Derivados Sucessivos (com Exercícios Resolvidos)

Os derivados sucessivas são os derivados de uma função após a segunda derivada. O processo para calcular derivadas sucessivas é o seguinte: existe uma função f, que podemos derivar e, assim, obter a função derivada f ‘. À referida derivada de f, podemos derivá-la novamente, obtendo (f ‘)’.

Essa nova função é chamada de segunda derivada; todos os derivativos calculados a partir do segundo são sucessivos; Estes, também chamados de ordem superior, têm ótimas aplicações, como fornecer informações sobre o gráfico do gráfico de uma função, o teste da segunda derivada para extremos relativos e a determinação de séries infinitas.

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Definição de

Usando a notação de Leibniz, temos que a derivada de uma função “y” em relação a “x” é dy / dx. Para expressar a segunda derivada de “e” usando a notação de Leibniz, escrevemos da seguinte maneira:

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Em geral, podemos expressar derivadas sucessivas da seguinte forma com a notação de Leibniz, em que n representa a ordem da derivada.

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Outras notações usadas são as seguintes:

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Alguns exemplos em que podemos ver as diferentes notações são:

Exemplo 1

Obtenha todas as derivadas da função f definidas por:

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Usando as técnicas usuais de derivação, temos que a derivada de f é:

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Repetindo o processo, podemos obter a segunda derivada, a terceira derivada e assim por diante.

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Observe que a quarta derivada é zero e a derivada de zero é zero, então temos que:

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Exemplo 2

Calcule a quarta derivada da seguinte função:

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Derivando a função fornecida, temos como resultado:

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Velocidade e aceleração

Uma das motivações que levaram à descoberta da derivada foi a busca pela definição de velocidade instantânea. A definição formal é a seguinte:

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Seja y = f (t) uma função cujo gráfico descreve a trajetória de uma partícula em um instante t , então sua velocidade em um instante t é dada por:

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Uma vez que a velocidade de uma partícula é obtida, podemos calcular a aceleração instantânea, definida da seguinte forma:

A aceleração instantânea de uma partícula cuja trajetória é dada por y = f (t) é:

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Exemplo 1

Uma partícula se move em uma linha de acordo com a função de posição:

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Onde “y” é medido em metros e “t” em segundos.

– Em que momento é a velocidade 0?

– Em que momento é a aceleração 0?

Ao derivar a função de posição «e», temos que sua velocidade e aceleração são dadas respectivamente por:

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Para responder à primeira pergunta, basta determinar quando a função v é zerada; isto é:

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Prosseguimos com a seguinte pergunta analogamente:

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Exemplo 2

Uma partícula se move em uma linha de acordo com a seguinte equação de movimento:

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Determine “t, y” e “v” quando a = 0.

Sabendo que velocidade e aceleração são dadas por

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Procuramos obter e obter:

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Fazendo a = 0, temos:

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De onde podemos deduzir que o valor de t igual a zero é t = 1.

Então, avaliando em t = 1 a função de posição e a função de velocidade, temos que:

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Aplicações

Derivação explícita

Derivadas sucessivas também podem ser obtidas por derivação implícita.

Exemplo

Dada a seguinte elipse, encontre «e»:

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Derivando implicitamente em relação a ax, temos:

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Então, derivar implicitamente em relação ao machado, nos dá:

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Finalmente, temos:

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Extremidades relativas

Outro uso que podemos dar às derivadas de segunda ordem é no cálculo dos fins relativos de uma função.

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O critério da primeira derivada para extremos locais nos diz que, se tivermos uma função contínua f em um intervalo (a, b) e houver um c que pertença a esse intervalo, que será anulado em c (ou seja, c é um ponto crítico), um desses três casos pode ocorrer:

– Se f ‘(x)> 0 para qualquer x pertencente a (a, c) ef’ (x) <0 para x pertencente a (c, b), então f (c) é um máximo local.

– Se f ‘(x) <0 para qualquer x pertencente a (a, c) ef’ (x)> 0 para x pertencente a (c, b), então f (c) é um mínimo local.

– Se f´ (x) tem o mesmo sinal em (a, c) e em (c, b), isso implica que f (c) não é um fim local.

Usando o critério da segunda derivada, podemos saber se um número crítico de uma função é um máximo ou mínimo local, sem ter que ver qual é o sinal da função nos intervalos mencionados acima.

O segundo critério de deriva nos diz que se f´ (c) = 0 e que f´´ (x) é contínuo em (a, b), acontece que se f´´ (c)> 0 então f (c) é um mínimo local e se f´´ (c) <0, então f (c) é um máximo local.

Se f´´ (c) = 0, não podemos concluir nada.

Exemplo

Dada a função f (x) = x 4 + (4/3) x 3 – 4x 2 , encontre os máximos e mínimos relativos de f aplicando os critérios da segunda derivada.

Primeiro calculamos f´ (x) ef´´ (x) e temos:

f´ (x) = 4x 3 + 4x 2 – 8x

f´´ (x) = 12x 2 + 8x – 8

Agora, f´ (x) = 0 se, e somente se 4x (x + 2) (x – 1) = 0, e isso ocorre quando x = 0, x = 1 ox = – 2.

Para determinar se os números críticos obtidos são extremos relativos, basta avaliar em f´´ e assim observar seu sinal.

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f´´ (0) = – 8, então f (0) é um máximo local.

f´´ (1) = 12, então f (1) é um mínimo local.

f´´ (- 2) = 24, então f (- 2) é um mínimo local.

Taylor series

Seja f uma função definida da seguinte forma:

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Esta função possui um raio de convergência R> 0 e possui derivadas de todas as ordens em (-R, R). Derivadas sucessivas de f nos fornecem:

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Tomando x = 0, podemos obter os valores de c n com base em suas derivadas da seguinte maneira:

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Se tomarmos um = 0 como a função f (ou seja, f ^ 0 = f), podemos reescrever a função da seguinte maneira:

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Agora considere a função como uma série de potências em x = a:

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Se realizarmos uma análise análoga à anterior, devemos escrever a função f como:

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Essas séries são conhecidas como séries de Taylor de f em a. Quando a = 0, temos o caso específico chamado série Maclaurin. Esse tipo de série é de grande importância matemática, especialmente na análise numérica, pois, graças a isso, podemos definir funções em computadores como e x , sen (x) e cos (x).

Exemplo

Obtenha a série Maclaurin para e x .

Observe que se f (x) = e x , então f (n) (x) = e x ef (n) (0) = 1, então sua série Maclaurin é:

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Referências

  1. Frank Ayres, J. & Mendelson, E. (sf). Cálculo 5ed. Mc Graw Hill
  2. Leithold, L. (1992). O CÁLCULO com Geometria Analítica. HARLA, SA
  3. Purcell, EJ, Varberg, D. & Rigdon, SE (2007). Cálculo México: Pearson Education.
  4. Saenz, J. (2005). Cálculo diferencial. Hipotenusa
  5. Saenz, J. (sf). Cálculo integral. Hipotenusa

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