Função overjective: definição, propriedades, exemplos

Uma função superjetiva é qualquer relacionamento em que cada elemento pertencente ao codomain é uma imagem de pelo menos um elemento do domínio. Também conhecida como função concluída , elas fazem parte da classificação de funções com relação à maneira como seus elementos estão relacionados.

Por exemplo, uma função F: AB definida por F (x) = 2x

Que lê ” F que vai de A a B definido por F (x) = 2x”

Toque para definir os conjuntos de partidas e chegadas A e B.

R: {1, 2, 3, 4, 5} Agora, os valores ou imagens que cada um desses elementos lançará quando avaliados em F serão os elementos do codomain.

F (1) = 2

F (2) = 4

F (3) = 6

F (4) = 8

F (5) = 10

Assim formando o conjunto B: {2, 4, 6, 8, 10}

Pode-se concluir então que:

F: {1, 2, 3, 4, 5}{2, 4, 6, 8, 10} definido por F (x) = 2x É uma função de overjective

Cada elemento do co-domínio deve resultar de pelo menos uma operação da variável independente através da função em questão. Não há limitação de imagens, um elemento do codomain pode ser uma imagem de mais de um elemento do domínio e continuar a ser uma função superjetiva .

A imagem mostra 2 exemplos com funções superativas .

Função overjective: definição, propriedades, exemplos 1

Fonte: Autor

O primeiro é observado que as imagens podem ser encaminhados para o mesmo elemento, sem que tal comprometa o surjectivity função.

No segundo, vemos uma distribuição equitativa entre domínio e imagens. Isso dá origem à função bijetiva , onde os critérios de função injetiva e função superativa devem ser atendidos .

Outro método para identificar funções superjetivas é verificar se o codomain é igual ao intervalo da função. Isso significa que, se o conjunto de chegadas for igual às imagens fornecidas pela função ao avaliar a variável independente, a função será superjetiva.

Propriedades

Para considerar uma função como superjetiva, o seguinte deve ser cumprido:

Seja F: D fC f

∀ b ℮ C f E a ℮ D f / F (a) = b

Esta é a maneira algébrica de estabelecer que, para cada “b” que pertence a C f, existe um “a” que pertence a D f, de modo que a função F avaliada em “a” é igual a “b”.

O excesso de atividade é uma peculiaridade de funções, onde o codomain e o alcance são semelhantes. Assim, os elementos avaliados na função compõem o conjunto de chegadas.

Função Condicionamento

Às vezes, uma função que não é superjetiva pode sofrer certas condições. Essas novas condições podem transformá-lo em uma função superjetiva.

Todos os tipos de modificações no domínio e co-domínio da função são válidos, onde o objetivo é cumprir as propriedades de atividade excessiva no relacionamento correspondente.

Exemplos: exercícios resolvidos

Para cumprir as condições de superjetividade , diferentes técnicas de condicionamento devem ser aplicadas, com o objetivo de garantir que cada elemento do codomain esteja dentro do conjunto de imagens da função.

Exercício 1

  • Seja a função F: RR definida pela linha F (x) = 8 – x

A: [todos os números reais]

Função overjective: definição, propriedades, exemplos 2

Fonte: autor

Nesse caso, a função descreve uma linha contínua, que abrange todos os números reais em seu domínio e intervalo. Porque o intervalo da função de R f é igual a codomain R pode-se concluir que:

F: RR definido pela linha F (x) = 8 – x é uma função superjetiva.

Isso se aplica a todas as funções lineares (funções cujo maior grau de variável é um).

Exercício 2

  • Estude a função F: RR definida por F (x) = x 2 : Defina se é uma função com excesso de objetivo . Caso contrário, mostre as condições necessárias para torná-lo hiperativo.

Função overjective: definição, propriedades, exemplos 3

Fonte: autor

A primeira coisa a considerar é o codomain de F , composto por números reais R. Não há como a função gerar valores negativos, o que exclui os reais negativos das possíveis imagens.

Acondicionar o codomain no intervalo [0, ]. Evite deixar elementos do codomain não relacionados com F.

As imagens são repetidas para pares da variável independente, como x = 1 e x = – 1. Mas isso só afeta a injetividade da função, não será um problema para este estudo.

Desta forma, pode-se concluir que:

F: R[0, ∞ ) definido por F (x) = x 2 É uma função de overjective

Exercício 3

  • CoDominium definir as condições que sobrejetivo funções

F: RR definido por F (x) = Sen (x)

F: RR definido por F (x) = Cos (x)

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Fonte: Autor
Função overjective: definição, propriedades, exemplos 5
Fonte: Autor

O comportamento das funções trigonométricas é semelhante ao das ondas, sendo muito comum encontrar repetições da variável dependente entre as imagens. Também na maioria dos casos, o alcance da função é limitado a um ou mais setores da linha real.

É o caso das funções Seno e Cosseno. Onde seus valores flutuam no intervalo [-1, 1]. Esse intervalo deve condicionar o codomain para atingir a atividade excessiva da função.

F: R[-1, 1] definido por F (x) = Sen (x) É uma função superjetiva

F: R[-1, 1] definido por F (x) = Cos (x) É uma função superjetiva

Exercício 4

  • Estude a função

F: [0, ∞ )R definido por F (x) = ± √x denota se é uma função superjetiva

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Fonte: Autor

A função F (x) = ± √x tem a particularidade que define 2 variáveis ​​dependentes para cada valor de “x”. Ou seja, o intervalo recebe 2 elementos para cada um que é criado no domínio. Um valor positivo e negativo deve ser verificado para cada valor de “x”.

Ao observar o conjunto inicial, note-se que o domínio já foi restrito, para evitar as indeterminações produzidas pela avaliação de um número negativo dentro de uma raiz uniforme.

Ao verificar o intervalo da função, observe-se que cada valor do codomain pertence ao intervalo.

Desta forma, pode-se concluir que:

F: [0, ∞ )R definido por F (x) = ± √x É uma função de overjective

Exercício 4

  • Estude a função F (x) = Ln x denota se é uma função superjetiva . Condicione os conjuntos de chegada e partida para adaptar a função aos critérios de superatividade.

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Fonte: Autor

Conforme mostrado no gráfico, a função F (x) = Ln x é definida para os valores de “x” maiores que zero. Enquanto os valores de “e” ou as imagens podem ter qualquer valor real.

Dessa forma, podemos restringir o domínio de F (x) = ao intervalo (0, )

Enquanto o intervalo da função pode ser mantido como o conjunto de números reais R.

Considerando isso, pode-se concluir que:

F: [0, ∞ )R definido por F (x) = Ln x É uma função superjetiva

Exercício 5

  • Estude a função de valor absoluto F (x) = | x e designar conjuntos de chegadas e partidas que atendam aos critérios de atividade excessiva.

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Fonte: Autor

O domínio da função é cumprido para todos os números reais R. Desse modo, o único condicionamento deve ser realizado no codomain, levando em consideração que a função de valor absoluto aceita apenas valores positivos.

Prosseguimos para estabelecer a codificação da função igual ao intervalo da mesma

[0, )

Agora pode-se concluir que:

F: [0, ∞ )R definido por F (x) = | x É uma função superjetiva

Exercícios propostos

  1. Verifique se as seguintes funções estão sobjetivas:
  • F: (0, ∞ )R definido por F (x) = Log (x + 1)
  • F: RR definido por F (x) = x 3
  • F: R[1, ∞ ) definido por F (x) = x 2 + 1
  • [0, ∞ )R definido por F (x) = Log (2x + 3)
  • F: RR definido por F (x) = Sec x
  • F: R – {0}R definido por F (x) = 1 / x

Referências

  1. Introdução ao pensamento lógico e crítico. Merrilee H. Salmon. Universidade de Pittsburgh
  2. Problemas em Análise Matemática. Piotr Biler, Alfred Witkowski. Universidade de Wroclaw. Polônia
  3. Elementos de análise abstrata. Médico O’Searcoid PhD. Departamento de Matemática. Faculdade universitária de Dublin, Beldfield, Dublind 4
  4. Introdução à Lógica e à Metodologia das Ciências Dedutivas. Alfred Tarski, Nova Iorque, Oxford. Imprensa da Universidade de Oxford.
  5. Princípios de análise matemática. Enrique Linés Escardó. Editorial Reverté S. A 1991. Barcelona Espanha.

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