A Álgebra Booleana é um ramo da matemática que lida com operações lógicas em valores binários, representados por 0 e 1. Essa área da matemática foi desenvolvida pelo matemático britânico George Boole no século XIX, e desde então tem sido amplamente aplicada em diversas áreas, como ciência da computação, engenharia elétrica e sistemas de controle.
A Álgebra Booleana é baseada em teoremas e postulados que permitem a simplificação e manipulação de expressões booleanas. Alguns dos principais teoremas incluem a lei da identidade, a lei da negação, a lei da absorção, a lei da distribuição, entre outros.
Para melhor compreensão, a Álgebra Booleana é frequentemente ilustrada com exemplos práticos, como a simplificação de circuitos lógicos, a representação de funções booleanas e a resolução de problemas de lógica proposicional. O estudo da Álgebra Booleana é essencial para quem trabalha com sistemas digitais e computação, pois fornece ferramentas fundamentais para o projeto e análise de sistemas baseados em lógica booleana.
Principais operações da álgebra booleana e exemplos práticos.
A Álgebra Booleana é um ramo da matemática que lida com operações lógicas baseadas em dois valores, verdadeiro (1) e falso (0). Suas principais operações são a conjunção (AND), a disjunção (OR) e a negacão (NOT).
A operação de conjunção (AND) é representada pelo símbolo ∧ e retorna verdadeiro apenas se ambas as entradas forem verdadeiras. Por exemplo, em um sistema de segurança, a porta só será aberta se o usuário inserir a senha correta e apresentar o cartão de acesso.
A operação de disjunção (OR) é representada pelo símbolo ∨ e retorna verdadeiro se pelo menos uma das entradas for verdadeira. Por exemplo, em um sistema de controle de tráfego, um semáforo ficará verde se houver um carro se aproximando ou se for horário de pico.
A operação de negação (NOT) é representada pelo símbolo ¬ e inverte o valor de entrada, ou seja, se a entrada for verdadeira, a saída será falsa e vice-versa. Por exemplo, em um sistema de controle de acesso, a porta só será aberta se o usuário não estiver com a chave errada.
Principais operadores da lógica booleana: quais são os três fundamentais?
A Álgebra booleana é um ramo da matemática que trata da lógica booleana, desenvolvida pelo matemático George Boole no século XIX. Ela é utilizada em diversas áreas, como na computação, eletrônica e telecomunicações. Um dos conceitos fundamentais da Álgebra booleana são os operadores lógicos, que são utilizados para realizar operações entre variáveis booleanas.
Os três operadores fundamentais da lógica booleana são: AND (E), OR (OU) e NOT (NÃO). O operador AND retorna verdadeiro apenas se ambos os operandos forem verdadeiros, o operador OR retorna verdadeiro se pelo menos um dos operandos for verdadeiro, e o operador NOT inverte o valor do operando.
Além dos operadores fundamentais, existem também operadores derivados, como o XOR (OU exclusivo) e o NAND (NÃO E), que são compostos a partir dos operadores básicos. A lógica booleana é regida por diversos teoremas e postulados, que permitem simplificar expressões e realizar operações de forma mais eficiente.
Um exemplo simples de aplicação da Álgebra booleana é a porta lógica AND, que retorna verdadeiro apenas se as duas entradas forem verdadeiras. Outro exemplo é a expressão booleana “A AND NOT B”, que representa a condição em que A é verdadeiro e B é falso.
Em resumo, a Álgebra booleana é uma ferramenta poderosa para lidar com expressões lógicas, permitindo realizar operações complexas de forma simples e eficiente. Os operadores fundamentais AND, OR e NOT são a base para construir expressões mais elaboradas e resolver problemas de lógica de forma sistemática e precisa.
Conheça as principais expressões booleanas utilizadas em programação e lógica de computação.
Álgebra booleana: A álgebra booleana é um ramo da matemática que trata da álgebra das variáveis booleanas, que podem assumir apenas dois valores: verdadeiro (1) e falso (0). Ela foi desenvolvida pelo matemático George Boole no século XIX e é amplamente utilizada em programação e lógica de computação.
Teoremas e postulados: Na álgebra booleana, existem diversos teoremas e postulados que permitem simplificar expressões booleanas e facilitar o seu entendimento. Alguns dos principais teoremas são a identidade, a idempotência, a absorção, a complementação, a distributividade e a dualidade. Já os postulados básicos são a identidade, a nulidade, a complementação, a idempotência, a complementaridade e a distributividade.
Exemplos: Para ilustrar o uso da álgebra booleana, vamos analisar um exemplo simples. Suponha que temos duas variáveis booleanas A e B, e queremos representar a expressão “A E B”, onde E representa a operação lógica de “E”. Neste caso, a expressão booleana correspondente seria A.B, onde o ponto representa a operação lógica de “E”.
Em resumo, a álgebra booleana é uma ferramenta essencial para lidar com expressões lógicas em programação e computação. Conhecer os principais teoremas e postulados, assim como saber como aplicá-los em exemplos práticos, é fundamental para o desenvolvimento de algoritmos eficientes e para a resolução de problemas computacionais de forma mais assertiva.
Origens e desenvolvimento da álgebra booleana: uma breve história da lógica matemática.
A álgebra booleana é um ramo da matemática que estuda operações lógicas em variáveis que podem assumir apenas dois valores, verdadeiro ou falso. Seu desenvolvimento está intimamente ligado à história da lógica matemática, que remonta aos trabalhos de George Boole no século XIX.
George Boole, um matemático britânico, foi o pioneiro no estudo da lógica simbólica e suas aplicações à álgebra. Em sua obra “An Investigation of the Laws of Thought”, publicada em 1854, Boole apresentou um sistema algébrico de lógica que permitia a representação e manipulação de proposições em termos de operações matemáticas.
Os postulados da álgebra booleana foram formalizados por Boole, que introduziu os conceitos de conjunção, disjunção e negação, fundamentais para a construção de expressões lógicas. Com base nesses postulados, foram desenvolvidos teoremas que permitem simplificar e resolver problemas lógicos de forma sistemática.
Um dos teoremas mais conhecidos da álgebra booleana é o teorema de De Morgan, que estabelece a relação entre a negação de uma conjunção e a disjunção das negações. Esse teorema é amplamente utilizado em circuitos lógicos e em aplicações de computação.
Para ilustrar a aplicação da álgebra booleana, considere o exemplo de uma porta lógica AND, que retorna verdadeiro apenas se ambas as entradas forem verdadeiras. A expressão booleana para essa porta seria A AND B, onde A e B são variáveis que podem assumir os valores verdadeiro ou falso.
Em resumo, a álgebra booleana é um campo importante da matemática que tem aplicações em diversas áreas, como computação, eletrônica e teoria da informação. Seu desenvolvimento ao longo da história da lógica matemática contribuiu significativamente para o avanço do conhecimento em áreas relacionadas.
Álgebra booleana: história, teoremas e postulados, exemplos
A álgebra booleana ou álgebra booleana é notação algébrica utilizado para o tratamento de variáveis binárias. Abrange os estudos de qualquer variável que possua apenas 2 resultados possíveis, complementares e exclusivos entre si. Por exemplo, as variáveis cuja única possibilidade é verdadeira ou falsa, certa ou errada, ativar ou desativar são a base do estudo da álgebra booleana.
A álgebra booleana forma a base da eletrônica digital, o que a torna bastante presente nos tempos contemporâneos. É governado pelo conceito de portas lógicas, onde as operações conhecidas na álgebra tradicional são significativamente afetadas.
História
A álgebra booleana foi introduzida em 1854 pelo matemático inglês George Boole (1815 – 1864), que era um estudioso autodidata da época. A preocupação deles surgiu de uma disputa entre Augustus De Morgan e William Hamilton, sobre os parâmetros que definem esse sistema lógico.
George Boole argumentou que a definição dos valores numéricos 0 e 1 corresponde, no campo da lógica, à interpretação Nothing e Universe, respectivamente.
A intenção de George Boole era definir, através das propriedades da álgebra, as expressões da lógica proposicional necessária para lidar com variáveis binárias.
Em 1854, as seções mais significativas da álgebra booleana são publicadas no livro ” Uma investigação das leis do pensamento nas quais as teorias matemáticas da lógica e da probabilidade se baseiam”.
Este título curioso seria resumido mais tarde como ” As leis do pensamento”. O título ganhou fama devido à atenção imediata que teve por parte da comunidade matemática da época.
Em 1948, Claude Shannon o aplicou no projeto de circuitos de comutação elétrica flip-flop. Isso serviu de introdução à aplicação da álgebra booleana em todo o esquema eletrônico-digital.
Estrutura
Os valores elementares nesse tipo de álgebra são 0 e 1, que correspondem a FALSE e TRUE, respectivamente. As operações fundamentais na álgebra booleana são 3:
– E operação ou conjunção. Representado por um período (.). Sinônimo do produto.
– Operação ou disjunção. Representado por uma cruz (+), sinônimo da soma.
– NÃO operação ou negação. Representado pelo prefixo NOT (NOT A). Também é conhecido como complemento.
Se em um conjunto A2 leis de composição interna denotadas como produto e soma (. +) São definidas, diz-se que a lista restrita (A. +) é uma álgebra booleana se, e somente se, a lista restrita atender à condição de uma mira Distributivo
Para definir uma rede de distribuição, as condições de distribuição entre as operações fornecidas devem ser atendidas:
. É distributivo em relação à soma + a. (b + c) = (a. b) + (a. c)
+ é distributivo em relação ao produto.a + (b. c) = (a + b). (a + c)
Os elementos que compõem o conjunto A devem ser binários, possuindo assim valores universais ou nulos.
Aplicações
Seu maior cenário de aplicação é o ramo digital, onde serve para estruturar os circuitos que compõem as operações lógicas envolvidas. A arte da simplicidade de circuitos em favor da otimização de processos é o resultado da correta aplicação e prática da álgebra booleana.
Desde o desenvolvimento de painéis elétricos, passando pela transmissão de dados, até a programação em diferentes idiomas, podemos encontrar frequentemente álgebra booleana em todos os tipos de aplicações digitais.
Variáveis booleanas são muito comuns na estrutura de programação. Dependendo da linguagem de programação usada, haverá operações de código estrutural que usam essas variáveis. Os condicionais e argumentos de cada idioma suportam variáveis booleanas para definir os processos.
Postulados
Existem teoremas que governam as leis lógicas estruturais da álgebra booleana. Da mesma forma, eles postulam para conhecer os possíveis resultados em diferentes combinações de variáveis binárias, dependendo da operação executada.
Soma (+)
O operador OR cujo elemento lógico é a união (U) é definido para variáveis binárias da seguinte maneira:
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 1
Produto (.)
O operador AND cujo elemento lógico é a interseção (∩) é definido para variáveis binárias da seguinte maneira:
0 0 = 0
0 1 = 0
1 0 = 0
1 1 = 1
Oposto (NÃO)
O operador NOT cujo elemento lógico é o complemento (X) ‘é definido para variáveis binárias da seguinte maneira:
NÃO 0 = 1
NÃO 1 = 0
Muitos dos postulados diferem de seus equivalentes na álgebra convencional. Isto é devido ao domínio das variáveis. Por exemplo, a adição de elementos do universo na álgebra booleana (1 + 1) não pode produzir o resultado convencional de 2, porque não pertence aos elementos do conjunto binário.
Teoremas
Regra de zero e unidade
Toda operação simples envolvendo um elemento com variáveis binárias é definida:
0 + A = A
1 + A = 1
0 A = 0
1 A = A
Potências iguais ou idempotência
Operações entre variáveis iguais são definidas como:
A + A = A
A. A = A
Complementação
Toda operação entre uma variável e seu complemento é definida como:
A + NÃO A = 1
A. NÃO A = 0
Involução ou negação dupla
Qualquer dupla negação será considerada como a variável natural.
NÃO (NÃO A) = A
Comutativo
A + B = B + A; Comutatividade da soma.
A. B = B. A; Comutatividade do produto.
Associativo
A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C; Associatividade da soma.
A. (B. C) = (A.B). C = A. B. C; Associatividade do Produto
Distributivo
A + (B. C) = (A + B). (A + C); Distribuição da soma em relação ao produto.
A. (B + C) = (A. B) + (A + C); Distribuição do produto em relação à soma.
Leis de absorção
Existem muitas leis de absorção entre várias referências, algumas das mais conhecidas são:
A. (A + B) = A
A. (NÃO A + B) = A. B
NÃO A (A + B) = NÃO A. B
(A + B). (A + NÃO B) = A
A + A. B = A
A + NÃO A. B = A + B
NÃO A + A. B = NÃO A + B
A. B + A. NÃO B = A
Teorema de Morgan
São leis de transformação, que lidam com pares de variáveis que interagem entre as operações definidas da álgebra booleana (+.).
NÃO (A. B) = NÃO A + NÃO B
NÃO (A + B) = NÃO A. NÃO B
A + B = NÃO (NÃO A + NÃO B)
A. B = NÃO (NÃO A. NÃO B)
Dualidade
Todos os postulados e teoremas possuem o poder da dualidade. Isso implica que, ao trocar as variáveis e operações, a proposição resultante seja verificada. Ou seja, ao trocar 0 por 1 e AND por OR ou vice-versa; é criada uma expressão que também será completamente válida.
Por exemplo, se o postulado for tomado
1 0 = 0
E a dualidade é aplicada
0 + 1 = 1
Outro postulado perfeitamente válido é obtido.
Mapa de Karnaugh
O mapa de Karnaugh é um diagrama usado na álgebra booleana para simplificar funções lógicas. Consiste em um arranjo bidimensional semelhante às tabelas da verdade da lógica proposicional. Os dados das tabelas verdadeiras podem ser refletidos diretamente no mapa de Karnaugh.
O mapa de Karnaugh pode abrigar processos de até 6 variáveis. Para funções com maior número de variáveis, recomenda-se o uso de software para simplificar o processo.
Proposto em 1953 por Maurice Karnaugh, foi estabelecido como uma ferramenta fixa no campo da álgebra booleana, porque sua implementação sincroniza a potencialidade humana com a necessidade de simplificar expressões booleanas, um aspecto fundamental na fluidez dos processos digitais.
Exemplos
A álgebra booleana serve para reduzir as portas lógicas em um circuito, onde a prioridade é trazer a complexidade ou o nível do circuito para a menor expressão possível. Isto é devido ao atraso computacional que cada porta implica.
No exemplo a seguir, observaremos a simplificação de uma expressão lógica para sua expressão mínima, usando os teoremas e postulados da álgebra booleana.
NÃO (AB + A + B). NÃO (A + NÃO B)
NÃO [A (B + 1) + B]. NÃO (A + NÃO B); Fatore o A com fator comum.
NÃO [A (1) + B]. NÃO (A + NÃO B); Pelo teorema A + 1 = 1.
NÃO (A + B). NÃO (A + NÃO B); pelo teorema A. 1 = A
(NÃO A. NÃO B). [NÃO A. NÃO (NÃO B)];
Pelo teorema de Morgan, NOT (A + B) = NÃO A. NÃO B
(NÃO A. NÃO B). (NÃO A. B); Para o teorema da dupla negação NOT (NOT A) = A
NÃO A. NÃO B. NÃO A. B; Agrupamento algébrico.
NÃO A. NÃO A. NÃO B. B; Comutatividade do produto A. B = B. Um
NÃO A. NÃO B. B; Pelo teorema A. A = A
NÃO A. 0; Pelo teorema A. NÃO A = 0
0; Pelo teorema A. 0 = 0
A. B. C + NÃO A + A. NÃO B. C
A. C. (B + NÃO B) + NÃO A; Factoring (A. C) com fator comum.
A. C. (1) + NÃO A; Pelo teorema A + NÃO A = 1
A. C + NÃO A; Pela regra do teorema de zero e unidade 1. A = A
NÃO A + C ; Pela lei de Morgan A + NOT A. B = A + B
Para esta solução, a lei de Morgan deve ser estendida para definir:
NÃO (NÃO A). C + NÃO A = NÃO A + C
Porque NOT (NOT A) = A por involução.
Simplifique a função lógica
NÃO A. NÃO B. NÃO C + NÃO A. NÃO B. C + NÃO A. NÃO C até sua expressão mínima
NÃO A. NÃO B. (NÃO C + C) + NÃO A. NÃO C; Factoring (NÃO A. NÃO B) com fator comum
NÃO A. NÃO B. (1) + NÃO A. NÃO C; Pelo teorema A + NÃO A = 1
(NÃO A. NÃO B) + (NÃO A. NÃO C); Pela regra do teorema de zero e unidade 1. A = A
NÃO A (NÃO B + NÃO C); Faturando NÃO A com um fator comum
NÃO A. NÃO (B. C); Pelas leis de Morgan NOT (A. B) = NÃO A + NÃO B
NOT [A + (B. C)] Pelas leis de Morgan NOT (A. B) = NÃO A + NOT B
Qualquer uma das 4 opções em negrito representa uma possível solução para reduzir o nível do circuito
Simplifique a função lógica para sua expressão mínima
(A. NÃO B. C + A. NÃO B. B. D + NÃO A. NÃO B). C
(A. NÃO B. C + A. 0. D + NÃO A. NÃO B). C; Pelo teorema A. NÃO A = 0
(A. NÃO B. C + 0 + NÃO A. NÃO B). C; Pelo teorema A. 0 = 0
(A. NÃO B. C + NÃO A. NÃO B). C; Pelo teorema A + 0 = A
A. NÃO B. C. C + NÃO A. NÃO B. C; Pela distributividade do produto em relação à soma
A. NÃO B. C + NÃO A. NÃO B. C; Pelo teorema A. A = A
NÃO B. C (A + NÃO A) ; Factoring (NÃO B. C) com fator comum
NÃO B. C (1); Pelo teorema A + NÃO A = 1
NÃO B. C; Pela regra do teorema de zero e unidade 1. A = A
Referências
- Álgebra booleana e suas aplicações J. Eldon Whitesitt. Continental Editora, 1980.
- Matemática e Engenharia em Ciência da Computação. Christopher J. Van Wyk. Instituto de Ciências da Computação e Tecnologia. Bureau Nacional de Padrões. Washington, DC 20234
- Matemática para Ciência da Computação. Eric Lehman Google Inc.
F Thomson Leighton Departamento de Matemática e Laboratório de Ciência da Computação e IA, Instituto de Tecnologia de Massachusetts; Akamai Technologies. - Elementos de análise abstrata. Médico O’Searcoid PhD. Departamento de Matemática. Faculdade universitária de Dublin, Beldfield, Dublind.
- Introdução à Lógica e à Metodologia das Ciências Dedutivas. Alfred Tarski, Nova Iorque, Oxford. Imprensa da Universidade de Oxford.