Números perfeitos: como identificá-los e exemplos

Números perfeitos: como identificá-los e exemplos

Um número perfeito  é um número natural tal que a soma de seus divisores é igual ao número. Obviamente, o número em si não pode ser incluído entre os divisores.

Um dos exemplos mais simples de um número perfeito é 6, pois seus divisores são: 1, 2 e 3. Se somarmos os divisores, obtemos: 1 + 2 + 3 = 6.

A soma dos divisores de um número inteiro, sem incluir o número em si, é chamada de alíquota . Portanto, um número perfeito é igual à sua alíquota.

Mas se o número em si for incluído na soma dos divisores de um número, um número perfeito será que a soma de todos os seus divisores divididos por 2 é igual ao número em si.

História

Os matemáticos antigos, particularmente os gregos, atribuíam grande importância a números perfeitos e atribuíam qualidades divinas a eles .

Por exemplo, Philo de Alexandria, por volta do século I, afirmou que 6 e 28 são números perfeitos que coincidem com os seis dias da criação do mundo e os vinte e oito dias necessários para a Lua percorrer a Terra.

Números perfeitos também estão presentes na natureza, por exemplo, no pólo norte de Saturno , também existe o número 6, um vórtice em forma de hexágono encontrado pela sonda Cassini e que intriga os cientistas. 

Os favos das abelhas possuem células em formato hexagonal, ou seja, com 6 lados. Foi demonstrado que o polígono com o número perfeito 6 é aquele que permite maximizar o número de células na colméia, com o mínimo de cera para sua elaboração.

Propriedades de números perfeitos

A soma de todos os divisores de um número natural n é denotada por σ (n). Em um número perfeito, é verdade que: σ (n) = 2n.

Fórmula e critérios de Euclides

Euclides descobriu uma fórmula e um critério que nos permite encontrar os números perfeitos. Esta fórmula é:

2 (n-1) (2 n-  1)

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No entanto, o número gerado pela fórmula será perfeito somente quando o fator (2 n -1) for primo.

Vamos ver como os primeiros números perfeitos são gerados:

Se n = 2, temos 2 1 (2 2 – 1) = 2 x 3 = 6 que já vimos ser perfeitos.

Quando n = 3, temos 2 2 (2 3 – 1) = 4 x 7 = 28, o que também é perfeito, conforme verificado em detalhes no Exemplo 1.

Vamos ver o que acontece com n = 4. Ao substituir na fórmula de Euclides, ficamos com:

2 3 (2 4 – 1) = 8 x 15 = 120

Pode-se verificar que esse número não é perfeito, como mostrado em detalhes no Exemplo 3. Isso não contradiz o critério de Euclides, já que 15 não é primo, um requisito necessário para que o resultado seja um número perfeito.

Vamos agora ver o que acontece quando n = 5. Aplicando a fórmula, temos:

2 4 (2 5 – 1) = 16 x 31 = 496

Como 31 é um número primo, o número 496 deve ser perfeito, de acordo com os critérios de Euclides. O exemplo 4 mostra em detalhes o que realmente é.

Os números primos que têm a forma 2 p – 1 são chamados primos de Mersenne, em homenagem ao monge Marin Mersenne, que estudou números primos e perfeitos no século XVII.

Mais tarde, no século XVIII, Leonhard Euler provou que todos os números perfeitos gerados pela fórmula de Euclides são iguais.

Até o momento, não foi encontrado nenhum perfeito estranho.

O maior número perfeito conhecido

Até o momento, são conhecidos 51 números perfeitos, todos gerados usando a fórmula e os critérios de Euclides. Esse número foi obtido quando o maior primo de Mersenne foi encontrado, ou seja: (2 82589933 – 1).

O número perfeito # 51 é (2 82589933 ) x (2 82589933 – 1) e possui 49724095 dígitos.

Um número perfeito é um amigo em si

Na teoria dos números, diz-se que dois números são amigos quando a soma dos divisores de um, sem incluir o número em si, é igual ao outro número e vice-versa.

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O leitor pode verificar que a soma dos divisores de 220, que não inclui 220, é 284. Por outro lado, a soma dos divisores de 284, que não inclui 284, é igual a 220. Portanto, o par de números 220 e 284 são amigos.

Deste ponto de vista, um número perfeito é um amigo em si.

Exemplos de números perfeitos

Os oito primeiros números perfeitos estão listados abaixo:

6

28.

496

8128

33550336

8589869056

137438691328

2305843008139952128

Exercícios

Nos exercícios a seguir, será necessário calcular os divisores de um número, adicioná-los e verificar se o número é um número perfeito ou não.

Portanto, antes de abordar os exercícios, revisaremos o conceito e mostraremos como eles são calculados.

Para iniciantes, lembre-se de que os números podem ser primos (quando só podem ser divididos exatamente em si e 1) ou compostos (quando podem ser decompostos como um produto de números primos).

Para um número composto N, temos:

N = a n . b m . c p  … r k 

Onde a, b, c … r são números primos en, m, p … k são expoentes pertencentes aos números naturais, que podem ser de 1 em diante.

Em termos desses expoentes, existe uma fórmula para saber quantos divisores o número N possui, embora não nos diga o que são. Seja C essa quantidade, então:

C = (n +1) (m + 1) (p + 1) … (k + 1)

Decompor o número N como um produto de números primos e saber quantos divisores possui, tanto primos quanto não primos, nos ajudará a determinar o que são esses divisores.

Depois de ter todos eles, exceto o último que não é necessário na soma, você pode verificar se é um número perfeito ou não.

– Exercício 1

Verifique se o número 28 é perfeito.

Solução

A primeira coisa será decompor o número em seus fatores primos.

28 | 2
14 | 2
07 | 7
01 | 1

Seus divisores são: 1, 2, 4, 7, 14 e 28.  Se excluirmos 28, a soma dos divisores indica:

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1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 3 + 4 + 7 + 14 = 7 + 7 + 14 = 14 + 14 = 28

Portanto 28 é um número perfeito.

Além disso, a soma de todos os seus divisores é 28 + 28, então a regra σ (28) = 2 x 28 é cumprida.

– Exercício 2

Decida se o número 38 é perfeito ou não.

Solução

O número é decomposto em seus principais fatores:

39 | 3
13 | 13
01 | 1

Os divisores de 39 sem incluir o número em si são: 1, 3 e 13. A soma 1 + 3 + 13 = 4 + 13 = 17 não é igual a 39, portanto 39 é um número imperfeito ou não perfeito. 

– Exercício 3

Descubra se o número 120 é perfeito ou imperfeito.

Solução

O número é decomposto em seus principais fatores:

120 | 2
060 | 2
 30 | 2
 15 | 3
  5 | 5
  1 | 1

Os divisores são encontrados a partir dos principais fatores:

{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60 e 120}

Se 120 forem perfeitos ao adicionar todos os seus divisores, devemos obter 2 x 120 = 240. 

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 8 + 10 + 12 + 15 + 20 + 24 + 30 + 40 + 60 + 120 = 360

Esse resultado é claramente diferente de 240, portanto, conclui-se que o número 120 não é um número perfeito.

– Exercício 4

Verifique se o número 496, obtido usando os critérios de Euclides, é um número perfeito.

Solução

O número 496 é decomposto em seus principais fatores:

496 | 2
248 | 2
124 | 2
062 | 2
031 | 31
001 | 1

Portanto, seus divisores são:

{1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248, 496}

Agora todos eles foram adicionados, exceto 496:

1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496

Confirmando que é realmente um número perfeito.

Referências

  1. Baldor, A. 1986. Aritmética. Códice de Edições e Distribuições.
  2. Tudo sobre números primos. Números amigáveis. Recuperado em: manyprimes.org.
  3. Wolfram MathWorld. Regra de Euler. Recuperado de: mathworld.wolfram.com.
  4. Wolfram MathWorld. Número perfeito. Recuperado de: mathworld.wolfram.com.
  5. Wikipedia. Números perfeitos. Recuperado de: en.wikipedia.org.
  6. Wikipedia. Números amigáveis. Recuperado de: es.wikipedia.org.

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