Função overjective: definição, propriedades, exemplos

A função sobrejetiva, ou função sobrejetora, é um conceito importante na teoria dos conjuntos e na matemática em geral. Uma função é considerada sobrejetiva quando cada elemento do contradomínio é mapeado por pelo menos um elemento do domínio. Em outras palavras, a função cobre todo o contradomínio, garantindo que não haja elementos sem correspondência. Neste artigo, discutiremos a definição, propriedades e exemplos de funções sobrejetivas, destacando sua importância e aplicação em diversos contextos matemáticos.

Triângulos com ângulos maiores que 90 graus em até 15 palavras.

Triângulos obtusângulos possuem ângulos maiores que 90 graus, como o triângulo retângulo.

Triângulo agudo: conceito e propriedades de um polígono de três lados.

Um triângulo agudo é um tipo de triângulo no qual todos os ângulos internos são menores que 90 graus. Isso significa que é um triângulo no qual todos os vértices estão localizados dentro de um círculo de 90 graus, o que torna suas propriedades únicas.

As propriedades de um triângulo agudo incluem a soma dos ângulos internos sempre totalizando 180 graus, sendo possível classificar esses triângulos de acordo com seus lados (equilátero, isósceles ou escaleno) e com seus ângulos (agudo, obtuso ou reto).

Além disso, um triângulo agudo também pode ser classificado de acordo com suas alturas e mediatrizes, permitindo a resolução de problemas geométricos complexos e a aplicação de teoremas matemáticos específicos.

Função overjetiva: definição, propriedades, exemplos.

Uma função sobrejetiva é uma função matemática que associa cada elemento do contradomínio a pelo menos um elemento do domínio. Isso significa que não há elementos no contradomínio que não tenham uma correspondência no domínio.

As propriedades de uma função sobrejetiva incluem a existência de pelo menos um elemento no domínio que corresponde a cada elemento do contradomínio, garantindo que todos os elementos do contradomínio sejam alcançados pela função.

Um exemplo simples de função sobrejetiva é a função f(x) = x^2, onde para cada valor de x no domínio, existe um valor correspondente de f(x) no contradomínio.

Triângulo com ângulo agudo e obtuso: características e propriedades.

Triângulo com ângulo agudo e obtuso: um triângulo é uma figura geométrica formada por três lados e três ângulos. Quando um dos ângulos do triângulo é menor que 90 graus, chamamos esse ângulo de ângulo agudo. Por outro lado, quando um dos ângulos do triângulo é maior que 90 graus, ele é chamado de ângulo obtuso.

As características de um triângulo com um ângulo agudo e um ângulo obtuso incluem a presença de pelo menos um ângulo menor que 90 graus e pelo menos um ângulo maior que 90 graus. Isso significa que esse tipo de triângulo não pode ser um triângulo equilátero, já que todos os ângulos de um triângulo equilátero são iguais e menores que 90 graus.

Algumas propriedades de um triângulo com um ângulo agudo e um ângulo obtuso incluem a soma dos três ângulos sempre totalizando 180 graus, a relação entre os lados e os ângulos de acordo com as leis trigonométricas e a possibilidade de calcular a área do triângulo utilizando a fórmula de Herão.

Função overjective: definição, propriedades, exemplos.

Função overjective: uma função é considerada sobrejetiva (ou surjetiva) quando todo elemento do conjunto de chegada é a imagem de pelo menos um elemento do conjunto de partida. Em outras palavras, a função é sobrejetiva se ela “atinge” todos os elementos do conjunto de chegada.

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Alguns exemplos de funções sobrejetivas incluem a função f(x) = x^2, a função g(x) = 2x + 1 e a função h(x) = sen(x). Nestes casos, todos os valores do conjunto de chegada podem ser obtidos a partir de valores específicos do conjunto de partida, tornando as funções sobrejetivas.

As propriedades de uma função sobrejetiva incluem a existência de pelo menos um elemento no conjunto de partida que mapeia para cada elemento no conjunto de chegada, a possibilidade de encontrar a imagem inversa de um elemento do conjunto de chegada e a garantia de que a função é sobrejetiva se e somente se ela for sobrejetiva.

Triângulo com um ângulo de 90 graus.

Um triângulo com um ângulo de 90 graus é conhecido como um triângulo retângulo. Neste tipo de triângulo, um dos ângulos internos mede exatamente 90 graus, formando assim um quadrado em uma das suas esquinas. O lado oposto ao ângulo de 90 graus é chamado de hipotenusa, enquanto os outros dois lados são chamados de catetos.

Função overjective: definição, propriedades, exemplos.

Uma função é considerada overjective quando ela é sobrejetora, ou seja, quando todos os elementos do conjunto de chegada estão relacionados a pelo menos um elemento do conjunto de partida. Em outras palavras, a função cobre todo o conjunto de chegada sem deixar nenhum elemento de fora.

Uma propriedade importante das funções overjectives é que elas podem ter mais de um elemento do domínio associado a um mesmo elemento do contradomínio. Isso significa que a função não precisa ser uma correspondência um para um.

Um exemplo simples de função overjective é a função f(x) = x^2, onde o conjunto de partida e o conjunto de chegada são ambos os números reais. Neste caso, todo número real positivo tem pelo menos uma raiz quadrada real associada a ele, tornando a função overjective.

Função overjective: definição, propriedades, exemplos

Uma função superjetiva é qualquer relacionamento em que cada elemento pertencente ao codomain é uma imagem de pelo menos um elemento do domínio. Também conhecida como função concluída , elas fazem parte da classificação de funções com relação à maneira como seus elementos estão relacionados.

Por exemplo, uma função F: AB definida por F (x) = 2x

Que lê ” F que vai de A a B definido por F (x) = 2x”

Toque para definir os conjuntos de partidas e chegadas A e B.

R: {1, 2, 3, 4, 5} Agora, os valores ou imagens que cada um desses elementos lançará quando avaliados em F serão os elementos do codomain.

F (1) = 2

F (2) = 4

F (3) = 6

F (4) = 8

F (5) = 10

Assim formando o conjunto B: {2, 4, 6, 8, 10}

Pode-se concluir então que:

F: {1, 2, 3, 4, 5}{2, 4, 6, 8, 10} definido por F (x) = 2x É uma função de overjective

Cada elemento do co-domínio deve resultar de pelo menos uma operação da variável independente através da função em questão. Não há limitação de imagens, um elemento do codomain pode ser uma imagem de mais de um elemento do domínio e continuar a ser uma função superjetiva .

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A imagem mostra 2 exemplos com funções superativas .

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Fonte: Autor

O primeiro é observado que as imagens podem ser encaminhados para o mesmo elemento, sem que tal comprometa o surjectivity função.

No segundo, vemos uma distribuição equitativa entre domínio e imagens. Isso dá origem à função bijetiva , onde os critérios de função injetiva e função superativa devem ser atendidos .

Outro método para identificar funções superjetivas é verificar se o codomain é igual ao intervalo da função. Isso significa que, se o conjunto de chegadas for igual às imagens fornecidas pela função ao avaliar a variável independente, a função será superjetiva.

Propriedades

Para considerar uma função como superjetiva, o seguinte deve ser cumprido:

Seja F: D fC f

∀ b ℮ C f E a ℮ D f / F (a) = b

Esta é a maneira algébrica de estabelecer que, para cada “b” que pertence a C f, existe um “a” que pertence a D f, de modo que a função F avaliada em “a” é igual a “b”.

O excesso de atividade é uma peculiaridade de funções, onde o codomain e o alcance são semelhantes. Assim, os elementos avaliados na função compõem o conjunto de chegadas.

Função Condicionamento

Às vezes, uma função que não é superjetiva pode sofrer certas condições. Essas novas condições podem transformá-lo em uma função superjetiva.

Todos os tipos de modificações no domínio e co-domínio da função são válidos, onde o objetivo é cumprir as propriedades de atividade excessiva no relacionamento correspondente.

Exemplos: exercícios resolvidos

Para cumprir as condições de superjetividade , diferentes técnicas de condicionamento devem ser aplicadas, com o objetivo de garantir que cada elemento do codomain esteja dentro do conjunto de imagens da função.

Exercício 1

  • Seja a função F: RR definida pela linha F (x) = 8 – x

A: [todos os números reais]

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Fonte: autor

Nesse caso, a função descreve uma linha contínua, que abrange todos os números reais em seu domínio e intervalo. Porque o intervalo da função de R f é igual a codomain R pode-se concluir que:

F: RR definido pela linha F (x) = 8 – x é uma função superjetiva.

Isso se aplica a todas as funções lineares (funções cujo maior grau de variável é um).

Exercício 2

  • Estude a função F: RR definida por F (x) = x 2 : Defina se é uma função com excesso de objetivo . Caso contrário, mostre as condições necessárias para torná-lo hiperativo.

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Fonte: autor

A primeira coisa a considerar é o codomain de F , composto por números reais R. Não há como a função gerar valores negativos, o que exclui os reais negativos das possíveis imagens.

Acondicionar o codomain no intervalo [0, ]. Evite deixar elementos do codomain não relacionados com F.

As imagens são repetidas para pares da variável independente, como x = 1 e x = – 1. Mas isso só afeta a injetividade da função, não será um problema para este estudo.

Desta forma, pode-se concluir que:

F: R[0, ∞ ) definido por F (x) = x 2 É uma função de overjective

Exercício 3

  • CoDominium definir as condições que sobrejetivo funções

F: RR definido por F (x) = Sen (x)

F: RR definido por F (x) = Cos (x)

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Fonte: Autor
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Fonte: Autor

O comportamento das funções trigonométricas é semelhante ao das ondas, sendo muito comum encontrar repetições da variável dependente entre as imagens. Também na maioria dos casos, o alcance da função é limitado a um ou mais setores da linha real.

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É o caso das funções Seno e Cosseno. Onde seus valores flutuam no intervalo [-1, 1]. Esse intervalo deve condicionar o codomain para atingir a atividade excessiva da função.

F: R[-1, 1] definido por F (x) = Sen (x) É uma função superjetiva

F: R[-1, 1] definido por F (x) = Cos (x) É uma função superjetiva

Exercício 4

  • Estude a função

F: [0, ∞ )R definido por F (x) = ± √x denota se é uma função superjetiva

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Fonte: Autor

A função F (x) = ± √x tem a particularidade que define 2 variáveis ​​dependentes para cada valor de “x”. Ou seja, o intervalo recebe 2 elementos para cada um que é criado no domínio. Um valor positivo e negativo deve ser verificado para cada valor de “x”.

Ao observar o conjunto inicial, note-se que o domínio já foi restrito, para evitar as indeterminações produzidas pela avaliação de um número negativo dentro de uma raiz uniforme.

Ao verificar o intervalo da função, observe-se que cada valor do codomain pertence ao intervalo.

Desta forma, pode-se concluir que:

F: [0, ∞ )R definido por F (x) = ± √x É uma função de overjective

Exercício 4

  • Estude a função F (x) = Ln x denota se é uma função superjetiva . Condicione os conjuntos de chegada e partida para adaptar a função aos critérios de superatividade.

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Fonte: Autor

Conforme mostrado no gráfico, a função F (x) = Ln x é definida para os valores de “x” maiores que zero. Enquanto os valores de “e” ou as imagens podem ter qualquer valor real.

Dessa forma, podemos restringir o domínio de F (x) = ao intervalo (0, )

Enquanto o intervalo da função pode ser mantido como o conjunto de números reais R.

Considerando isso, pode-se concluir que:

F: [0, ∞ )R definido por F (x) = Ln x É uma função superjetiva

Exercício 5

  • Estude a função de valor absoluto F (x) = | x e designar conjuntos de chegadas e partidas que atendam aos critérios de atividade excessiva.

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Fonte: Autor

O domínio da função é cumprido para todos os números reais R. Desse modo, o único condicionamento deve ser realizado no codomain, levando em consideração que a função de valor absoluto aceita apenas valores positivos.

Prosseguimos para estabelecer a codificação da função igual ao intervalo da mesma

[0, )

Agora pode-se concluir que:

F: [0, ∞ )R definido por F (x) = | x É uma função superjetiva

Exercícios propostos

  1. Verifique se as seguintes funções estão sobjetivas:
  • F: (0, ∞ )R definido por F (x) = Log (x + 1)
  • F: RR definido por F (x) = x 3
  • F: R[1, ∞ ) definido por F (x) = x 2 + 1
  • [0, ∞ )R definido por F (x) = Log (2x + 3)
  • F: RR definido por F (x) = Sec x
  • F: R – {0}R definido por F (x) = 1 / x

Referências

  1. Introdução ao pensamento lógico e crítico. Merrilee H. Salmon. Universidade de Pittsburgh
  2. Problemas em Análise Matemática. Piotr Biler, Alfred Witkowski. Universidade de Wroclaw. Polônia
  3. Elementos de análise abstrata. Médico O’Searcoid PhD. Departamento de Matemática. Faculdade universitária de Dublin, Beldfield, Dublind 4
  4. Introdução à Lógica e à Metodologia das Ciências Dedutivas. Alfred Tarski, Nova Iorque, Oxford. Imprensa da Universidade de Oxford.
  5. Princípios de análise matemática. Enrique Linés Escardó. Editorial Reverté S. A 1991. Barcelona Espanha.

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