- A multiplicação de frações é feita multiplicando numeradores entre si e denominadores entre si, independentemente de terem ou não denominadores comuns.
- Frações mistas devem ser convertidas em frações impróprias antes da multiplicação, sempre respeitando o jogo de sinais dos números inteiros.
- A simplificação e o cancelamento de fatores em numeradores e denominadores tornam o cálculo mais rápido e levam a uma fração irredutível.
- Problemas práticos com razões, escalas e partes de um todo usam a multiplicação de frações como ferramenta central de resolução.
A multiplicação de frações costuma assustar muita gente à primeira vista, porque dá a sensação de que estamos fazendo conta com “números em cima e embaixo de um traço”, ou seja, algo mais complicado do que a multiplicação comum. Na prática, porém, o processo é bem direto: basta multiplicar os numeradores entre si e os denominadores entre si, tomando alguns cuidados com sinais e simplificação do resultado.
Aprender a multiplicar frações com denominadores comuns e diferentes é fundamental para se dar bem em matemática escolar, em problemas de proporção, escalas, porcentagens e até em situações do dia a dia. Neste guia bem completo e em linguagem simples, você vai ver passo a passo como funciona a multiplicação de frações, desde casos básicos até frações mistas, com muitas dicas para fazer as contas mais rápido e com menos erros.
Relembrando o que é uma fração e seus termos
Antes de falar de multiplicação, vale reforçar o significado de cada parte de uma fração, porque isso evita muita confusão. Uma fração é um número racional escrita na forma a/b, em que o número de cima é o numerador e o número de baixo é o denominador.
O numerador indica quantas partes estão sendo consideradas, enquanto o denominador mostra em quantas partes iguais o todo foi dividido. Se temos, por exemplo, 3/5, isso quer dizer que o inteiro foi dividido em 5 partes e estamos tomando 3 dessas partes.
É importante notar que diferentes frações podem representar a mesma quantidade, como 1/2 e 2/4, que são frações equivalentes. Essa ideia de frações equivalentes será essencial quando falarmos de simplificação e de métodos rápidos para multiplicar frações.
Regra geral da multiplicação de frações
A regra geral da multiplicação de frações é extremamente simples: para multiplicar duas frações, multiplicamos numerador com numerador e denominador com denominador. Isso vale tanto para frações com denominadores comuns quanto para denominadores diferentes, sem necessidade de fazer mínimo múltiplo comum ou qualquer outro ajuste.
Matematicamente, se a, b, c e d são números reais com b ≠ 0 e d ≠ 0, temos a relação geral da multiplicação de frações: (a/b) · (c/d) = (a·c) / (b·d). Em outras palavras, o produto fica com numerador igual ao produto dos numeradores e denominador igual ao produto dos denominadores.
Depois de aplicar essa regra básica, o passo seguinte é verificar se o resultado pode ser simplificado, ou seja, se numerador e denominador têm algum divisor comum maior do que 1. Quando não há mais como simplificar, dizemos que a fração está na forma irredutível, que costuma ser a forma preferida para apresentar a resposta final.
Multiplicação de frações com denominadores iguais
Quando as frações envolvidas na multiplicação têm o mesmo denominador, chamamos isso de multiplicação de frações com denominadores comuns. A boa notícia é que a regra não muda: ainda assim multiplicamos numeradores entre si e denominadores entre si, sem repetir denominador como acontece na soma e na subtração.
Muita gente confunde essa situação com adição ou subtração de frações, em que, de fato, quando os denominadores são iguais basta repetir o denominador e somar ou subtrair os numeradores. Na multiplicação, no entanto, mesmo que os denominadores sejam iguais, eles também entram na conta, ou seja, são multiplicados entre si.
Por exemplo, se quisermos multiplicar (2/5) · (3/5), o denominador comum é 5, mas fazemos: numerador 2 · 3 = 6 e denominador 5 · 5 = 25, obtendo 6/25. Note que não repetimos o denominador 5; nós o multiplicamos, mantendo a mesma regra geral.
Sempre que tivermos mais de duas frações com o mesmo denominador, continuamos aplicando a mesma lógica: multiplicar todos os numeradores entre si e todos os denominadores entre si. Ao final, verificamos se há simplificação possível para chegar à forma mais simples da fração resultante.
Multiplicação de frações com denominadores diferentes
Ao contrário da adição e subtração de frações, na multiplicação não precisamos igualar denominadores, o que torna esse tipo de conta bem mais rápido e direto. Frações como 3/4 e 1/8, mesmo com denominadores diferentes, podem ser multiplicadas imediatamente pela mesma regra geral.
Se fizermos 3/4 · 1/8, multiplicamos numeradores 3 · 1 = 3 e denominadores 4 · 8 = 32, resultando em 3/32. Como 3 e 32 não têm divisores comuns além de 1, essa fração já está em forma irredutível, não havendo mais o que simplificar.
Essa característica vale para qualquer quantidade de frações com denominadores diferentes: basta multiplicar todos os numeradores entre si e todos os denominadores entre si, sem se preocupar com mínimo múltiplo comum. Isso faz com que a multiplicação de frações seja, em muitos casos, mais simples que a soma, pois não exige preparação prévia.
É comum também que, ao multiplicar frações com denominadores diferentes, surja uma fração que possa ser simplificada por um fator comum presente no numerador e no denominador. Nesses casos, vale sempre conferir divisores como 2, 3, 5 e 10, entre outros, para ver se dá para reduzir a fração final.
Multiplicação de fração por número inteiro
Quando precisamos multiplicar uma fração por um número inteiro, podemos enxergar esse inteiro como uma fração cujo denominador é 1. Assim, 5 passa a ser 5/1, 7 vira 7/1 e assim por diante, permitindo aplicar a mesma regra geral de multiplicação de frações.
Na prática, existe um atalho que deixa tudo mais simples: ao multiplicar um número inteiro por uma fração, basta multiplicar o inteiro pelo numerador da fração e manter o denominador como está. Ou seja, se quisermos fazer 3 · (4/7), o resultado vira (3 · 4)/7 = 12/7.
Esse procedimento é totalmente equivalente a pensar em 3 como 3/1 e aplicar a fórmula: (3/1) · (4/7) = (3·4)/(1·7) = 12/7. A vantagem é que o cálculo fica mais rápido, já que nem precisamos escrever o denominador 1.
Depois de fazer a multiplicação do inteiro pela fração, é importante verificar se a fração obtida pode ser simplificada ou se representa um número maior que 1. Quando o numerador é maior que o denominador, temos uma fração imprópria, que às vezes também pode ser escrita como número misto, dependendo do contexto do exercício.
Multiplicação de frações mistas
Frações mistas são aquelas que combinam uma parte inteira com uma parte fracionária, como 2 1/3, 4 5/6, e assim por diante. Para multiplicar uma fração mista por outra fração (seja ela própria mista ou simples), o primeiro passo é sempre transformar a mista em fração imprópria.
Para converter uma fração mista em imprópria, multiplicamos a parte inteira pelo denominador da parte fracionária e somamos o numerador. O resultado dessa conta vira o novo numerador, enquanto o denominador permanece o mesmo. Assim, 2 1/3 vira (2·3 + 1)/3 = 7/3.
Depois de transformar todas as frações mistas envolvidas em frações impróprias, aplicamos a regra geral: multiplicar numeradores e multiplicar denominadores. Ao final, se for apropriado, é possível voltar a escrever o resultado como fração mista, dividindo o numerador pelo denominador e separando a parte inteira da fracionária.
Esse cuidado de primeiro converter para fração imprópria evita erros de interpretação, pois tentar multiplicar mistos diretamente, sem conversão, costuma gerar confusão entre parte inteira e parte fracionária. Seguir o procedimento em duas etapas deixa a conta mais organizada e segura.
Regra de sinais na multiplicação de frações
As frações carregam os mesmos sinais que os números inteiros, ou seja, podem ser positivas ou negativas. Por isso, na multiplicação de frações usamos exatamente o mesmo jogo de sinais da multiplicação de inteiros, sem nenhuma mudança especial.
Quando multiplicamos frações com sinais iguais (positivo com positivo, ou negativo com negativo), o resultado é sempre uma fração positiva. Por exemplo, (+2/3) · (+5/4) resulta em +10/12, que depois pode ser simplificada. Da mesma forma, (−2/3) · (−5/4) também produz +10/12, pois os sinais negativos se anulam.
Já quando os sinais são diferentes, ou seja, multiplicamos uma fração positiva por uma negativa, ou o contrário, o produto será negativo. Em um exemplo como (−3/7) · (4/5), o resultado é −12/35, pois o sinal negativo prevalece.
Uma boa prática é lidar primeiro com o sinal e depois com os valores absolutos: decide-se se a resposta será positiva ou negativa usando a regra de sinais, e só então se faz a multiplicação dos numeradores e denominadores. Isso ajuda a evitar erros de distração durante o cálculo.
Simplificação de frações após a multiplicação
Depois de multiplicar duas ou mais frações, quase sempre vale a pena verificar se a fração obtida pode ser simplificada. Simplificar significa dividir numerador e denominador por um mesmo número diferente de zero, reduzindo a fração a uma forma equivalente mais simples.
Por exemplo, se o resultado de uma multiplicação for 8/12, percebemos que ambos são pares e divisíveis por 4. Dividindo numerador e denominador por 4, obtemos 2/3, que é a fração irredutível associada a 8/12, isto é, não dá mais para simplificar por nenhum inteiro maior do que 1.
A simplificação acontece enquanto existir um divisor comum entre numerador e denominador, como 2, 3, 5, 7, e assim por diante. Quando esgotamos todos os divisores comuns e o máximo divisor comum deles é 1, dizemos que a fração é irredutível.
É importante entender que frações diferentes podem representar a mesma quantidade: 2/3 e 8/12, por exemplo, são equivalentes, embora escritas de formas distintas. Por isso, ao comparar resultados ou corrigir exercícios, professores costumam aceitar tanto a forma simplificada quanto a não simplificada, desde que se entenda que elas representam o mesmo número racional.
Multiplicar frações com agilidade: eliminação de fatores iguais
Uma técnica muito útil para agilizar a multiplicação de frações é a eliminação de fatores iguais que aparecem ao mesmo tempo em um numerador e em um denominador. Quando isso acontece, podemos “cortar” esse número, pois estamos, na prática, dividindo numerador e denominador por ele mesmo.
Pense na multiplicação 9/7 · 8/9: temos um 9 no numerador da primeira fração e um 9 no denominador da segunda. Como 9/9 = 1, podemos cancelá-los, substituindo ambos por 1. O produto então vira 1/7 · 8/1, que é igual a 8/7, bem mais fácil de enxergar.
Esse cancelamento não altera o valor final da multiplicação, apenas simplifica o caminho até o resultado. Na verdade, se fizéssemos a conta sem cancelar, teríamos (9·8)/(7·9) = 72/63, que depois precisaria ser simplificada dividindo numerador e denominador por 9, também chegando a 8/7.
Por isso, sempre que perceber o mesmo fator aparecendo “em cima e embaixo” ao longo da multiplicação, vale a pena cancelá-lo antes de efetuar a conta. Isso reduz o tamanho dos números nas operações e diminui a chance de erro, especialmente em cálculos feitos à mão.
Método do cancelamento e simplificação antecipada
Além de eliminar fatores iguais, podemos simplificar números que sejam múltiplos uns dos outros antes de fazer a multiplicação completa. Essa técnica é conhecida como método do cancelamento, e é um dos segredos para multiplicar frações rapidamente.
Funciona assim: se um número no numerador e outro no denominador têm um divisor comum, dividimos ambos por esse divisor, reduzindo os valores antes de efetivamente multiplicar. Isso é o mesmo que simplificar a fração final, só que feito de forma antecipada, enquanto as frações ainda estão “separadas”.
Imagine uma multiplicação em que apareçam os números 3 e 12, um em um numerador e o outro em um denominador. Sabemos que ambos são divisíveis por 3, então podemos trocar 3 por 1 e 12 por 4, dividindo-os por 3. Com isso, os produtos ficam menores e as contas ficam muito mais tranquilas.
O método do cancelamento também pode ser combinado com o corte de fatores iguais como o 5 em 5/… e …/5, o que ajuda bastante em multiplicações com muitos termos. No final, o valor encontrado é exatamente o mesmo que seria obtido sem cancelamento, porém alcançado de um jeito bem mais econômico em termos de esforço de cálculo.
Dicas práticas para multiplicar frações mais rápido
Existem alguns truques que tornam a multiplicação de frações ainda mais rápida e organizada, especialmente para quem está começando a estudar o assunto. Um deles é sempre verificar se é possível simplificar antes de multiplicar, usando o método do cancelamento para reduzir os números logo de cara.
Outra dica é manter os cálculos bem alinhados no papel, escrevendo todos os numeradores numa fila e todos os denominadores em outra, de forma que os cancelamentos ocorram de maneira visualmente clara. Isso reduz a chance de esquecer algum fator ou de se confundir ao multiplicar.
Também ajuda ter em mente os divisores mais comuns (2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, etc.), que aparecem com frequência em exercícios escolares. Reconhecer rapidamente se dois números são múltiplos de um mesmo inteiro deixa o processo de simplificação muito mais natural.
Por fim, praticar com diversos tipos de exercícios — envolvendo números inteiros, frações mistas, sinais positivos e negativos, problemas de contexto real, escalas de mapas e razões — é a melhor forma de ganhar segurança. Com o tempo, os passos da multiplicação de frações se tornam automáticos, e você passa a prestar mais atenção no enunciado do problema do que na conta em si.
Exercícios típicos que envolvem multiplicação de frações
Muitos problemas de matemática utilizam a multiplicação de frações de forma contextualizada, explorando situações do dia a dia em que lidamos com partes de um todo. Um exemplo comum são questões em que uma fração de uma quantidade já fracionária precisa ser calculada, exigindo que multipliquemos frações; veja tipos, exemplos e exercícios resolvidos.
Imagine uma situação em que se pede o produto entre duas razões, como “a razão entre x e 4 e a razão entre 5 e 2”, e informa-se que esse produto é igual a 30. Nesse caso, escrevemos as razões em forma de fração, multiplicamos e igualamos a 30, o que gera uma equação fracionária para determinar o valor de x.
Outro tipo de exercício frequente usa contextos práticos, como organização de objetos ou uso de marcas específicas. Se uma pessoa possui 12 esmaltes e se diz que 2/3 deles são de uma mesma marca, multiplicamos 12 por 2/3 para descobrir quantos esmaltes daquela marca ela tem, obtendo o resultado por meio da multiplicação de inteiro por fração.
Mapas e escalas também são temas clássicos: se a escala indica que 1 cm representa 5 km, e a distância entre duas cidades no mapa é de 12 cm, multiplicamos 12 por 5 para obter a distância real em quilômetros. A interpretação dessa situação envolve a ideia de razão e proporcionalidade, na qual a multiplicação desempenha papel central.
Quando juntamos todas essas ideias — regra geral, jogo de sinais, frações mistas, simplificação e cancelamento — percebemos que a multiplicação de frações, inclusive com denominadores comuns, é bem menos misteriosa do que parece à primeira vista. Dominar essas técnicas permite resolver com segurança desde contas diretas até problemas mais elaborados com razões, escalas e porcentagens, tornando o estudo dos números racionais muito mais leve e prático.