento de objetos em forma de paralelepípedo.

Ortoedro: fórmulas, área, volume, diagonal, exemplos

O ortoedro é uma figura geométrica tridimensional ou volumétrica caracterizada por ter seis faces retangulares, de modo que as faces opostas estão em planos paralelos e são idênticas ou congruentes entre si. Por outro lado, as faces adjacentes a uma determinada face estão em planos perpendiculares àquelas da face inicial.

O ortoedro também pode ser considerado como um prisma ortogonal com base retangular, no qual os ângulos diédricos formados pelos planos de duas faces adjacentes a uma aresta comum medem 90º. O ângulo diédrico entre duas faces é medido na interseção das faces com um plano perpendicular e comum a elas.

Da mesma forma, o ortoedro é um paralelepípedo retangular , pois é assim que o paralelepípedo é definido como a figura volumétrica de seis faces, que são paralelas de dois a dois.

Em qualquer paralelepípedo, as faces são paralelogramos, mas no paralelepípedo retangular, as faces devem ser retangulares.

Partes do ortoedro

As partes de um poliedro, como o ortoedro , são:

-Arists

-Vertices 

-Rostos

O ângulo entre duas arestas de uma face do ortoedro coincide com o ângulo diédrico formado pelas outras duas faces adjacentes a cada uma das arestas, formando um ângulo reto. A imagem a seguir esclarece cada conceito:

-No total, um ortoedro tem 6 faces, 12 arestas e 8 vértices.

-O ângulo entre duas arestas é um ângulo reto.

-O ângulo diédrico entre duas faces também é reto.

-Em cada face há quatro vértices e em cada vértice há três faces mutuamente ortogonais.

Fórmulas de ortoedro

Área

A superfície ou área de um ortoedro é a soma das áreas de suas faces.

Se as três arestas que se encontram em um vértice tiver as medidas a, bec, como mostrado na Figura 3, a face frontal terá a área c⋅b e a face inferior também terá a área c⋅b.

Então as duas faces laterais têm área a⋅b cada. E, por último, os rostos piso e teto têm área a⋅c cada.

Adicionando a área de todas as faces, obtemos:

A = 2⋅c⋅b + 2⋅a⋅b + 2⋅a⋅c

Retirando o fator comum e ordenando os termos:

A = 2⋅ (a⋅b + b⋅c + c⋅a)

Volume

Se o ortoedro é considerado um prisma, seu volume é calculado da seguinte forma:

Volume = Área da base do prisma x altura do prisma

Nesse caso, o piso das dimensões c e a é tomado como base retangular ; portanto, a área da base é c⋅a .

A altura é dada pelo comprimento b das arestas ortogonais às faces dos lados a e c .

Multiplicando a área da base ( a⋅c ) pela altura b, obtemos o volume V do ortoedro:

V = a⋅b⋅c

Diagonal interna

Em um ortoedro, existem dois tipos de diagonais: as diagonais externas e as diagonais internas.

As diagonais externas estão nas faces retangulares, enquanto as diagonais internas são os segmentos que unem dois vértices opostos, sendo entendidos por vértices opostos aqueles que não compartilham nenhuma aresta.

Em um ortoedro, existem quatro diagonais internas, todas de igual medida. O comprimento das diagonais internas pode ser obtido aplicando o teorema de Pitágoras em triângulos retângulos.

O comprimento d da diagonal externa da face do assoalho do ortoedro cumpre a relação pitagórica:

d ² = a ² + c ²

Da mesma forma, a diagonal interna da medida D preenche a relação pitagórica:

D ² = d ²  + b ² .

Combinando as duas expressões anteriores, temos:

D ² = a ² + c ² + b ² .

Finalmente, o comprimento de qualquer uma das diagonais internas do ortoedro é dado pela seguinte fórmula:

D = √ (a ² + b ² + c ² ). 

Exemplos

– Exemplo 1

Um pedreiro constrói um tanque em forma de ortoedro cujas dimensões internas são: 6m x 4m de base e 2m de altura. É solicitado:

a) Determine a superfície interior do tanque se ele estiver completamente aberto na parte superior. 

b) Calcule o volume do espaço interior do tanque.

c) Encontre o comprimento de uma diagonal interna.

d) Qual a capacidade do tanque em litros?

Solução para

Tomaremos as dimensões da base retangular a = 4 me c = 6 me a altura como b = 2 m

A área de um ortoedro com as dimensões especificadas é dada pela seguinte relação:

A = 2⋅ (a⋅b + b⋅c + c⋅a) = 2⋅ (4 m⋅2 m + 2 m⋅6 m + 6 m⋅4 m)

Quer dizer:

A = 2⋅ (8 m ² + 12 m ² + 24 m ² ) = ² ⋅ (44 m ² ) = 88 m ²

O resultado anterior é a área do ortoedro fechado com as dimensões especificadas, mas como é um tanque completamente exposto em sua parte superior, para obter a superfície das paredes internas do tanque, a área da tampa ausente deve ser subtraída, ou seja:

c⋅a = 6 m ⋅ 4 m = 24 m ² .

Finalmente, a superfície interior do tanque será: S = 88 m ² – 24 m ² = 64 m ² .

Solução b

O volume interior do tanque é determinado pelo volume de um ortoedro das dimensões interiores do tanque:

V = a⋅b⋅c = 4 m 2 m 6 m = 48 m ³ .

Solução c

A diagonal interna de um octaedro com as dimensões do interior do tanque tem um comprimento D dado por:

√ (a ² + b ² + c ² ) = √ ((4 m) ² + (2 m) ² + (6 m) ² )

Realizando as operações indicadas, ficamos com:

D = √ (16 m ² + 4 m ² + 36 m ² ) = √ (56 m ² ) = ² √ (14) m = 7,48 m.

Solução d

Para calcular a capacidade do tanque em litros, é necessário saber que o volume de um decímetro cúbico é igual à capacidade de um litro. Anteriormente, tinha sido calculado em volume em metros cúbicos, mas deve ser transformado em decímetros cúbicos e depois em litros:

V = 48 m ³ = 48 (10 dm) ³ = 4.800 dm ³ = 4.800 L

– Exercício 2

Um aquário de vidro tem uma forma cúbica de 25 cm de cada lado. Determine a área em m ² , o volume em litros e o comprimento de uma diagonal interna em cm.

Solução

A área é calculada usando a mesma fórmula que o ortoedro, mas levando em consideração que todas as dimensões são idênticas:

A = 2⋅ (3 anos) = 6⋅ a ² = 6⋅ (25 cm) ² = 1.250 cm ²

O volume do cubo é dado por:

V = a ³ = (25 cm) ³ = 15,625 cm ³ = 15,625 (0,1 dm) ³ = 15,625 dm ³ = 15,625 L.

O comprimento D da diagonal interior é:

D = √ (3a ² ) = 25√ (3) cm = 43,30 cm.

Referências

1. Arias J. GeoGebra: Prisma. Recuperado de: youtube.com.
2. Calculus.cc. Exercícios e resolução de problemas de áreas e volumes. Recuperado de: calculo.cc.
3. Pirâmide Salvador R. + Ortoedro com GEOGEBRA (IHM). Recuperado de: youtube.com
4. Weisstein, Eric. “Ortoedro”. MathWorld. Pesquisa Wolfram.
5. Wikipedia. Ortoedro. Recuperado de: es.wikipedia.com