Componentes retangulares de um vetor (com exercícios)

Os componentes retangulares de um vetor são os dados que compõem esse vetor. Para determiná-los, é necessário ter um sistema de coordenadas, que geralmente é o plano cartesiano.

Depois de ter um vetor em um sistema de coordenadas, seus componentes podem ser calculados. Estes são 2, um componente horizontal (paralelo ao eixo X), chamado “componente no eixo X”, e um componente vertical (paralelo ao eixo Y), chamado “componente no eixo Y”.

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Representação gráfica dos componentes retangulares de um vetor

Para determinar os componentes, é necessário conhecer certos dados vetoriais, como sua magnitude e o ângulo que isso forma com o eixo X.

Como determinar os componentes retangulares de um vetor?

Para determinar esses componentes, certas relações entre triângulos retos e funções trigonométricas devem ser conhecidas.

Na imagem a seguir, você pode ver esse relacionamento.

Componentes retangulares de um vetor (com exercícios) 2

Relações entre triângulos retos e funções trigonométricas

O seno de um ângulo é igual à razão entre a medida da perna oposta ao ângulo e a medida da hipotenusa.

Por outro lado, o cosseno de um ângulo é igual à razão entre a medida da perna adjacente ao ângulo e a medida da hipotenusa.

A tangente de um ângulo é igual à razão entre a medida da perna oposta e a medida da perna adjacente.

Em todas essas relações é necessário estabelecer o triângulo retângulo correspondente.

Existem outros métodos?

Sim Dependendo dos dados fornecidos, a maneira de calcular os componentes retangulares de um vetor pode variar. Outra ferramenta amplamente utilizada é o Teorema de Pitágoras.

Exercícios

Nos exercícios a seguir, a definição dos componentes retangulares de um vetor e os relacionamentos descritos acima são colocados em prática.

Primeiro exercício

Sabe-se que um vetor A tem magnitude igual a 12 e o ângulo que ele forma com o eixo X tem uma medida de 30 °. Determine os componentes retangulares do referido vetor A.

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Componentes retangulares de um vetor (com exercícios) 3

Solução

Se a imagem for apreciada e as fórmulas descritas acima forem usadas, pode-se concluir que o componente no eixo Y do vetor A é igual a

sen (30 °) = Vy / 12 e, portanto, Vy = 12 * (1/2) = 6.

Por outro lado, o componente no eixo X do vetor A deve ser igual a

cos (30 °) = Vx / 12 e, portanto, Vx = 12 * (√3 / 2) = 6√3.

2º exercício

Se o vetor A tiver uma magnitude igual a 5 e o componente no eixo X for igual a 4, determine o valor do componente de A no eixo y.

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Solução

Usando o Teorema de Pitágoras, é possível afirmar que a magnitude do vetor A ao quadrado é igual à soma dos quadrados dos dois componentes retangulares. Ou seja, M² = (Vx) ² + (Vy) ².

Substituindo os valores fornecidos, você deve

5² = (4) ² + (Vy) ², portanto, 25 = 16 + (Vy) ².

Isso implica que (Vy) ² = 9 e consequentemente Vy = 3.

Terceiro exercício

Se o vetor A tiver uma magnitude igual a 4 e isso formar um ângulo de 45 ° com o eixo X, determine os componentes retangulares do referido vetor.

Componentes retangulares de um vetor (com exercícios) 5

Solução

Usando as relações entre um triângulo retângulo e funções trigonométricas, pode-se concluir que o componente no eixo Y do vetor A é igual a

sen (45 °) = Vy / 4 e, portanto, Vy = 4 * (√2 / 2) = 2√2.

Por outro lado, o componente no eixo X do vetor A deve ser igual a

cos (45 °) = Vx / 4 e, portanto, Vx = 4 * (√2 / 2) = 2√2.

Referências

  1. Landaverde, FD (1997). Geometria (Reimpressão ed.). Progresso
  2. Leake, D. (2006). Triângulos (ilustração ilustrada). Heinemann-Raintree.
  3. Pérez, CD (2006). Pré-cálculo Pearson Education.
  4. Ruiz, Á .; Barrantes, H. (2006). Geometrias Tecnologia CR.
  5. Sullivan, M. (1997). Pré-cálculo Pearson Education.
  6. Sullivan, M. (1997). Trigonometria e Geometria Analítica. Pearson Education.

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