Erro aleatório: fórmula e equações, cálculo, exemplos, exercícios

Erro aleatório: fórmula e equações, cálculo, exemplos, exercícios

erro aleatório de uma quantidade física consiste em variações imprevisíveis na medição dessa quantidade. Essas variações podem ser produzidas pelo fenômeno que está sendo medido, pelo instrumento de medição ou pelo próprio observador.

Tal erro não se deve a algo que está sendo feito de errado durante o experimento, mas é um erro inerente ao processo de medição ou ao fenômeno que está sendo estudado. Isso faz com que a quantidade medida às vezes seja um pouco maior e às vezes um pouco menor, mas geralmente flutua em torno de um valor central.

Ao contrário do erro aleatório, o erro sistemático pode ser causado por uma calibração ruim ou um fator de escala inadequado no instrumento de medição, até mesmo uma falha no equipamento experimental ou uma observação inadequada, que causa um desvio na mesma direção.

A Figura 1 ilustra a diferença entre erro sistemático e aleatório no jogo de arremesso de dardos em um alvo circulado.

No caso da esquerda, os dardos estão concentrados em torno de um ponto muito distante do centro. O arremessador desses dardos, embora de boa pontaria, tem um fracasso sistemático, talvez de origem visual ou no modo de arremesso.

Por outro lado, o lançador à direita (na figura 1) tem uma grande dispersão em torno do alvo central, portanto, é um lançador muito impreciso, com pouco objetivo, que involuntariamente comete um erro aleatório.

Fórmulas e equações com erro aleatório

Quando um erro aleatório é observado no processo de medição , é necessário repetir a medição várias vezes, pois,  do ponto de vista estatístico, quanto maior o número de medições, menor o erro na estimativa final da medição.

Obviamente, em cada medição, deve-se garantir que as condições em que são realizadas sejam sempre as mesmas.

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Suponha que a medição seja repetida n vezes. Como existe um erro aleatório em cada medição, ele terá um valor ligeiramente diferente. Suponha que o conjunto de n medidas seja:

{x 1 , x 2 , x 3 ,… .., x n }

Então, qual valor informar para a medida? 

Valor médio  e desvio padrão

O valor médio ou médio do conjunto de medidas deve ser relatado , o que denotamos por <x> e é calculado da seguinte forma:

<x> = (x 1 + x 2 + x 3 + …… + x n ) / n

Desvio padrão

No entanto, esse resultado tem uma margem de erro fornecida pelo desvio padrão. Para defini-lo, você deve primeiro conhecer o desvio e depois a variação:

-O desvio d i  que cada valor medido xi tem em relação ao valor médio <x> é:

d i = x i – <x>

Se a média dos desvios fosse calculada, seria obtido sistematicamente <d> = 0 , pois: 

<d> = (d 1 + d 2 + d 3 + …… + d n ) / n =

= [(x 1 – <x>) + (x 2  – <x>) +… + (x n – <x>)] / n

<d> = (x 1 + x 2 +… + x n ) / n – n <x> / n = <x> – <x> = 0

-A média dos desvios não é útil para conhecer a dispersão das medições. Por outro lado, o valor médio do quadrado dos desvios ou variância, denotado por σ 2 , é.

É calculado de acordo com a seguinte fórmula:

σ 2 = (d 1 2 + d 2 2 +…. + d n 2 ) / (n -1)

Nas estatísticas, essa quantidade é chamada de variação

E a raiz quadrada da variância é conhecida como desvio padrão σ :

σ = √ [(d 1 2 + d 2 2 + … + d n 2 ) / (n -1)] 

O desvio padrão σ indica que:

1.- 68% das medições feitas estão incluídas no intervalo [<x> – σ, <x> + σ]

2.- 95% das medições estão no intervalo [<x> – 2σ, <x> + 2σ] .

3.- 99,7% das medições realizadas estão na faixa [<x> – 3σ, <x> + 3σ] .

Como calcular o erro aleatório?

O resultado da medição é o valor médio das n medidas, indicado por <x> e calculado de acordo com a seguinte fórmula:

<x> = (∑x i ) / n

No entanto, <x> não é o valor “exato” da medição, pois <x> é afetado pelo erro aleatório ε,  calculado da seguinte forma:

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ε = σ / √n

Onde:

σ = √ [(∑ (xi – <x>) 2 ) / (n -1)]

O resultado final da medição deve ser relatado de uma das seguintes maneiras:

  1. <x> ± σ / √n = <x> ± ε com um nível de confiança de 68%.
  2. <x> ± 2σ / √n = <x> ± 2ε com um nível de confiança de 95%.
  3. <x> ± 3σ / √n = <x> ± 3ε com um nível de confiança de 99,7%.

O erro aleatório afeta o último número significativo da medição, que geralmente coincide com a avaliação do instrumento de medição. No entanto, se o erro aleatório for muito grande, os dois últimos dígitos significativos podem ser afetados pela variação.

Exemplos de erro aleatório

Erros aleatórios podem aparecer em vários casos em que é feita uma medição:

Medindo um comprimento com uma fita métrica ou régua

Quando um comprimento é medido com uma régua ou fita métrica e as leituras caem entre as marcas da escala, esse valor intermediário é estimado.

Às vezes, a estimativa apresenta excesso e outros defeitos ; portanto, erros aleatórios estão sendo introduzidos no processo de medição.

A velocidade do vento

Na medição da velocidade do vento, pode haver alterações na leitura de um instante para outro, devido à natureza mutável do fenômeno.

Ao ler o volume em um cilindro graduado

Ao ler o volume com um cilindro graduado, mesmo tentando minimizar o erro de paralaxe, cada vez que é medido, o ângulo de observação do menisco muda um pouco, e é por isso que as medições são afetadas por erro aleatório.

Ao medir a altura de uma criança

Ao medir a altura de uma criança, especialmente se ela estiver um pouco inquieta, ele faz pequenas alterações na postura, alterando levemente a leitura.

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Ao usar a balança de banheiro

Quando queremos medir nosso peso com uma balança de banheiro, uma pequena mudança no ponto de apoio, até uma mudança na postura pode afetar aleatoriamente a medição.

Exercício resolvido

É permitido que um carrinho de brinquedo role uma pista reta e inclinada e o tempo necessário para percorrer toda a pista é medido com um cronômetro. 

A medição é realizada 11 vezes, com o cuidado de sempre liberar o carrinho do mesmo local, sem dar nenhum impulso e mantendo a inclinação fixa.

O conjunto de resultados obtidos é:

{3.12s 3.09s 3.04s 3.04s 3.10s 3.08s 3.05s 3.10s 3.11s 3.06s, 3.03s}

Qual é o erro aleatório das medições?

Solução

Como você pode ver, os resultados obtidos não são únicos e variam um pouco.

A primeira coisa  é calcular o valor médio do tempo de descida, obtendo 3,074545455 segundos.

Manter o número de casas decimais não faz sentido, pois cada medição possui três algarismos significativos e o segundo decimal de cada medição é incerto, pois está no limite de apreciação do cronômetro, portanto, o resultado é arredondado para duas casas decimais:

= 3,08 s.

Com a calculadora no modo estatístico, o desvio padrão é  σ = 0,03 s e o erro padrão é σ / √11 = 0,01 s. O resultado final é expresso assim:

Tempo de descida 

3,08 s ± 0,01s (com um nível de confiança de 68%)

3,08 s ± 0,02s (com um nível de confiança de 95%)

3,08 s ± 0,03s (com um nível de confiança de 99,7%)

Referências

  1. Canavos, G. 1988. Probabilidade e Estatística: Aplicações e métodos. McGraw Hill.
  2. Devore, J. 2012. Probabilidade e estatística para engenharia e ciência. 8th. Edição. Cengage.
  3. Helmenstine A. Erro aleatório vs. erro sistemático. Recuperado de: thoughtco.com
  4. Laredo, E. Erros na média. Recuperado de: usb.ve.
  5. Levin, R. 1988. Statistics for Administrators. 2nd. Edição. Prentice Hall.

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