Constante de Boltzmann: história, equações, cálculo, exercícios

A constante de Boltzmann é o valor que relaciona a energia cinética média de um sistema termodinâmico ou de um objecto com a temperatura absoluta da mesma. Embora muitas vezes sejam confusas, temperatura e energia não são o mesmo conceito.

A temperatura é uma medida de energia, mas não a própria energia. Com a constante de Boltzmann, ela é vinculada entre si da seguinte maneira:

E c = (3/2) k B T

Constante de Boltzmann: história, equações, cálculo, exercícios 1

Lápide de Boltzmann em Viena. Fonte: Daderot na Wikipedia em inglês [CC BY-SA 3.0 (http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/)]

Esta equação é válida para uma molécula monoatômica ideal de gás de massa m , onde E c é sua energia cinética dada em Joules, k B é a constante de Boltzmann e T é a temperatura absoluta em Kelvin.

Dessa maneira, quando a temperatura aumenta, a energia cinética média por molécula de substância também aumenta, como esperado. E o contrário acontece quando a temperatura diminui, podendo chegar ao ponto em que, se todo o movimento cessar, é atingida a temperatura mais baixa possível ou o zero absoluto.

Ao falar sobre energia cinética média, é necessário lembrar que a energia cinética está associada ao movimento. E as partículas podem se mover de várias maneiras, por exemplo, se movendo, girando ou vibrando. Obviamente, nem todos o farão da mesma maneira e, como são incontáveis, a média é usada para caracterizar o sistema.

Alguns estados de energia são mais prováveis ​​que outros. Este conceito é de extrema importância na termodinâmica. A energia considerada na equação anterior é a energia cinética da tradução. A probabilidade dos estados e sua relação com a constante de Boltzmann serão discutidas um pouco mais tarde.

Em 2018 ele redefinido Kelvin e com ela a constante de Boltzmann, que no Sistema Internacional é cerca de 1,380649 x 10 -23 J K -1 . É possível obter muito mais precisão para a constante de Boltzmann, que foi determinada em vários laboratórios ao redor do mundo, por diferentes métodos.

História

A famosa constante deve seu nome ao físico Ludwig Boltzmann (1844-1906), nascido em Viena, que dedicou sua vida como cientista ao estudo do comportamento estatístico de sistemas com muitas partículas, do ponto de vista da mecânica newtoniana.

Embora hoje em dia a existência do átomo seja universalmente aceita, no século 19 a crença sobre se o átomo realmente existia ou era um artifício com o qual muitos fenômenos físicos foram explicados estava em pleno debate.

Boltzmann era um forte defensor da existência do átomo e, na época, enfrentou duras críticas ao seu trabalho por muitos colegas, que consideravam que estes continham paradoxos insolúveis.

Ele declarou que fenômenos observáveis ​​em níveis macroscópicos poderiam ser explicados pelas propriedades estatísticas de partículas constituintes, como átomos e moléculas.

Talvez essas críticas se devam ao profundo episódio de depressão que o levou a tirar a própria vida no início de setembro de 1906, quando ainda tinha muito o que fazer, porque era considerado um dos grandes físicos teóricos de sua época e havia muito pouco a restar. que outros cientistas contribuem para corroborar a veracidade de suas teorias.

Não demorou muito para sua morte, quando novas descobertas sobre a natureza do átomo e suas partículas constituintes foram adicionadas para provar que Boltzmann estava certo.

A constante de Boltzmann e o trabalho de Planck

Agora, a constante de Boltzmann k B foi introduzido como conhecido hoje algum tempo após o trabalho do físico austríaco. Foi Max Planck, em sua lei sobre a emissão do corpo negro, um trabalho que ele apresentou em 1901, que na época lhe deu o valor de 1,34 x 10-23 J / K.

Em 1933, uma placa com a definição de entropia envolvendo a famosa constante foi adicionada à lápide de Boltzmann em Viena como um tributo póstumo: S = k B log W , uma equação que será discutida mais adiante.

Hoje, a constante de Boltzmann é indispensável na aplicação das leis da termodinâmica, da mecânica estatística e da teoria da informação, campos em que esse físico com final triste foi pioneiro.

Valor e equações

Os gases podem ser descritos em termos macroscópicos e também em termos microscópicos. Para a primeira descrição, existem conceitos como densidade, temperatura e pressão.

No entanto, deve-se lembrar que um gás é composto de muitas partículas, que têm uma tendência global a um determinado comportamento. É essa tendência que é medida macroscopicamente. Uma maneira de determinar a constante de Boltzmann é graças à bem conhecida equação de gás ideal:

pV = n. R. T

Aqui p é a pressão do gás, V é o seu volume, n é o número de mols presentes, R é a constante do gás e T é a temperatura. Em uma mola de gás ideal, a seguinte relação entre o produto pV é alcançada e a energia cinética da tradução K de todo o conjunto é:

pV = (2/3). K

Portanto, a energia cinética é:

K = (3/2) nRT

Ao dividir pelo número total de moléculas presentes, que será chamado N, é obtida a energia cinética média de uma única partícula:

E c = K / N

E c = (3 / 2N) nRT

Em uma toupeira, há o número Avogadro de partículas N A e, portanto, o número total de partículas é N = nN A, deixando:

E c = (3 / 2nN A ) nRT

Precisamente a razão R / N A é a constante de Boltzmann, demonstrando assim que a energia cinética translacional média de uma partícula depende apenas da temperatura absoluta T e não de outras quantidades, como pressão, volume ou mesmo o tipo de molécula:

E c = (3/2) k B. T

Constante e entropia de Boltzmann

Um gás tem uma determinada temperatura, mas essa temperatura pode corresponder a diferentes estados internos de energia. Como visualizar essa diferença?

Considere o lançamento simultâneo de 4 moedas e as maneiras pelas quais elas podem cair:

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Maneiras pelas quais 4 moedas podem cair 4. Fonte: elaboração própria

O conjunto de moedas pode assumir um total de 5 estados, considerados macroscópicos , descritos na figura. Qual desses estados o leitor diria ser o mais provável?

A resposta deve ser o estado de 2 faces e 2 cruzamentos, porque possui um total de 6 possibilidades, das 16 ilustradas na figura. E 2 4 = 16. Estes são equivalentes a estados microscópicos .

E se 20 moedas forem jogadas em vez de 4? Haveria um total de 2 20 possibilidades ou “estados microscópicos”. É um número muito maior e mais difícil de manusear. Para facilitar o tratamento de grandes números, os logaritmos são muito apropriados.

Agora, o que parece óbvio é que o estado com o maior distúrbio é o mais provável. Os estados mais ordenados, como 4 faces ou 4 carimbos, são um pouco menos prováveis.

A entropia de um estado macroscópico S é definida como:

S = k B ln w

Onde w é o número de possíveis estados microscópicos do sistema e k B é a constante de Boltzmann. Como ln w é adimensional, a entropia tem as mesmas unidades que k B : Joule / K.

Esta é a famosa equação na lápide de Boltzmann em Viena. No entanto, mais do que entropia, o importante é a mudança:

ΔS = k B ln w 2 – k B ln w 1 = k B ln (w 2 / w 1 )

Como é calculado o k B ?

O valor da constante de Boltzmann é obtido experimentalmente de maneira muito precisa, com medições baseadas em termometria acústica , que são realizadas utilizando a propriedade que estabelece a dependência da velocidade do som em um gás com sua temperatura.

Com efeito, a velocidade do som em um gás é dada por:

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Adiabático B = γp

E ρ é a densidade do gás. Para a equação anterior, p é a pressão do gás em questão e γ é o coeficiente adiabático, cujo valor para um determinado gás é encontrado nas tabelas.

Os institutos de metrologia também experimentam outras maneiras de medir a constante, como a Johnson Noise Thermometry, que usa flutuações térmicas que ocorrem aleatoriamente em materiais, principalmente em condutores.

Exercícios resolvidos

-Exercício 1

Localizar:

a) A energia cinética média de translação E c que possui uma molécula de gás ideal a 25 ° C

b) A energia cinética da tradução K das moléculas em 1 mol deste gás

c) A velocidade média de uma molécula de oxigênio a 25 ° C

Dados

m oxigênio = 16 x 10 -3 kg / mol

Solução

a) E c = (3/2) k T = 1,5 x 1,380649 x 10 -23 J. K -1 x 298 K = 6,2 x 10 -21 J

b) K = (3/2) nRT = 5 x 1 mol x 8,314 J / mol .K x 298 K = 3716 J

c) E c = ½ mv 2 , considerando que a molécula de oxigênio é diatômica e a massa molar deve ser multiplicada por 2, ela terá:

Constante de Boltzmann: história, equações, cálculo, exercícios 4

Encontre a alteração da entropia quando 1 mole de gás que ocupa um volume de 0,5 m 3 se expande para ocupar 1 m 3 .

Solução

ΔS = k B ln (w 2 / w 1 )

w 2 = 2 N w 1 (Havia 2 4 estados microscópicos para o lançamento das 4 moedas, lembra-se?)

Onde N é o número de partículas presentes em 0,5 mol de gás 0,5 x N A :

ΔS = k B ln (2 N w 1 / w 1 ) = k B ln 2 N = k B 0,5N A ln 2 = 2,88 J / K

Referências

  1. Atkins, P. 1999. Physical Chemistry. Edições Omega. 13-47.
  2. Bauer, W. 2011. Física para Engenharia e Ciência. Volume 1. Mc Graw Hill. 664-672.
  3. Giancoli, D. 2006. Física: Princípios com Aplicações. 6 th .. Ed Prentice Hall. 443-444.
  4. Sears, Zemansky. 2016. Física Universitária com Física Moderna. 14 th . Ed. Volume 1. 647-673.
  5. Sim redefinição. Kelvin: Boltzmann Constant. Recuperado de: nist.gov

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