Frações parciais são uma técnica utilizada na matemática para decompor uma fração complexa em frações mais simples, facilitando assim a resolução de equações e integrações. Neste artigo, iremos explorar diferentes casos de frações parciais e apresentar exemplos práticos de como aplicar essa técnica em problemas do dia a dia e em cálculos mais avançados. Aprender a trabalhar com frações parciais pode ser uma habilidade valiosa para estudantes e profissionais que lidam com matemática em seu cotidiano.
Em quais situações as frações parciais são adequadas para resolver problemas matemáticos?
As frações parciais são uma técnica utilizada na matemática para decompor uma fração em frações mais simples. Essa técnica é especialmente útil quando lidamos com funções racionais que não podem ser simplificadas facilmente. A decomposição em frações parciais nos permite resolver integrais de forma mais simples e eficiente.
Um dos principais casos em que as frações parciais são adequadas é quando lidamos com funções racionais próprias, ou seja, funções em que o grau do numerador é menor do que o grau do denominador. Nesses casos, podemos decompor a função em frações parciais e integrar termo a termo, facilitando o cálculo da integral.
Outra situação em que as frações parciais são úteis é quando temos raízes múltiplas no denominador da função racional. Nesses casos, a decomposição em frações parciais nos permite lidar com cada raiz de forma separada, simplificando o processo de integração.
Em resumo, as frações parciais são adequadas para resolver problemas matemáticos envolvendo funções racionais que não podem ser simplificadas facilmente. Essa técnica nos permite lidar com integrais de forma mais eficiente, facilitando o cálculo e a compreensão de resultados.
Significado e características dos fatores lineares em equações e expressões matemáticas simples.
Os fatores lineares em equações e expressões matemáticas simples são elementos fundamentais que podem ajudar na resolução de problemas matemáticos de forma mais eficiente. Quando nos deparamos com fatores lineares em uma equação, estamos lidando com expressões do tipo ax + b, onde “a” e “b” são números reais e x é a variável. Nesse contexto, os fatores lineares são importantes porque nos permitem simplificar equações e expressões, facilitando o processo de resolução.
Uma característica importante dos fatores lineares é que eles podem ser facilmente identificados e manipulados. Por exemplo, na equação 2x + 3 = 7, os fatores lineares são 2x e 3. Podemos isolá-los para resolver a equação de forma mais direta, aplicando as operações matemáticas adequadas.
Além disso, os fatores lineares são frequentemente utilizados na decomposição de expressões algébricas complexas, como no caso das Frações Parciais. Nesse contexto, os fatores lineares são essenciais para desmembrar uma fração em partes menores, facilitando a integração de funções racionais.
Em resumo, os fatores lineares desempenham um papel crucial na resolução de equações e expressões matemáticas simples, permitindo simplificações e manipulações mais eficientes. É importante compreender o significado e as características dos fatores lineares para aplicá-los corretamente em diferentes contextos matemáticos.
Significado e função do numerador em frações de forma simplificada.
Frações Parciais: Casos e Exemplos
O numerador em uma fração representa o número de partes que estamos considerando em relação ao todo. Por exemplo, em uma fração como 3/5, o numerador é o número 3, o qual indica que estamos considerando 3 partes de um total de 5 partes. Portanto, o numerador é fundamental para expressar a quantidade de partes que estamos analisando em uma fração.
Além disso, o numerador também é importante para realizar operações matemáticas com frações, como adição, subtração, multiplicação e divisão. Ao somar ou subtrair frações, é necessário que os numeradores sejam do mesmo valor antes de realizar a operação. Na multiplicação, o resultado é obtido multiplicando-se os numeradores e os denominadores. Já na divisão, o numerador da primeira fração é multiplicado pelo denominador da segunda fração, e vice-versa.
Portanto, o numerador é essencial para compreender e operar com frações de maneira correta. É importante entender o seu significado e função para resolver problemas matemáticos que envolvam frações de forma eficaz.
Frações Parciais: Casos e Exemplos
As fracções parciais são formados por fracções polinómios, em que o denominador podem ser um linear ou polinomial quadrática e também pode ser elevado a uma potência . Às vezes, quando temos funções racionais, é muito útil reescrever essa função como uma soma de frações parciais ou frações simples.
Isso ocorre porque dessa maneira podemos manipular essas funções de uma maneira melhor, especialmente nos casos em que é necessário integrar o referido aplicativo. Uma função racional é simplesmente a razão entre dois polinômios, e eles podem ser adequados ou impróprios.
Se o grau do polinômio do numerador for menor que o denominador, ele será chamado de função racional própria; caso contrário, é conhecida como função racional imprópria.
Definição de
Quando temos uma função racional imprópria, podemos dividir o polinômio do numerador pelo polinômio do denominador e, assim, reescrever a fração p (x) / q (x), seguindo o algoritmo de divisão como t (x) + s (x) / q (x), onde t (x) é um polinômio es (x) / q (x) é uma função racional adequada.
Uma fração parcial é qualquer função própria dos polinômios, cujo denominador é da forma (ax + b) n o (ax 2 + bx + c) n , se o ax polinomial 2 + bx + c não tiver raízes reais e n for um número natural
Para reescrever uma função racional em frações parciais, a primeira coisa a fazer é fatorar o denominador q (x) como um produto de fatores lineares e / ou quadráticos. Feito isso, são determinadas as frações parciais, que dependem da natureza desses fatores.
Estojos
Consideramos vários casos separadamente.
Caso 1
Os fatores de q (x) são todos lineares e nenhum é repetido. Quer dizer:
q (x) = (a 1 x + b 1 ) (a 2 x + b 2 )… (a s x + b s )
Lá, nenhum fator linear é idêntico a outro. Quando esse caso ocorrer, escreveremos:
p (x) / q (x) = A 1 / (a 1 x + b 1 ) + A 2 / (a 2 x + b 2 ) … + A s / (um s x + b s ).
Onde A 1 , A 2 , …, A s são as constantes que você deseja encontrar.
Exemplo
Queremos dividir a função racional em frações simples:
(x – 1) / (x 3 + 3x 2 + 2x)
Passamos a fatorar o denominador, ou seja:
x 3 + 3x 2 + 2x x = (x + 1) (x + 2)
Então:
(x – 1) / (x 3 + 3x 2 + 2x) = (x – 1) / x (x + 1) (x + 2)
(x – 1) / x (x + 1) (x + 2) = A / x + B / (x + 1) + C / (x + 2)
Aplicando o mínimo múltiplo comum, você pode obter o seguinte:
x – 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x.
Queremos obter os valores das constantes A, B e C, que podem ser encontrados substituindo as raízes que cancelam cada um dos termos. Substituindo 0 por x, temos:
0-1 = A (0 + 1) (0 + 2) + B (0 + 2) 0 + C (0 + 1) 0.
– 1 = 2A
A = – 1/2.
Substituindo – 1 por x, temos:
– 1 – 1 = A (- 1 + 1) (- 1 + 2) + B (- 1 + 2) (- 1) + C (- 1 + 1) (- 1).
– 2 = – B
B = 2
Substituindo – 2 por x, temos:
– 2 – 1 = A (- 2 + 1) (- 2 + 2) + B (- 2 + 2) (- 2) + C (- 2 + 1) (- 2).
–3 = 2C
C = -3/2.
Dessa forma, os valores A = –1/2, B = 2 e C = –3/2 são obtidos.
Existe outro método para obter os valores de A, B e C. Se no lado direito da equação x – 1 = A (x + 1) (x + 2) + B (x + 2) x + C (x + 1) x combinamos termos, temos:
x – 1 = (A + B + C) x 2 + (3A + 2B + C) x + 2A.
Como essa é uma igualdade de polinômios, temos que os coeficientes no lado esquerdo devem ser iguais aos do lado direito. Isso resulta no seguinte sistema de equações:
A + B + C = 0
3A + 2B + C = 1
2A = – 1
Resolvendo esse sistema de equações, obtemos os resultados A = –1/2, B = 2 e C = -3/2.
Por fim, substituindo os valores obtidos, temos que:
(x – 1) / x (x + 1) (x + 2) = – 1 / (2x) + 2 / (x + 1) – 3 / (2 (x + 2)).
Caso 2
Os fatores de q (x) são todos lineares e alguns são repetidos. Suponha que (ax + b) seja um fator que se repete «s» vezes; então, esse fator corresponde à soma das frações parciais “s”.
A s / (ax + b) s + A s-1 / (ax + b) s-1 +… + A 1 / (ax + b).
Onde A s , A s-1 , …, A 1 são constantes determinadas. Com o exemplo a seguir, mostraremos como determinar essas constantes.
Exemplo
Decompor em frações parciais:
(x – 1) / (x 2 (x – 2) 3 )
Escrevemos a função racional como soma de frações parciais da seguinte maneira:
(x – 1) / (x 2 (x – 2) 3 ) = A / x 2 + B / x + C / (x – 2) 3 + D / (x – 2) 2 + E / (x – 2 )
Então:
x – 1 = A (x – 2) 3 + B (x – 2) 3 x + Cx 2 + D (x – 2) x 2 + E (x – 2) 2 x 2
Substituindo 2 por x, temos o seguinte:
7 = 4C, ou seja, C = 7/4.
Substituindo 0 por x, temos:
– 1 = –8A ou A = 1/8.
Substituindo esses valores na equação anterior e desenvolvendo, temos que:
x – 1 = 1/8 (x 3 – 6x 2 + 12x – 8) + Bx (x 3 – 6x 2 + 12x – 8) + 7 / 4x 2 + Dx 3 – 2Dx 2 + Ex 2 (x 2 – 4x + 4)
Se x = 1 = (B + E) x 4 + (1/8 – 6B + D – 4E) x 3 + (- ¾ + 12B + 7/4 – 2D + 4E) x 2 + (3/2 – 8B) x – 1.
Ao combinar os coeficientes, obtemos o seguinte sistema de equações:
B + E = 0;
1/8 – 6B + D – 4E = 1;
– 3/4 + 12B + 7/4 – 2D + 4E = 0
3/2 – 8B = 0.
Resolvendo o sistema, temos:
B = 3/16; D = 5/4; E = – 3/16.
Para isso, temos que:
(x – 1) / (x 2 (x – 2) 3 ) = (1/8) / x 2 + (3/16) / x + (7/4) / (x – 2) 3 + (5 / 4) / (x – 2) 2 – (3/16) / (x – 2).
Caso 3
Os fatores de q (x) são lineares quadráticos, sem nenhum fator quadrático repetido. Nesse caso, o fator quadrático (ax 2 + bx + c) corresponderá à fração parcial (Ax + B) / (ax 2 + bx + c), onde as constantes A e B são as que você deseja determinar.
O exemplo a seguir mostra como proceder neste caso.
Exemplo
Decomponha em frações simples a (x + 1) / (x 3-1 ).
Primeiro, passamos a fatorar o denominador, o que resulta em:
(x – 1) = (x – 1) (x + x +1).
Podemos observar que (x 2 + x + 1) é um polinômio quadrático irredutível; isto é, não tem raízes reais. Sua decomposição em frações parciais será a seguinte:
(x + 1) / (x – 1) (x 2 + x +1) = A / (x – 1) + (Bx + C) / (x 2 + x +1)
A partir disso, obtemos a seguinte equação:
x + 1 = (A + B) x 2 + (A – B + C) x + (A – C)
Usando igualdade de polinômios, obtemos o seguinte sistema:
A + B = 0;
A – B + C = 1;
A – C = 1;
A partir deste sistema, temos que A = 2/3, B = – 2/3 e C = 1/3. Substituindo, temos o seguinte:
(x + 1) / (x – 1) (x 2 + x +1) = 2/3 (x – 1) – (2x + 1) / 3 (x 2 + x +1).
Caso 4
Finalmente, o caso 4 é aquele em que os fatores de q (x) são lineares e quadráticos, onde alguns dos fatores lineares quadráticos são repetidos.
Nesse caso, se (ax 2 + bx + c) for um fator quadrático repetido «s» vezes, a fração parcial correspondente ao fator (ax 2 + bx + c) será:
(A 1 x + B) / (ax 2 + bx + c) +… + (A s-1 x + B s-1 ) / (ax 2 + bx + c) s-1 + (A s x + B s ) / (ax 2 + bx + c) s
Onde A s , A s-1 , …, A e B s , B s-1 , …, B são as constantes a serem determinadas.
Exemplo
Queremos dividir a seguinte função racional em frações parciais:
(x – 2) / (x (x 2 – 4x + 5) 2 )
Como x 2 – 4x + 5 é um fator quadrático irredutível, temos que sua decomposição em frações parciais é dada por:
(x – 2) / (x (x 2 – 4x + 5) 2 ) = A / x + (Bx + C) / (x 2 – 4x +5) + (Dx + E) / (x 2 – 4x + 5) 2
Simplificando e desenvolvendo, temos:
x – 2 = A (x 2 – 4x + 5) 2 + (Bx + C) (x 2 – 4x + 5) x + (Dx + E) x
x – 2 = (A + B) x 4 + (- 8A – 4B + C) x 3 + (26A + 5B – 4C + D) x 2 + (- 40A + 5C + E) x + 25A.
Do exposto, temos o seguinte sistema de equações:
A + B = 0;
– 8A – 4B + C = 0;
26A + 5B – 4C + D = 0;
– 40A + 5C + E = 1;
25A = 2.
Ao resolver o sistema, precisamos:
A = – 2/25, B = 2/25, C = – 8/25, D = 2/5 e E = – 3/5.
Ao substituir os valores obtidos, temos:
(x – 2) / (x (x 2 – 4x + 5) 2 ) = -2 / 25x + (2x – 8) / 25 (x 2 – 4x +5) + (2x – 3) / 5 (x 2 – 4x + 5) 2
Aplicações
Cálculo integral
As frações parciais são usadas principalmente para o estudo do cálculo integral. Abaixo, veremos alguns exemplos de como executar integrais usando frações parciais.
Exemplo 1
Queremos calcular a integral de:
Podemos observar que o denominador q (x) = (t + 2) 2 (t + 1) é composto de fatores lineares onde um deles é repetido; É por isso que estamos no caso 2.
Temos que:
1 / (t + 2) 2 (t + 1) = A / (t + 2) 2 + B / (t + 2) + C / (t + 1)
Reescrevemos a equação e temos:
1 = A (t + 1) + B (t + 2) (t + 1) + C (t + 2) 2
Se t = – 1, temos que:
1 = A (0) + B (1) (0) + C (1)
1 = C
Se t = – 2, isso nos dá:
1 = A (-1) + B (0) (-1) + C (0)
A = – 1
Então, se t = 0:
1 = A (1) + B (2) (1) + C (2)
Substituindo os valores de A e C:
1 = – 1 + 2B + 4
1 = 3 + 2B
2B = – 2
Do exposto, temos que B = – 1.
Reescrevemos a integral como:
Continuamos a resolvê-lo pelo método de substituição:
Isso resulta em:
Exemplo 2
Resolva a seguinte integral:
Neste caso, pode factor aq (x) = x 2 – 4 e q (x) = (X – 2) (x + 2). Estamos claramente no caso 1. Portanto:
(5x – 2) / (x – 2) (x + 2) = A / (x – 2) + B / (x + 2)
Também pode ser expresso como:
Dê sua nota! Dê sua nota!
Se x = – 2, temos:
– 12 = A (0) + B (- 4)
B = 3
E se x = 2:
8 = A (4) + B (0)
A = 2
Assim, temos que resolver a integral fornecida é equivalente a resolver:
Isso resulta em:
Exemplo 3
Resolva a integral:
Temos que q (x) = 9x 4 + x 2 , para que possamos fatorá-lo em q (x) = x 2 (9x 2 + 1).
Nesta ocasião, temos um fator linear repetido e um fator quadrático; isto é, estamos no caso 3.
Temos que:
1 / x 2 (9x 2 + 1) = A / x 2 + B / x + (Cx + D) / (9x 2 + 1)
1 = A (9x 2 + 1) + Bx (9x 2 + 1) + Cx 2 + Dx 2
Agrupando e usando a igualdade de polinômios, temos:
1 = (9B + C) x + (9A + D) x + Bx + A
A = 1;
B = 0;
9A + D = 0;
9B + C = 0
A partir deste sistema de equações, temos que:
D = – 9 e C = 0
Desta forma, temos:
Para resolver o exposto, temos:
Lei de Ação em Massa
Uma aplicação interessante de frações parciais aplicada ao cálculo integral é encontrada na química, mais precisamente na lei da ação das massas.
Suponha que tenhamos duas substâncias, A e B, que se ligam e formam uma substância C, de modo que o derivado da quantidade de C em relação ao tempo seja proporcional ao produto das quantidades de A e B em um dado momento.
Podemos expressar a lei da ação em massa da seguinte maneira:
Nesta expressão, α é a quantidade inicial de gramas correspondente a A e β a quantidade inicial de gramas correspondente a B.
Além disso, rys representam a quantidade de gramas de A e B, respectivamente, que se combinam para formar r + s gramas de C. Por outro lado, x representa o número de gramas de substância C no instante t de tempo e K é o proporcionalidade constante. A equação anterior pode ser reescrita como:
Fazendo a seguinte alteração:
Temos que a equação é transformada em:
A partir desta expressão, podemos obter:
Onde se ≠ b, frações parciais podem ser usadas para integração.
Exemplo
Tomemos, por exemplo, uma substância C que resulta da combinação de uma substância A com um B, de modo que a lei das massas seja cumprida onde os valores de aeb são 8 e 6, respectivamente. Dê uma equação que nos dê o valor de gramas de C em função do tempo.
Substituindo os valores na lei de massas, temos:
Ao separar variáveis, temos:
Aqui 1 / (8 – x) (6 – x) pode ser escrito como soma das frações parciais, da seguinte maneira:
Assim, 1 = A (6 – x) + B (8 – x)
Se substituirmos x por 6, temos B = 1/2; e substituindo x por 8, temos A = – 1/2.
Integrando por frações parciais, temos:
Isso resulta em:
Equações diferenciais: equação logística
Outra aplicação que pode ser dada a frações parciais está na equação diferencial logística. Em modelos simples, temos que a taxa de crescimento populacional é proporcional ao seu tamanho; quer dizer:
Este caso é um ideal e é considerado realista até que os recursos disponíveis em um sistema sejam insuficientes para apoiar a população.
Nessas situações, o mais razoável é pensar que existe uma capacidade máxima, que chamaremos de L, que o sistema pode sustentar e que a taxa de crescimento é proporcional ao tamanho da população multiplicado pelo tamanho disponível. Este argumento leva à seguinte equação diferencial:
Essa expressão é chamada de equação diferencial logística. É uma equação diferencial separável que pode ser resolvida com o método de integração de frações parciais.
Exemplo
Um exemplo seria considerar uma população que cresce de acordo com a seguinte equação diferencial logística y ‘= 0,0004y (1000 – y), cujos dados iniciais são 400. Queremos saber o tamanho da população no momento t = 2, onde t é medido em anos
Se escrevermos para y ‘com a notação de Leibniz como uma função que depende de t, temos que:
A integral do lado esquerdo pode ser resolvida usando o método de integração de frações parciais:
Essa última igualdade pode ser reescrita da seguinte maneira:
– Substituindo a = 0, temos que A é igual a 1/1000.
– Substituindo a = 1000, temos que B é igual a 1/1000.
Com esses valores, a integral é a seguinte:
A solução é:
Usando os dados iniciais:
Ao limpar e temos:
Então temos isso em t = 2:
Concluindo, após 2 anos, o tamanho da população é de aproximadamente 597,37.
Referências
- A, RA (2012). Matemática 1. Universidade dos Andes. Conselho de Publicações.
- Cortez, I. & Sanchez, C. (sf). 801 Integrais resolvidos. Universidade Experimental Nacional de Tachira.
- Leithold, L. (1992). O CÁLCULO com Geometria Analítica. HARLA, SA
- Purcell, EJ, Varberg, D. & Rigdon, SE (2007). Cálculo México: Pearson Education.
- Saenz, J. (sf). Cálculo integral. Hipotenusa