Erro aleatório: fórmula e equações, cálculo, exemplos, exercícios

O erro aleatório é um conceito fundamental em estatística e probabilidades, que descreve a variação natural e imprevisível dos dados em um experimento ou estudo. Neste artigo, vamos explorar a fórmula e equações utilizadas para calcular o erro aleatório, além de apresentar exemplos práticos e exercícios para ajudar na compreensão desse conceito essencial. Vamos mergulhar nesse tema e entender como lidar com a incerteza nos nossos dados estatísticos.

Exemplos de erros aleatórios: entenda e identifique sua presença em análises estatísticas.

Erros aleatórios são variações que ocorrem em um experimento devido a fatores imprevisíveis e não controlados. Eles podem influenciar os resultados de uma análise estatística, tornando importante compreendê-los e identificá-los. Alguns exemplos de erros aleatórios incluem flutuações de temperatura, erros de medição e variações na amostra utilizada.

Para ilustrar a presença de erros aleatórios em análises estatísticas, imagine um estudo que analisa a relação entre o consumo de café e o desempenho cognitivo. Se os participantes do estudo tiverem diferentes níveis de cansaço, isso pode introduzir um erro aleatório, já que o cansaço pode afetar o desempenho cognitivo independentemente do consumo de café.

Identificar os erros aleatórios em uma análise estatística pode ser desafiador, mas é essencial para garantir a precisão dos resultados. Uma abordagem comum é repetir o experimento várias vezes e calcular a média dos resultados, o que ajuda a minimizar a influência dos erros aleatórios.

Compreender e identificar esses erros é fundamental para garantir a validade e a confiabilidade dos dados obtidos.

Tipos de erros possíveis em medições: precisão, sistemático e aleatório.

Erro aleatório é um dos tipos de erros possíveis em medições, ao lado de erros de precisão e sistemáticos. Enquanto os erros de precisão resultam de variações nas medições devido a limitações técnicas, e os erros sistemáticos surgem de um viés sistemático na medição, os erros aleatórios são mais difíceis de prever e controlar.

O erro aleatório ocorre devido a flutuações aleatórias nos processos de medição, que podem ser causadas por fatores como variações na instrumentação, ruídos ambientais ou erros humanos imprevisíveis. Essas variações aleatórias podem afetar a precisão e confiabilidade das medições, tornando os resultados menos previsíveis e consistentes.

Para calcular o erro aleatório, é comum utilizar a fórmula do desvio padrão, que mede a dispersão dos valores medidos em relação à média. A equação para o cálculo do desvio padrão é a seguinte:

Desvio padrão = √(Σ(xi – x̄)² / (n-1))

Onde xi representa cada valor medido, x̄ é a média dos valores medidos e n é o número total de medições. O desvio padrão é uma medida da variabilidade dos dados e quanto maior o valor, maior será o erro aleatório associado às medições.

Um exemplo prático de erro aleatório seria medir o tempo de reação de um indivíduo em diversas tentativas e calcular o desvio padrão dos resultados. Quanto maior for o desvio padrão, maior será a variação nos tempos de reação e, consequentemente, maior será o erro aleatório presente nas medições.

Para praticar o cálculo do erro aleatório, você pode tentar resolver o seguinte exercício: Meça o comprimento de uma mesa em centímetros cinco vezes e calcule o desvio padrão dos valores medidos. Isso ajudará a entender como a variação aleatória pode afetar a precisão das medições e como calcular o erro aleatório associado.

Aprenda a calcular o erro sistemático em poucos passos simples e práticos.

Para calcular o erro sistemático, você precisa seguir alguns passos simples e práticos. O erro sistemático é uma fonte de incerteza que pode afetar a precisão de uma medição. Aqui estão algumas etapas para calcular esse tipo de erro:

1. Identificar a fonte do erro: Primeiro, é preciso identificar a fonte do erro sistemático. Pode ser causado por um instrumento de medição descalibrado, um método de medição impreciso ou uma condição ambiental variável.
2. Realizar medições repetidas: Para determinar o erro sistemático, é necessário realizar medições repetidas do mesmo valor. Isso ajudará a identificar padrões ou tendências nas medições.
3. Calcular a média das medições: Após realizar várias medições, calcule a média dos valores obtidos. Isso ajudará a obter um valor mais preciso e confiável.
4. Comparar com o valor verdadeiro: Em seguida, compare a média das medições com o valor verdadeiro da grandeza que está sendo medida. A diferença entre esses dois valores representa o erro sistemático.
5. Calcular o erro sistemático: Para calcular o erro sistemático, basta subtrair o valor verdadeiro da média das medições. O resultado será o valor do erro sistemático.

É importante lembrar que o erro sistemático pode ser corrigido através de calibrações regulares, ajustes nos instrumentos de medição ou aprimoramentos nos métodos de medição. Ao identificar e calcular o erro sistemático, você poderá melhorar a precisão e a confiabilidade das suas medições.

Exemplos de erros sistemáticos e sua definição.

Os erros sistemáticos são aqueles que ocorrem de forma constante e previsível em um experimento ou medição. Eles são causados por falhas no sistema de medição ou por viés do experimentador. Esses erros afetam todos os resultados de maneira semelhante, levando a uma imprecisão nos dados obtidos.

Um exemplo comum de erro sistemático é o erro de calibração de um instrumento de medição. Se o instrumento estiver descalibrado, todas as medições realizadas com ele serão afetadas pelo mesmo desvio, levando a resultados consistentemente errados. Outro exemplo é a interferência de variáveis não controladas em um experimento, que pode levar a resultados distorcidos de forma consistente.

É importante identificar e corrigir os erros sistemáticos em um experimento, pois eles podem levar a conclusões errôneas e comprometer a validade dos resultados. Para isso, é fundamental realizar verificações e calibrações periódicas dos instrumentos de medição, além de controlar cuidadosamente todas as variáveis envolvidas no experimento.

Erro aleatório: fórmula e equações, cálculo, exemplos, exercícios

O  erro aleatório de uma quantidade física consiste em variações imprevisíveis na medição dessa quantidade. Essas variações podem ser produzidas pelo fenômeno que está sendo medido, pelo instrumento de medição ou pelo próprio observador.

Tal erro não se deve a algo que está sendo feito de errado durante o experimento, mas é um erro inerente ao processo de medição ou ao fenômeno que está sendo estudado. Isso faz com que a quantidade medida às vezes seja um pouco maior e às vezes um pouco menor, mas geralmente flutua em torno de um valor central.

Ao contrário do erro aleatório, o erro sistemático pode ser causado por uma calibração ruim ou um fator de escala inadequado no instrumento de medição, até mesmo uma falha no equipamento experimental ou uma observação inadequada, que causa um desvio na mesma direção.

A Figura 1 ilustra a diferença entre erro sistemático e aleatório no jogo de arremesso de dardos em um alvo circulado.

No caso da esquerda, os dardos estão concentrados em torno de um ponto muito distante do centro. O arremessador desses dardos, embora de boa pontaria, tem um fracasso sistemático, talvez de origem visual ou no modo de arremesso.

Por outro lado, o lançador à direita (na figura 1) tem uma grande dispersão em torno do alvo central, portanto, é um lançador muito impreciso, com pouco objetivo, que involuntariamente comete um erro aleatório.

Fórmulas e equações com erro aleatório

Quando um erro aleatório é observado no processo de medição , é necessário repetir a medição várias vezes, pois,  do ponto de vista estatístico, quanto maior o número de medições, menor o erro na estimativa final da medição.

Obviamente, em cada medição, deve-se garantir que as condições em que são realizadas sejam sempre as mesmas.

Suponha que a medição seja repetida n vezes. Como existe um erro aleatório em cada medição, ele terá um valor ligeiramente diferente. Suponha que o conjunto de n medidas seja:

{x ₁ , x ₂ , x ₃ ,… .., x _n }

Então, qual valor informar para a medida? 

Valor médio  e desvio padrão

O valor médio ou médio do conjunto de medidas deve ser relatado , o que denotamos por <x> e é calculado da seguinte forma:

<x> = (x ₁ + x ₂ + x ₃ + …… + x _n ) / n

Desvio padrão

No entanto, esse resultado tem uma margem de erro fornecida pelo desvio padrão. Para defini-lo, você deve primeiro conhecer o desvio e depois a variação:

-O desvio d _i  que cada valor medido xi tem em relação ao valor médio <x> é:

d _i = x _i – <x>

Se a média dos desvios fosse calculada, seria obtido sistematicamente <d> = 0 , pois: 

<d> = (d ₁ + d ₂ + d ₃ + …… + d _n ) / n =

= [(x ₁ – <x>) + (x ₂  – <x>) +… + (x _n – <x>)] / n

<d> = (x ₁ + x ₂ +… + x _n ) / n – n <x> / n = <x> – <x> = 0

-A média dos desvios não é útil para conhecer a dispersão das medições. Por outro lado, o valor médio do quadrado dos desvios ou variância, denotado por σ ² , é.

É calculado de acordo com a seguinte fórmula:

σ ² = (d ₁ ² + d ₂ ² +…. + d _n ² ) / (n -1)

Nas estatísticas, essa quantidade é chamada de variação . 

E a raiz quadrada da variância é conhecida como desvio padrão σ :

σ = √ [(d ₁ ² + d ₂ ² + … + d _n ² ) / (n -1)] 

O desvio padrão σ indica que:

1.- 68% das medições feitas estão incluídas no intervalo [<x> – σ, <x> + σ] . 

2.- 95% das medições estão no intervalo [<x> – 2σ, <x> + 2σ] .

3.- 99,7% das medições realizadas estão na faixa [<x> – 3σ, <x> + 3σ] .

Como calcular o erro aleatório?

O resultado da medição é o valor médio das n medidas, indicado por <x> e calculado de acordo com a seguinte fórmula:

<x> = (∑x _i ) / n

No entanto, <x> não é o valor “exato” da medição, pois <x> é afetado pelo erro aleatório ε,  calculado da seguinte forma:

ε = σ / √n

Onde:

σ = √ [(∑ (xi – <x>) ² ) / (n -1)]

O resultado final da medição deve ser relatado de uma das seguintes maneiras:

1. <x> ± σ / √n = <x> ± ε com um nível de confiança de 68%.
2. <x> ± 2σ / √n = <x> ± 2ε com um nível de confiança de 95%.
3. <x> ± 3σ / √n = <x> ± 3ε com um nível de confiança de 99,7%.

O erro aleatório afeta o último número significativo da medição, que geralmente coincide com a avaliação do instrumento de medição. No entanto, se o erro aleatório for muito grande, os dois últimos dígitos significativos podem ser afetados pela variação.

Exemplos de erro aleatório

Erros aleatórios podem aparecer em vários casos em que é feita uma medição:

Medindo um comprimento com uma fita métrica ou régua

Quando um comprimento é medido com uma régua ou fita métrica e as leituras caem entre as marcas da escala, esse valor intermediário é estimado.

Às vezes, a estimativa apresenta excesso e outros defeitos ; portanto, erros aleatórios estão sendo introduzidos no processo de medição.

A velocidade do vento

Na medição da velocidade do vento, pode haver alterações na leitura de um instante para outro, devido à natureza mutável do fenômeno.

Ao ler o volume em um cilindro graduado

Ao ler o volume com um cilindro graduado, mesmo tentando minimizar o erro de paralaxe, cada vez que é medido, o ângulo de observação do menisco muda um pouco, e é por isso que as medições são afetadas por erro aleatório.

Ao medir a altura de uma criança

Ao medir a altura de uma criança, especialmente se ela estiver um pouco inquieta, ele faz pequenas alterações na postura, alterando levemente a leitura.

Ao usar a balança de banheiro

Quando queremos medir nosso peso com uma balança de banheiro, uma pequena mudança no ponto de apoio, até uma mudança na postura pode afetar aleatoriamente a medição.

Exercício resolvido

É permitido que um carrinho de brinquedo role uma pista reta e inclinada e o tempo necessário para percorrer toda a pista é medido com um cronômetro. 

A medição é realizada 11 vezes, com o cuidado de sempre liberar o carrinho do mesmo local, sem dar nenhum impulso e mantendo a inclinação fixa.

O conjunto de resultados obtidos é:

{3.12s 3.09s 3.04s 3.04s 3.10s 3.08s 3.05s 3.10s 3.11s 3.06s, 3.03s}

Qual é o erro aleatório das medições?

Solução

Como você pode ver, os resultados obtidos não são únicos e variam um pouco.

A primeira coisa  é calcular o valor médio do tempo de descida, obtendo 3,074545455 segundos.

Manter o número de casas decimais não faz sentido, pois cada medição possui três algarismos significativos e o segundo decimal de cada medição é incerto, pois está no limite de apreciação do cronômetro, portanto, o resultado é arredondado para duas casas decimais:

= 3,08 s.

Com a calculadora no modo estatístico, o desvio padrão é  σ = 0,03 s e o erro padrão é σ / √11 = 0,01 s. O resultado final é expresso assim:

Tempo de descida 

3,08 s ± 0,01s (com um nível de confiança de 68%)

3,08 s ± 0,02s (com um nível de confiança de 95%)

3,08 s ± 0,03s (com um nível de confiança de 99,7%)

Referências

1. Canavos, G. 1988. Probabilidade e Estatística: Aplicações e métodos. McGraw Hill.
2. Devore, J. 2012. Probabilidade e estatística para engenharia e ciência. 8th. Edição. Cengage.
3. Helmenstine A. Erro aleatório vs. erro sistemático. Recuperado de: thoughtco.com
4. Laredo, E. Erros na média. Recuperado de: usb.ve.
5. Levin, R. 1988. Statistics for Administrators. 2nd. Edição. Prentice Hall.