Como Fatorar Trinômios com Frações Passo a Passo

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Fatorar trinômios que envolvem frações parece, à primeira vista, um bicho de sete cabeças, mas na verdade é uma combinação de técnicas de fatoração de polinômios com o cuidado de manipular bem números fracionários. Quando você domina os métodos de fatoração clássicos (fator comum, agrupamento, quadrado perfeito, diferença de quadrados, etc.), passa a enxergar as frações apenas como coeficientes um pouco mais trabalhosos, mas nada de outro mundo.

Neste guia completo em português vamos revisar os principais tipos de fatoração de polinômios, mostrar como reconhecer cada caso e, principalmente, explicar como tudo isso se adapta quando aparecem frações algébricas ou coeficientes fracionários. A ideia é que você consiga olhar para um trinômio com frações e decidir com segurança qual técnica usar, sem depender de decoreba.

O que é fatoração e como isso ajuda nos trinômios com frações

Fatorar é escrever um número ou uma expressão algébrica como produto de fatores. Em linguagem mais simples, é transformar uma soma ou subtração em multiplicação. Quando falamos de polinômios, estamos lidando com expressões formadas por monômios, que são produtos de números (coeficientes) com letras (variáveis) elevadas a potências naturais.

Um polinômio nada mais é do que uma soma ou subtração de monômios. Por exemplo, 12x + 6y − 9z é um polinômio com três termos (um trinômio), em que 12, 6 e −9 são os coeficientes, e x, y, z são as variáveis. Quando escrevemos esse polinômio como produto de expressões mais simples, tornamos muitos cálculos mais fáceis, como simplificar frações algébricas ou resolver equações.

Ao fatorar trinômios com frações, o objetivo continua o mesmo: reescrever tudo como um produto. A diferença é que, em vez de lidar só com números inteiros, você terá coeficientes do tipo 1/2, −3/4, 5/6, e assim por diante. A técnica de fatoração é igual; o cuidado está em somar, subtrair, multiplicar e dividir frações corretamente.

De forma geral, a estratégia para trinômios com frações é: primeiro, tentar “limpar” os denominadores (multiplicando a expressão toda por um múltiplo comum) ou colocar fatores fracionários em evidência; depois, aplicar os métodos de fatoração conhecidos (quadrado perfeito, produtos notáveis, agrupamento, etc.).

Fator comum em evidência (inclusive com frações)

O método de fator comum em evidência é o mais básico de todos e aparece o tempo todo, inclusive quando temos frações. Ele é usado quando há um fator (numérico, literal ou ambos) que aparece em todos os termos do polinômio, permitindo colocá‑lo “para fora” entre parênteses.

O procedimento é simples: você identifica um número que divide todos os coeficientes e as letras que se repetem em todos os monômios. Esse produto (número e letras) é posto na frente dos parênteses. Dentro dos parênteses, ficam os resultados de dividir cada termo do polinômio pelo fator comum.

Um exemplo clássico com números inteiros é o trinômio 12x + 6y − 9z. Todos os coeficientes são múltiplos de 3, então 3 é fator comum numérico. Não há letra repetida em todos os termos, então o fator comum total é apenas 3. Dividindo cada termo por 3, temos 12x ÷ 3 = 4x, 6y ÷ 3 = 2y e −9z ÷ 3 = −3z. Assim, a fatoração fica 12x + 6y − 9z = 3(4x + 2y − 3z).

Quando não existe número comum a todos os coeficientes, mas há variáveis em comum, o fator será apenas literal. Pense em 2a²b + 3a³c − a⁴. Não há um número inteiro que divida simultaneamente 2, 3 e −1, então nenhum fator numérico é comum. Já a letra a aparece em todos os termos, com expoentes 2, 3 e 4. O menor expoente é 2, então o fator comum é a². Dividindo cada termo por a², reescrevemos o polinômio como a²(2b + 3ac − a²).

Com frações, a lógica é idêntica, só muda o cuidado com os denominadores. Se você tem, por exemplo, (1/2)x + (1/3)y − (1/6)z, o fator comum numérico é 1/6, pois 1/2 = 3/6, 1/3 = 2/6 e 1/6 já está na forma desejada. Fica assim: (1/2)x + (1/3)y − (1/6)z = (1/6)(3x + 2y − z). Perceba que o fator fracionário em evidência facilita bastante a expressão dentro dos parênteses.

Fatoração por agrupamento

Quando não há um único fator comum a todos os termos, uma saída muito útil é a fatoração por agrupamento. A ideia é “separar” o polinômio em blocos de termos que possuam um fator comum entre si, fatorar cada bloco e, depois, verificar se surge um novo fator comum entre os grupos.

Um exemplo típico é o polinômio mx + 3nx + my + 3ny. Separamos em dois grupos: (mx + 3nx) e (my + 3ny). No primeiro grupo, o fator comum é x, pois temos mx = x·m e 3nx = x·3n; já no segundo grupo, o fator comum é y, pois my = y·m e 3ny = y·3n. Fatorando cada grupo, obtemos x(m + 3n) + y(m + 3n).

Depois da primeira fatoração, reparamos que (m + 3n) aparece em ambos os termos, o que transforma esse binômio em um novo fator comum. Colocando-o em evidência, ficamos com (m + 3n)(x + y). O polinômio inicial foi reescrito como produto de dois fatores, simplificando muito a expressão.

Ao lidar com frações e agrupamento, o raciocínio é exatamente o mesmo, só que você precisa observar se algum denominador ou fator fracionário se repete nos grupos. Às vezes, vale a pena, antes de agrupar, transformar todos os termos para um denominador comum, o que evidencia possíveis fatores comuns e torna a fatoração por agrupamento muito mais clara.

Trinômio quadrado perfeito

Trinômios são polinômios com três termos, e entre eles existem alguns casos especiais chamados de trinômios quadrados perfeitos. Eles surgem de produtos notáveis do tipo (a + b)² e (a − b)², que resultam, respectivamente, em a² + 2ab + b² e a² − 2ab + b².

Quando um trinômio tem esse formato específico, sua fatoração fica extremamente simples, pois basta voltar ao produto notável de origem. Assim, se uma expressão é do tipo a² + 2ab + b², ela pode ser escrita como (a + b)²; se for do tipo a² − 2ab + b², a fatoração é (a − b)². Esse reconhecimento é muito útil ao fatorar trinômios com frações, já que abrigar frações nos coeficientes não muda a estrutura do produto notável.

Para confirmar se um trinômio é quadrado perfeito, o processo é prático: primeiro, calcule a raiz quadrada dos termos que aparecem ao quadrado; em seguida, multiplique essas raízes por 2; por fim, compare o resultado com o termo do meio (aquele que não está ao quadrado). Se ele bater certinho (com mesmo sinal), você está diante de um quadrado perfeito.

Veja um exemplo simples sem frações: x² + 6x + 9. As raízes quadradas dos termos extremos são √(x²) = x e √9 = 3. Multiplicando, 2·x·3 = 6x, que coincide exatamente com o termo do meio. Logo, o trinômio é quadrado perfeito e pode ser fatorado como (x + 3)².

Outro caso interessante é x² − 8xy + 9y². As raízes dos termos aos quadrados são √(x²) = x e √(9y²) = 3y. Multiplicando, obtemos 2·x·3y = 6xy, enquanto o termo do meio é −8xy. Como 6xy é diferente de −8xy (tanto em valor quanto em sinal), o trinômio não se encaixa na forma de quadrado perfeito, e não podemos usar essa técnica diretamente aqui.

Em trinômios com frações, o teste de quadrado perfeito é o mesmo, só que o termo do meio pode trazer coeficientes fracionários. Por exemplo, em x² + (3/2)x + (9/16), você calcula √(x²) = x e √(9/16) = 3/4, depois verifica se 2·x·(3/4) = (3/2)x. Como bate, o trinômio é quadrado perfeito e fica (x + 3/4)². Essa abordagem é muito poderosa em frações algébricas.

Diferença de dois quadrados

Outro caso clássico de fatoração é a diferença de dois quadrados, que surge quando o polinômio tem a forma a² − b². Esse tipo de expressão vem do produto notável (a + b)(a − b), cujo resultado é justamente a² − b².

A fatoração, nesse caso, é direta: basta identificar a e b como as raízes quadradas dos termos quadráticos e escrever o produto da soma pela diferença, isto é, a² − b² = (a + b)(a − b). A grande vantagem é que termos aparentemente simples podem esconder uma forma fatorada que facilita muito a resolução de equações ou simplificação de frações.

Considere, por exemplo, 9x² − 25. As raízes quadradas são √(9x²) = 3x e √25 = 5. Assim, a expressão se reescreve como (3x + 5)(3x − 5). Esse tipo de fatoração aparece bastante quando estamos simplificando frações algébricas que trazem expressões como 9x² − 25 no numerador ou no denominador.

Com frações, a estrutura não muda. Se você tiver algo como (1/4)x² − 9, note que (1/4)x² = (x/2)² e 9 = 3². Logo, (1/4)x² − 9 = (x/2)² − 3², o que se fatora como (x/2 + 3)(x/2 − 3). O segredo é sempre reconhecer os termos como quadrados perfeitos, mesmo que tragam frações.

Cubo perfeito e fatoração de potências de três termos

Além dos quadrados, também temos produtos notáveis envolvendo cubos, que originam polinômios chamados de cubos perfeitos. Os mais conhecidos são (a + b)³ e (a − b)³, que se expandem, respectivamente, em a³ + 3a²b + 3ab² + b³ e a³ − 3a²b + 3ab² − b³.

Quando o polinômio tem essa “cara”, sua fatoração se resume a voltar para (a + b)³ ou (a − b)³. Ou seja, se você enxerga a estrutura a³ + 3a²b + 3ab² + b³, sabe que pode escrever (a + b)³; se for a³ − 3a²b + 3ab² − b³, a fatoração vira (a − b)³. É uma espécie de “quadrado perfeito”, só que elevado ao cubo e com quatro termos, não três.

Para confirmar se um polinômio é cubo perfeito, começamos calculando as raízes cúbicas dos termos de maior grau (os termos ao cubo). Depois, verificamos se os demais termos batem com 3a²b e 3ab² (ou suas versões com sinais trocados). Se todos os coeficientes e variáveis encaixam direitinho, podemos garantir que se trata de um cubo perfeito.

Veja o exemplo x³ + 6x² + 12x + 8. As raízes cúbicas dos extremos são ³√(x³) = x e ³√8 = 2. Em seguida, checamos se 3·x²·2 = 6x² e 3·x·2² = 12x. Como os termos intermediários batem exatamente com esses valores, concluímos que o polinômio é um cubo perfeito, e sua fatoração é (x + 2)³.

Outro caso é a³ − 9a² + 27a − 27. As raízes cúbicas dos termos ao cubo são ³√(a³) = a e ³√(−27) = −3. Em seguida, calculamos 3·a²·(−3) = −9a² e 3·a·(−3)² = 27a, que coincidem com os termos intermediários. Assim, a expressão é um cubo perfeito e se reescreve como (a − 3)³.

Quando aparecem frações em cubos perfeitos, o raciocínio é igual. Se você tiver, por exemplo, (x/2)³ + 3(x/2)²(1/3) + 3(x/2)(1/3)² + (1/3)³, tudo pode ser visto como (x/2 + 1/3)³. Olhar diretamente para a forma (a + b)³, com a e b fracionários, ajuda muito em trinômios e polinômios com coeficientes racionais.

Fatoração aplicada a frações algébricas

Frações algébricas são frações em que o numerador, o denominador ou ambos são polinômios. Por exemplo, (x² + 6x + 9)/(x² − 9) é uma fração algébrica. Para simplificar esse tipo de expressão, a etapa chave é justamente fatorar os polinômios envolvidos.

Quando o numerador ou denominador é um trinômio, é muito comum que possamos aplicar alguma das técnicas vistas: fator comum, quadrado perfeito, diferença de quadrados ou até produtos notáveis de cubo. Depois de fatorar, cancelamos fatores comuns que aparecem tanto em cima quanto embaixo da fração, desde que não anulem o denominador.

Por exemplo, considere a fração (x² + 6x + 9)/(x² − 9). Sabemos que x² + 6x + 9 é um quadrado perfeito, pois resulta de (x + 3)². Já x² − 9 é uma diferença de quadrados, que se escreve como (x + 3)(x − 3). Logo, a fração fica (x + 3)² / e podemos cancelar um fator (x + 3), obtendo (x + 3)/(x − 3), desde que x ≠ −3, 3.

Em trinômios com frações nos coeficientes, a técnica geral é: identificar se há denominador comum, multiplicar para “limpar” as frações quando for conveniente e, em seguida, aplicar a fatoração como se estivéssemos lidando apenas com números inteiros. Outra opção é manter os coeficientes fracionários e tentar reconhecê‑los dentro dos padrões de quadrado perfeito ou de outros produtos notáveis.

Quando surgem denominadores nas variáveis, como em (x/2)² ou (3y/4)², vale lembrar que tudo isso pode ser visto como coeficientes fracionários multiplicando x² ou y². Assim, ao fatorar um trinômio que envolva termos desse tipo, é essencial tratar corretamente os quadrados das frações e manter o cuidado com a aritmética dos coeficientes.

Exercícios clássicos de fatoração de polinômios

Para consolidar os métodos de fatoração, é muito útil praticar com exercícios que envolvam apenas inteiros, porque o raciocínio será exatamente o mesmo quando você introduzir frações depois. Veja uma lista de polinômios com diferentes técnicas aplicáveis:

(a) 33x + 22y − 55z — aqui, o objetivo é encontrar o fator comum em evidência. Todos os três coeficientes são múltiplos de 11, então o fator comum numérico é 11. Fica 33x + 22y − 55z = 11(3x + 2y − 5z).

(b) 6nx − 6ny — neste caso, tanto 6n quanto x e y participam dos dois termos. Podemos colocar 6n em evidência, resultando em 6n(x − y), o que mostra como um binômio simples também pode se beneficiar da fatoração.

(c) 4x − 8c + mx − 2mc — este exemplo é típico de fatoração por agrupamento. Agrupando (4x + mx) e (−8c − 2mc), podemos evidenciar x no primeiro grupo e −2c no segundo, identificando um novo fator comum que permitirá completar a fatoração.

(d) 49 − a² — temos claramente uma diferença de quadrados, pois 49 = 7² e a² = (a)². A fatoração padrão é (7 + a)(7 − a), que ajuda muito na simplificação de frações quando esse termo aparece no numerador ou denominador.

(e) 9a² + 12a + 4 — esse trinômio pode ser analisado como possível quadrado perfeito. Observe que 9a² = (3a)² e 4 = 2²; se multiplicarmos 2·3a·2, obtemos 12a, que coincide exatamente com o termo do meio. Portanto, trata‑se de um trinômio quadrado perfeito, e a fatoração é (3a + 2)².

Esses exercícios cobrem, em conjunto, os principais tipos de fatoração que você precisa dominar na hora de encarar trinômios com frações. Uma vez que você esteja confortável com esses padrões usando apenas inteiros, adicionar coeficientes fracionários se torna um passo natural, e não um obstáculo.

Saber fatorar trinômíos com frações significa dominar os métodos de fatoração de polinômios (fator comum, agrupamento, quadrado perfeito, diferença de quadrados e cubo perfeito) e aplicá‑los com atenção redobrada às operações com frações. Ao enxergar frações apenas como coeficientes um pouco mais trabalhosos, todo o processo fica mais leve e lógico, permitindo simplificar frações algébricas, resolver equações e manipular expressões com muito mais segurança.