Teorema de Torricelli: o que é, fórmulas e exercícios

O teorema Torricelli ou princípio Torricelli afirma que a velocidade do líquido que sai do orifício na parede de um tanque ou recipiente, é idêntica à que adquire um objecto é deixado cair livremente a partir de uma altura igual à superfície livre de líquido para o buraco.

O teorema é ilustrado na figura a seguir:

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Ilustração do teorema de Torricelli. Fonte: elaboração própria.

Devido ao teorema de Torricelli, podemos afirmar que a velocidade de saída do líquido através de um orifício que está na altura h abaixo da superfície livre do líquido é dada pela seguinte fórmula:

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Onde g é a aceleração da gravidade e h é a altura do furo até a superfície livre do líquido.

O evangelista Torricelli foi físico e matemático nascido na cidade de Faenza, Itália, em 1608. Torricelli é creditado com a invenção do barômetro de mercúrio e, como reconhecimento, existe uma unidade de pressão chamada “torr”, equivalente a um milímetro de mercúrio (mm Hg).

Prova do teorema

No teorema de Torricelli e na fórmula que dá velocidade, ele assume que as perdas de viscosidade são insignificantes, assim como em queda livre, assume-se que o atrito devido ao ar ao redor do objeto em queda seja insignificante.

A suposição acima é razoável na maioria dos casos e também envolve a conservação de energia mecânica.

Para provar o teorema, primeiro encontraremos a fórmula da velocidade para um objeto que é liberado com velocidade inicial zero, da mesma altura da superfície do líquido no reservatório.

O princípio de conservação de energia será aplicado para obter a velocidade do objeto que cai justamente quando a altura h cai igual à do buraco na superfície livre.

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Como não há perdas por atrito, é válido aplicar o princípio de conservação de energia mecânica. Suponha que o objeto que cai tenha massa me a altura h seja medida a partir do nível de saída do líquido.

Objeto caindo

Quando o objeto é liberado de uma altura igual à da superfície livre do líquido, sua energia é apenas um potencial gravitacional, pois sua velocidade é zero e, portanto, sua energia cinética é zero. A energia potencial Ep é dada por:

Ep = mgh

Quando passa na frente do buraco, sua altura é zero, então a energia potencial é zero, portanto, só possui energia cinética Ec fornecida por:

Ec = ½ mv 2

Como a energia é conservada Ep = Ec do que é obtido:

½ mv 2 = mgh

Limpando a velocidade e depois a fórmula Torricelli é obtida:

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Líquido saindo do buraco

A seguir, encontraremos a taxa de saída de líquido através do orifício, para mostrar que ela coincide com a que foi calculada para um objeto em queda livre.

Para isso, contaremos com o princípio de Bernoulli, que nada mais é do que a conservação de energia aplicada aos fluidos.

O princípio de Bernoulli é formulado da seguinte forma:

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A interpretação desta fórmula é a seguinte:

  • O primeiro termo representa a energia cinética do fluido por unidade de volume
  • O segundo representa o trabalho realizado pela pressão por unidade de área transversal
  • O terceiro representa a energia potencial gravitacional por unidade de volume de fluido.

Como partimos da premissa de que é um fluido ideal, em condições não turbulentas e com velocidades relativamente baixas, é pertinente afirmar que a energia mecânica por unidade de volume no fluido é constante em todas as regiões ou seções transversais do mesmo.

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Nesta fórmula, V é a velocidade do fluido, ρ a densidade do fluido, P a pressão e z a posição vertical.

A figura abaixo mostra a fórmula de Torricelli baseada no princípio de Bernoulli.

Aplicamos a fórmula de Bernoulli na superfície livre do líquido que denotamos por (1) e no orifício de saída que denotamos por (2). O nível de altura zero foi escolhido nivelado com o orifício de saída.

Sob a premissa de que a seção transversal em (1) é muito maior que em (2), podemos então assumir que a taxa de descida do líquido em (1) é praticamente desprezível.

É por isso que V 1 = 0 foi colocado , a pressão à qual o líquido é submetido (1) é a pressão atmosférica e a altura medida a partir do furo é h .

Para a seção de saída (2), assumimos que a velocidade de saída é v, a pressão na qual o líquido é submetido à saída também é a pressão atmosférica e a altura de saída é zero.

Os valores correspondentes às seções (1) e (2) na fórmula de Bernoulli são substituídos e equalizados. A igualdade é válida porque assumimos que o fluido é ideal e não há perdas devido ao atrito viscoso. Uma vez que todos os termos foram simplificados, a velocidade no orifício de saída é obtida.

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A caixa anterior mostra que o resultado obtido é o mesmo de um objeto que cai livremente,

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Exercícios resolvidos

Exercício 1

I ) O pequeno tubo de saída de um tanque de água fica 3 m abaixo da superfície da água. Calcule a velocidade de saída da água.

Solução:

A figura a seguir mostra como a fórmula de Torricelli se aplica a este caso.

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Exercício 2

II ) Supondo que o tubo de saída do tanque do exercício anterior tenha um diâmetro de 1 cm, calcule a vazão da água.

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Solução:

A taxa de fluxo é o volume de líquido que sai por unidade de tempo e é calculado simplesmente multiplicando a área do orifício de saída pela velocidade de saída.

A figura a seguir mostra os detalhes do cálculo.

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Exercício 3

III ) Determine qual a altura da superfície da água livre em um recipiente, se conhecida

que em um buraco no fundo do recipiente, a água sai a 10 m / s.

Solução:

Mesmo quando o furo está no fundo do recipiente, a fórmula de Torricelli ainda pode ser aplicada.

A figura a seguir mostra os detalhes dos cálculos.

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Referências

  1. Wikipedia Teorema de Torricelli.
  2. Hewitt, P. Ciência Física Conceitual . Quinta edição .119.
  3. Jovem, Hugh. 2016. Universidade Física de Sears-Zemansky com Física Moderna. 14th Ed. Pearson. 384

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