- Todo número inteiro pode ser escrito como fração, começando por n/1 e gerando infinitas frações equivalentes ao multiplicar numerador e denominador por um mesmo número.
- Frações equivalentes têm valores iguais, mesmo com numeradores e denominadores diferentes, e podem ser verificadas por simplificação ou multiplicação em cruz.
- Escrever inteiros como frações e usar equivalências é essencial para somar, subtrair, comparar e simplificar frações em problemas do dia a dia e de provas.
Entender frações equivalentes e a relação delas com números inteiros é uma daquelas habilidades que parecem simples, mas destravam um monte de conteúdos de matemática, desde operações básicas até porcentagem, razão, proporção e problemas de dia a dia, como dividir uma pizza ou comparar descontos. Quando falamos em “equivalente fracionário de um número inteiro”, estamos basicamente escrevendo esse inteiro na forma de fração, preservando exatamente o mesmo valor.
Neste guia completo em português, vamos juntar ideias de livros didáticos, materiais de ensino fundamental e sites especializados para explicar com calma o que é fração, o que são frações equivalentes, como escrever qualquer número inteiro como fração e como gerar várias frações equivalentes, inclusive verificando se duas ou mais frações representam o mesmo número. Tudo em linguagem simples, com exemplos práticos, truques de sala de aula e exercícios comentados.
O que é uma fração, afinal?
Uma fração é uma forma de representar partes iguais de um todo, ou seja, quando pegamos algo inteiro (uma pizza, um chocolate, um terreno) e dividimos em pedaços do mesmo tamanho. Se esse inteiro é dividido em 8 partes idênticas e você come 3 pedaços, a quantidade que você comeu pode ser escrita como a fração 3/8.
Cada fração é formada por dois números separados por um traço: o número de cima chama-se numerador e indica quantas partes foram tomadas; o número de baixo é o denominador e indica em quantas partes iguais o inteiro foi dividido. Assim, em 3/8 o numerador é 3 (três partes) e o denominador é 8 (o inteiro foi fatiado em oito pedaços iguais).
Também podemos interpretar a fração como uma divisão: a expressão a/b é outra maneira de escrever “a dividido por b”. Portanto, 3/8 significa “3 dividido por 8”, 9/3 significa “9 dividido por 3” e assim por diante. Essa visão como divisão é essencial para entender a ligação entre frações e números inteiros.
No conjunto dos números racionais, escrevemos justamente todos os números que podem ser expressos como quociente de dois inteiros, com denominador diferente de zero. Assim, números como 1/4, 2/3, 5/2, 7/7 e até 5 (que pode ser escrito como 5/1) fazem parte desse conjunto.
É importante não confundir número e numeral: o número é a quantidade em si, já o numeral é a forma como o número é escrito (por exemplo, veja a diferença entre uma fração comum e um número decimal como 0,5 e 1/2, que representam o mesmo número, mas são numerais diferentes).
Tipos principais de frações
Para trabalhar bem com equivalências, ajuda muito saber classificar os tipos de frações, pois isso torna mais intuitivo passar de uma fração para outra ou até para um número inteiro.
Fração própria é aquela em que o numerador é menor que o denominador, representando uma quantidade menor que 1 inteiro. Exemplos clássicos são 2/7, 3/5 ou 3/8. Nesses casos, estamos falando de “um pedaço” de algo que não chega a ser o todo.
Fração imprópria é a fração em que o numerador é maior que o denominador
Esse tipo de fração representa uma quantidade maior do que um inteiro, por exemplo, 5/3, 7/4 ou 9/2. Muitas vezes é possível reescrever uma fração imprópria como um número misto, isto é, com uma parte inteira e uma parte fracionária.
Fração aparente é a fração cujo numerador é múltiplo do denominador
Apesar de parecer uma fração qualquer, na prática ela equivale a um número inteiro. Por exemplo, 6/3 = 2, 15/5 = 3, 9/3 = 3, 0/8 = 0. Dizemos que são frações aparentes justamente porque “aparentam” ser frações, mas representam inteiros.
Fração mista é aquela em que aparece uma parte inteira seguida de uma parte fracionária
É a maneira de escrever frações impróprias de forma mais amigável. Por exemplo, 5/3 pode ser escrito como 1 2/3, e 17/4 pode ser escrito como 4 1/4, resultado da decomposição: 17/4 = 16/4 + 1/4 = 4 + 1/4.
Existem ainda várias outras classificações de frações que aparecem em materiais mais avançados, como frações equivalentes, irredutíveis, unitárias, egípcias, decimais, compostas, contínuas e algébricas. Entre todas, a noção de fração equivalente é central para ligar frações e números inteiros.
O que são frações equivalentes?
Frações equivalentes são frações diferentes na escrita, mas que representam exatamente a mesma quantidade. Em matemática, dizer que duas frações são equivalentes é o mesmo que dizer que elas são iguais como número, mesmo que tenham numeradores e denominadores diferentes.
Um exemplo clássico é comparar as quantidades de pizza em situações com cortes diferentes: se você corta uma pizza em 4 pedaços iguais e come 1 pedaço, comeu 1/4 da pizza. Se você pega outra pizza do mesmo tamanho, corta em 8 pedaços iguais e come 2 pedaços, comeu 2/8. Visualmente, a parte da pizza comida é a mesma, então 1/4 e 2/8 são frações equivalentes.
Essa equivalência aparece o tempo todo em contextos reais, como ao medir terrenos, repartir chocolates, dividir contas ou comparar descontos. Para cada fração, existe uma infinidade de frações equivalentes, pois podemos multiplicar ou dividir numerador e denominador pelo mesmo número natural não nulo.
Do ponto de vista simbólico, dizemos que duas frações a/b e c/d são equivalentes se a × d = b × c, isto é, se o produto em cruz for igual. Esse teste é muito usado para verificar se duas frações representam o mesmo número sem precisar desenhar figuras.
Outra forma de enxergar equivalência é via simplificação: se conseguimos simplificar duas frações e chegar à mesma fração irredutível, então elas são equivalentes. Por exemplo, 6/24, 12/48 e 1/4 são todas equivalentes, pois simplificando cada uma, obtemos sempre 1/4.
Como encontrar frações equivalentes a uma dada fração
Para gerar frações equivalentes a uma fração qualquer, basta multiplicar ou dividir o numerador e o denominador pelo mesmo número natural diferente de zero. Essa é a chamada propriedade fundamental das frações equivalentes.
Se tivermos a fração 1/5, por exemplo, podemos multiplicar numerador e denominador por 2 e obter 2/10, por 3 e obter 3/15, por 5 e obter 5/25, por 10 e obter 10/50, e assim por diante. Todas essas frações representam a mesma parte do inteiro, apenas com “pedaços” em quantidades diferentes.
Vamos listar algumas frações equivalentes a 1/5 multiplicando por vários naturais:
- 1/5 = 2/10 = 4/20 = 8/40 = 16/80, quando multiplicamos ambos os termos por 2, 4, 8 e 16;
- 1/5 = 3/15 = 9/45 = 27/135 = 81/405, quando multiplicamos por 3, 9, 27 e 81;
- 1/5 = 5/25 = 25/125 = 125/625 = 625/3125, quando multiplicamos por 5, 25, 125 e 625.
O mesmo raciocínio vale para outras frações, como 4/3. Multiplicando ambos os termos por 2, temos 8/6, por 3 obtemos 12/9, por 4 obtemos 16/12 e assim sucessivamente. Todas essas frações indicam a mesma quantidade maior que 1 inteiro.
Na prática escolar, esse procedimento é essencial para somar ou subtrair frações com denominadores diferentes, pois muitas vezes precisamos transformar duas ou mais frações em frações equivalentes que tenham o mesmo denominador antes de fazer a operação.
Também podemos ir no sentido contrário: dividir numerador e denominador por um mesmo número natural. Quando fazemos isso, estamos simplificando a fração e ainda assim mantemos o mesmo valor numérico, apenas com números menores e mais fáceis de manipular.
Como verificar se duas frações são equivalentes
Há dois jeitos bem comuns de conferir se duas frações são equivalentes: multiplicando cruzado ou simplificando as frações até que fiquem irredutíveis.
No método da multiplicação em cruz, comparamos a/b e c/d verificando se a × d é igual a b × c. Se os produtos derem o mesmo resultado, as duas frações são equivalentes. Por exemplo, para testar se 18/24 e 3/4 são equivalentes, calculamos 18 × 4 = 72 e 24 × 3 = 72. Como os produtos são iguais, as frações representam o mesmo número.
No método da simplificação, reduzimos ambas as frações dividindo numerador e denominador por fatores comuns, até não ser mais possível simplificar. Se o resultado final for a mesma fração em ambos os casos, elas são equivalentes. Por exemplo, 12/16 pode ser simplificada por 2, depois por 2 de novo e depois por 3, chegando a 3/4.
Esse tipo de análise é muito usado em exercícios de múltipla escolha em que se pede para identificar qual das alternativas não é fração equivalente a uma dada fração. Basta testar cada opção com um desses dois métodos.
Exemplo clássico: verificar qual opção não é equivalente a 13/8. Podemos, para cada fração candidata, dividir numerador e denominador por 13, se possível, ou multiplicar em cruz comparando com 13/8. Se uma das opções simplificar para 26/16, por exemplo, percebemos que 26/16 também é equivalente a 13/8, pois 26/16 dividido por 2 resulta em 13/8. Se alguma alternativa levar a uma fração diferente, ela é a que não é equivalente.
Frações equivalentes para inteiros e naturais
Agora chegamos ao ponto-chave: como encontrar o equivalente fracionário de um número inteiro. Todo número natural, como 1, 2, 3 ou 10, pode ser escrito como uma fração de inúmeras maneiras, desde que todas mantenham o mesmo valor.
Um jeito simples de enxergar isso é pensar na fração como uma divisão: quando escrevemos 9/3, 6/2 ou 15/5, podemos interpretar como 9 ÷ 3, 6 ÷ 2 e 15 ÷ 5. Em todos esses casos, o resultado da divisão é 3. Assim, 9/3 = 6/2 = 15/5 = 3. Todas essas frações são equivalentes entre si e também são equivalentes ao número natural 3.
De maneira geral, todo número inteiro n pode ser escrito como n/1. Essa é a forma fracionária mais direta de um inteiro, pois n ÷ 1 = n. Por exemplo, 5 = 5/1, 10 = 10/1, 0 = 0/1. A partir dessa forma básica, geramos outras frações equivalentes multiplicando numerador e denominador pelo mesmo número.
Por exemplo, para o inteiro 3, podemos escrever: 3 = 3/1 = 6/2 = 9/3 = 12/4 = 15/5 = 30/10, e assim por diante. Cada uma dessas frações, ao ser simplificada (dividindo numerador e denominador pelo mesmo número), retorna ao valor 3.
Esse raciocínio também funciona para o zero e para outros inteiros negativos (quando consideramos números inteiros em geral). Por exemplo, 0 pode ser representado como 0/3, 0/8 ou 0/100; todos esses quocientes valem zero, desde que o denominador não seja zero.
Passo a passo: como encontrar o equivalente fracionário de um número inteiro
Encontrar o equivalente fracionário de um número inteiro é um processo bem direto, usado o tempo todo em problemas com frações, porcentagem e equações. A ideia é transformar o inteiro em fração para poder aplicar as mesmas regras que já valem para números racionais.
O primeiro passo é sempre escrever o número inteiro n como n/1. Isso já garante que a fração representa exatamente aquele inteiro, pois dividir por 1 não altera o valor. Assim, se você tem o inteiro 4, basta escrever 4/1; se for 7, escreva 7/1.
Depois, se for necessário trabalhar com um denominador específico, multiplicamos numerador e denominador por um mesmo número natural. Por exemplo, se você precisa representar o número 3 como uma fração cujo denominador seja 5, basta pensar em 3 = 3/1 e multiplicar ambos os termos por 5: 3/1 × 5/5 = 15/5. Assim, 15/5 é a fração equivalente que representa o inteiro 3 com denominador 5.
Da mesma forma, se o exercício pede o equivalente fracionário de 2 com denominador 8, escrevemos 2/1 e multiplicamos por 8/8, obtendo 16/8. Em todos os casos, a proporção é mantida, e o valor do número não muda.
Essa técnica é muito útil em exercícios em que precisamos “subir de patamar” para denominadores maiores, como quando calculamos o mínimo múltiplo comum (MMC) para somar ou comparar frações, e também em problemas que relacionam inteiros com partes de um todo (por exemplo, “3 inteiros e mais 2/5 de inteiro”).
Exemplos práticos de equivalente fracionário de inteiros
Para fixar bem a ideia, vamos trabalhar alguns exemplos concretos envolvendo números inteiros e seus equivalentes fracionários, aproveitando para revisar o uso de múltiplos e divisões simples.
Exemplo 1: escrever 3 como fração de diferentes formas. Partimos de 3 = 3/1 e podemos criar várias frações equivalentes:
- 3/1 = 6/2, multiplicando numerador e denominador por 2;
- 3/1 = 9/3, multiplicando por 3;
- 3/1 = 12/4, multiplicando por 4;
- 3/1 = 21/7, multiplicando por 7.
Exemplo 2: representar o número 2 como fração com denominador 10. Começamos com 2/1 e multiplicamos por 10/10: 2/1 × 10/10 = 20/10. Assim, 20/10 é o equivalente fracionário de 2 com denominador 10, pois 20 ÷ 10 = 2.
Exemplo 3: relacionar frações como 9/3, 6/2 e 15/5 com o número inteiro 3. Interpretando cada fração como divisão, temos: 9 ÷ 3 = 3, 6 ÷ 2 = 3, 15 ÷ 5 = 3. Logo, todas essas frações são equivalentes entre si e equivalentes ao inteiro 3. Se quisermos, podemos escrever a classe de equivalência desse número como o conjunto de todas as frações que, ao serem simplificadas, resultam em 3/1.
Exemplo 4: construir frações equivalentes a 1 e ligadas a representações geométricas. Podemos representar 1 como 1 inteiro colorido, depois como 2/2, 4/4, 3/3, 5/5, 10/10, etc. Em figuras de barras ou pizzas, todas essas frações ainda representam o todo completamente tomado, apenas com subdivisões em mais partes.
Esses exemplos ajudam a perceber que, quando o numerador é múltiplo do denominador, o valor da fração é sempre um número inteiro. Nesses casos, estamos diante de frações aparentes, que são equivalentes a inteiros simples de manipular.
Frações equivalentes e comparação de quantidades
Frações equivalentes são fundamentais na hora de comparar quem comeu mais, quem ganhou mais desconto, ou qual fração representa a maior parte de um todo. Para comparar frações, muitas vezes precisamos transformá-las em frações equivalentes com o mesmo denominador.
Um exemplo famoso de livro didático envolve duas amigas, Ana e Vitória, comendo pizzas do mesmo tamanho cortadas de formas diferentes. A pizza de Ana foi dividida em 5 pedaços, e ela comeu 3, isto é, 3/5. A pizza de Vitória foi dividida em 6 pedaços, e ela comeu 4, isto é, 4/6. Para decidir quem comeu mais, podemos transformar essas frações em equivalentes com o mesmo denominador.
No caso, o denominador comum conveniente é 30. Para Ana, multiplicamos 3/5 por 6/6, obtendo 18/30. Para Vitória, multiplicamos 4/6 por 5/5, obtendo 20/30. Comparando 18/30 e 20/30, percebemos que 20/30 é maior, então Vitória comeu mais pizza.
Esse tipo de procedimento é o mesmo que usar o mínimo múltiplo comum (MMC) dos denominadores para obter um denominador comum e, assim, poder somar, subtrair ou comparar frações de forma consistente. Em essência, usamos frações equivalentes para falar a “mesma língua” nos denominadores.
Frações equivalentes e simplificação
Simplificar frações é escrever uma fração em uma forma mais simples, mas equivalente, ou seja, que representa o mesmo valor com números menores, tornando os cálculos mais práticos. Nosso objetivo, em geral, é chegar a uma fração irredutível, na qual numerador e denominador sejam primos entre si (ou seja, o máximo divisor comum entre eles seja 1).
Uma maneira de simplificar é a divisão sucessiva, dividindo numerador e denominador por fatores comuns até não ser mais possível: por exemplo, 36/60 pode ser simplificada por 2, resultando em 18/30; de novo por 2, resultando em 9/15; e por fim por 3, resultando em 3/5. Todas essas frações são equivalentes, e 3/5 é a forma irredutível.
Outra maneira é usar diretamente o máximo divisor comum (MDC) entre numerador e denominador. Se quisermos simplificar 54/72, calculamos MDC(54, 72) = 18 e dividimos numerador e denominador por 18: 54/72 = (54 ÷ 18)/(72 ÷ 18) = 3/4. Essa é uma forma mais rápida de chegar à fração irredutível.
Em muitos contextos, preferimos trabalhar com a fração mais simples possível como “representante” de toda a classe de equivalência. Por exemplo, em vez de listar 2/6, 3/9, 4/12, 5/15, 6/18, etc., que são todas equivalentes a 1/3, basta escolher a fração mais simples, 1/3, como representante daquela quantidade.
Quando o numerador é maior que o denominador, também podemos transformar a fração em número misto, o que muitas vezes facilita a interpretação. Por exemplo, 17/4 pode ser reescrito como 4 1/4, mostrando claramente que temos 4 inteiros e mais um quarto de inteiro.
Exercícios resolvidos com frações equivalentes
Para consolidar o entendimento, vale olhar alguns exercícios clássicos que aparecem em provas e materiais de estudo, envolvendo equivalência de frações, inteiros e operações básicas.
Exercício 1: dado que 3/7 é equivalente a uma fração com denominador 224, qual é o numerador? Sabemos que, para obter frações equivalentes, multiplicamos numerador e denominador pelo mesmo número. Dividimos 224 por 7 e achamos 32. Logo, multiplicamos o numerador 3 por 32: 3 × 32 = 96. A fração 96/224 é equivalente a 3/7, e o numerador buscado é 96.
Exercício 2: qual das frações a seguir não é equivalente a 13/8? Para resolver, podemos simplificar cada alternativa ou usar a multiplicação em cruz. Se, por exemplo, uma opção mostra 26/16, basta simplificar dividindo numerador e denominador por 2 para ver que 26/16 = 13/8, ou multiplicar em cruz com 13/8 e verificar se o produto é igual. A única alternativa na qual a equivalência falha (ou simplifica para outro número) é a resposta correta.
Exercício 3: comparar frações com mesmo numerador mas denominadores diferentes. Se tivermos 3/4 e 3/8, ambas têm numerador igual a 3, mas denominadores diferentes. Nesse caso, a fração com denominador menor é a maior, pois o inteiro foi dividido em menos pedaços e cada parte é maior. Logo, 3/4 > 3/8. Podemos verificar isso convertendo para o mesmo denominador: 3/4 = 6/8, que é maior que 3/8.
Esses exercícios reforçam o uso de equivalência tanto para passar de inteiros a frações quanto para comparar e operar com frações em geral, uma habilidade que reaparece em praticamente todos os conteúdos de matemática a partir do ensino fundamental.
Quando entendemos que escrever um número inteiro como fração e gerar frações equivalentes é apenas outra forma de enxergar o mesmo valor, todo o estudo envolvendo divisão em partes iguais, proporcionalidade, porcentagem e operações entre racionalidades fica mais leve e coerente, conectando inteiros e frações em uma mesma linguagem matemática.
