Choques elásticos: em uma dimensão, casos especiais, exercícios

As colisões elásticas ou colisões elásticas são breves, mas intensas interações entre objetos, em que tanto o momento e energia cinética são conservados. Os acidentes são eventos muito frequentes na natureza: de partículas subatômicas a galáxias, bolas de bilhar e carrinhos de choque em parques de diversões, todos eles são objetos capazes de colidir.

Durante uma colisão ou colisão, as forças de interação entre objetos são muito intensas, muito mais do que aquelas que podem agir externamente. Desta forma, pode-se afirmar que, durante a colisão, as partículas formam um sistema isolado.

Nesse caso, é verdade que:

P _o = P _f

A quantidade de movimento P _ou antes da colisão é a mesma que após a colisão. Isso vale para qualquer tipo de colisão, elástica e inelástica.

Agora, o seguinte deve ser considerado: durante uma colisão, os objetos experimentam uma certa deformação. Quando o choque é elástico, os objetos recuperam rapidamente sua forma original.

Conservação de energia cinética

Normalmente, durante um acidente, parte da energia dos objetos é gasta em calor, deformação, som e às vezes até produz luz. Portanto, a energia cinética do sistema após a colisão é menor que a energia cinética original.

Quando a energia cinética K, então é conservada:

K _o = K _f

O que significa que as forças que agem durante a colisão são conservadoras. Durante a colisão, a energia cinética se transforma brevemente em energia potencial e, em seguida, retorna à energia cinética. As respectivas energias cinéticas variam, mas a soma permanece constante.

Colisões perfeitamente elásticas não são frequentes, embora as bolas de bilhar sejam uma aproximação bastante boa, assim como as colisões que ocorrem entre as moléculas de gás ideais.

Choques elásticos em uma dimensão

Vamos examinar uma colisão de duas partículas disso em uma única dimensão; isto é, as partículas em interação se movem, digamos, ao longo do eixo x. Suponha que eles tenham massas m ₁ e m ₂ . As velocidades iniciais de cada um são u ₁ e u ₂ respectivamente. As velocidades finais são v ₁ e v ₂ .

Podemos passar sem notação vetorial, já que o movimento é realizado ao longo do eixo x, no entanto, os sinais (-) e (+) indicam a direção do movimento. Para a esquerda é negativo e para a direita positivo, por convenção.

-Fórmulas para colisões elásticas

Para a quantidade de movimento

m ₁ u ₁ + m ₂ u ₂ = m ₁ v ₁ + m ₂ v ₂

Para energia cinética

½ m ₁ u ² ₁ + ½ m ₂ u ² ₂ = ½ m ₁ v ² ₁ + ½ m ₂ v ² ₂

Sempre que as massas e velocidades iniciais são conhecidas, é possível reagrupar as equações para encontrar as velocidades finais.

O problema é que, em princípio, é necessário realizar um pouco de álgebra bastante tediosa, pois as equações para energia cinética contêm os quadrados das velocidades, o que torna o cálculo um pouco complicado. Idealmente, encontre expressões que não as contenham.

A primeira coisa é fazer sem o fator ½ e reordenar as duas equações para que um sinal negativo apareça e as massas possam ser fatoradas:

m ₁ u ₁ – m ₁ v ₁ = m ₂ v ₂ – m ₂ u ₂

m ₁ u ² ₁ – m ₁ v ² ₁ = + m ₂ v ² ₂ – m ₂ u ² ₂

Sendo expresso desta maneira:

m ₁ (u ₁ – v ₁ ) = m ₂ (v ₂ – u ₂ )

m ₁ (u ² ₁ – v ² ₁ ) = m ₂ (v ² ₂ – u ² ₂ )

Simplificação para eliminar os quadrados das velocidades

Agora, devemos fazer uso da notável soma do produto por sua diferença na segunda equação, que fornece uma expressão que não contém os quadrados, como originalmente pretendido:

m ₁ (u ₁ – v ₁ ) = m ₂ (v ₂ – u ₂ )

m ₁ (u ₁ – v ₁ ) (u ₁ + v ₁ ) = m ₂ (v ₂ – u ₂ ) (v ₂ + u ₂ )

O próximo passo é substituir a primeira equação na segunda:

m ₂ (v ₂ – u ₂ ) (u ₁ + v ₁ ) = m ₂ (v ₂ – u ₂ ) (v ₂ + u ₂ )

E quando o termo m ₂ (v ₂ – ou ₂ ) é repetido nos dois lados da igualdade, esse termo é cancelado e é assim:

(u ₁ + v ₁ ) = (v ₂ + u ₂ )

Ou melhor ainda:

u ₁ – u ₂ = v ₂ – v ₁

Velocidades finais v ₁ e v ₂ das partículas

Agora, existem duas equações lineares que são mais fáceis de trabalhar. Vamos colocá-los um abaixo do outro:

m ₁ u ₁ + m ₂ u ₂ = m ₁ v ₁ + m ₂ v ₂

u ₁ – u ₂ = v ₂ – v ₁

Multiplicando a segunda equação por m ₁ e adicionando termo a termo é:

m ₁ u ₁ + m ₂ u ₂ = m ₁ v ₁ + m ₂ v ₂

m ₁ u ₁ – m ₁ u ₂ = m ₁ v ₂ – m ₁ v ₁

——————————————

2 m ₁ u ₁ + (m ₂ – m ₁ ) u ₂ = (m ₂ + m ₁ ) v ₂

E já é possível limpar a v ₂ . Por exemplo:

Casos especiais em colisões elásticas

Agora que as equações estão disponíveis para as velocidades finais de ambas as partículas, é hora de analisar algumas situações especiais.

Duas massas idênticas

Nesse caso, m ₁ = m ₂ = me :

v ₁ = u ₂

v ₂ = u ₁

As partículas simplesmente trocam suas velocidades após a colisão.

Duas massas idênticas, uma das quais estava inicialmente em repouso

Novamente m ₁ = m ₂ = me assumindo que u ₁ = 0:

v ₁ = u ₂

v ₂ = 0

Após o acidente, a partícula que estava em repouso adquire a mesma velocidade da partícula que estava se movendo, e isso, por sua vez, para.

Duas massas diferentes, uma delas inicialmente em repouso

Nesse caso, suponha que u ₁ = 0, mas as massas sejam diferentes:

O que acontece se m ₁ for muito maior que m ₂ ?

Ocorre que m ₁ ainda _está em repouso e m ₂ é retornado tão rapidamente quanto atingido.

Coeficiente ou regra de reembolso de Huygens-Newton

Anteriormente, a seguinte relação entre as velocidades para dois objetos em colisão elástica era deduzida: u ₁ – u ₂ = v ₂ – v ₁ . Essas diferenças são as velocidades relativas antes e depois da colisão. Em geral, para uma colisão, é verdade que:

u ₁ – u ₂ = – (v ₁ – v ₂ )

O conceito de velocidade relativa é melhor apreciado se o leitor imaginar que está em uma das partículas e, a partir dessa posição, observar a velocidade com que a outra partícula se move. A equação anterior é reescrita da seguinte maneira:

Exercícios resolvidos

Exercício -Resolvido 1

Uma bola de bilhar se move para a esquerda a 30 cm / s, colidindo de frente com outra bola idêntica que se move para a direita a 20 cm / s. As duas bolas têm a mesma massa e o choque é perfeitamente elástico. Encontre a velocidade de cada bola após o impacto.

Solução

u ₁ = -30 cm / s

u ₂ = +20 cm / s

Este é o caso especial em que duas massas idênticas colidem em uma dimensão elasticamente, portanto as velocidades são trocadas.

v ₁ = +20 cm / s

v ₂ = -30 cm / s

– Exercício resolvido 2

O coeficiente de restituição de uma bola que quica no chão é igual a 0,82. Se ele cair do repouso, que fração de sua altura original a bola alcançará depois de quicar uma vez? E depois de 3 rebotes?

Solução

O solo pode ser o objeto 1 na equação do coeficiente de restituição. E sempre permanece em repouso, para que:

Com essa velocidade, ele salta:

O sinal + indica que é uma velocidade ascendente. E, segundo ela, a bola atinge uma altura máxima de:

Agora ele volta ao chão novamente com velocidade de igual magnitude, mas sinal oposto:

Isso atinge uma altura máxima de:

Saltos sucessivos

Cada vez que a bola salta e sobe, a velocidade deve ser multiplicada novamente por 0,82:

Neste ponto, h ₃ é aproximadamente 30% de h _o . Qual seria a altura no sexto rebote sem a necessidade de fazer cálculos tão detalhados quanto os anteriores?

Será H ₆ = 0.82 ¹² h _ou = 0.092h _ou ou apenas 9% de H _ou .

– Exercício resolvido 3

Um bloco de 300 g se move para o norte a 50 cm / se atinge um bloco de 200 g que segue para o sul a 100 cm / s. Suponha que o choque seja perfeitamente elástico. Encontre as velocidades após o impacto.

Dados

m ₁ = 300 g; u ₁ = + 50 cm / s

m ₂ = 200 g; u ₂ = -100 cm / s

– Exercício resolvido 4

Uma massa de m ₁ = 4 kg é liberada do ponto indicado na pista sem atrito, até colidir com m ₂ = 10 kg em repouso. Qual é a altura m ₁ após a colisão?

Solução

Como não há atrito, a energia mecânica é conservada para encontrar a velocidade u ₁ com a qual m ₁ afeta m _2. Inicialmente, a energia cinética é 0, já que m ₁ parte do restante. Quando se move na superfície horizontal, não tem altura; portanto, a energia potencial é 0.

mgh = ½ mu ₁ ²

u ₂ = 0

Agora a velocidade de m ₁ é calculada após a colisão:

O sinal negativo significa que ele foi retornado. Com essa velocidade, ele sobe e a energia mecânica é conservada novamente para encontrar h ‘ , a altura em que consegue subir após o acidente:

½ mv ₁ ² = mgh ‘

Observe que ele não retorna ao ponto inicial a 8 m de altura. Não possui energia suficiente porque parte de sua energia cinética produziu massa m _1.

Referências

1. Giancoli, D. 2006. Física: Princípios com Aplicações. 6 ^th . Ed Prentice Hall. 175-181
2. Rex, A. 2011. Fundamentos de Física. Pearson 135-155.
3. Serway, R., Vulle, C. 2011. Fundamentos de Física. 9 ^na Cengage Learning. 172-182
4. Tipler, P. (2006) Física para Ciência e Tecnologia. 5º Ed. Volume 1. Editorial Reverté. 217-238
5. Tippens, P. 2011. Física: Conceitos e Aplicações. 7ª Edição. MacGraw Hill. 185-195