Modelo atômico de Dirac Jordan: características e postulados

Modelo atômico de Dirac Jordan: características e postulados

O modelo atômico de Dirac-Jordan é a generalização relativística do operador hamiltoniano na equação que descreve a função de onda quântica do elétron. Diferentemente do modelo anterior, o de Schrodinger, não é necessário impor o spin usando o princípio de exclusão de Pauli, pois ele aparece naturalmente.

Além disso, o modelo de Dirac-Jordan incorpora correções relativísticas, interação spin-órbita e o termo de Darwin, que explica a estrutura fina dos níveis de elétrons do átomo.

A partir de 1928, os cientistas Paul AM Dirac (1902-1984) e Pascual Jordan (1902-1980) começaram a generalizar a mecânica quântica desenvolvida por Schrodinger para incluir as correlações de relatividade especial de Einstein.

O Dirac parte da equação de Schrodinger, que consiste em um operador diferencial, chamado Hamiltoniano, que opera em uma função conhecida como função de onda de elétrons . No entanto, Schrodinger não levou em consideração os efeitos relativísticos.

As soluções da função de onda permitem calcular as regiões onde, com algum grau de probabilidade, o elétron será encontrado ao redor do núcleo. Essas regiões ou zonas são chamadas orbitais e dependem de certos números quânticos discretos, que definem a energia e o momento angular do elétron. 

Postulados

Nas teorias da mecânica quântica, relativísticas ou não, não há conceito de órbita, pois nem a posição nem a velocidade do elétron podem ser especificadas simultaneamente. Além disso, especificar uma das variáveis ​​leva a uma imprecisão total na outra.

Por sua parte, o Hamiltoniano é um operador matemático que atua na função de ondas quânticas e é construído a partir da energia do elétron. Por exemplo, um elétron livre tem energia total E que depende de seu momento linear p como este:

E = ( p 2 ) / 2 m

Para construir o Hamiltoniano, partimos dessa expressão e substituímos p pelo operador quântico por momento: 

p = -i ∂ ∂ / ∂ r 

É importante notar que os termos p e p são diferentes, pois o primeiro é o momento e o outro é o operador diferencial associado ao momento. 

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Além disso, i é a unidade imaginária e constant a constante de Planck dividida por 2π, sendo assim obtido o operador hamiltoniano H do elétron livre:

H = (ħ 2 / 2m) ∂ 2  / ∂ r 2 

Para encontrar o Hamiltoniano do elétron no átomo, adicionamos a interação do elétron com o núcleo: 

H = (ħ 2 / 2m) ∂ 2  / ∂ r 2   – e Φ (r)

Na expressão anterior -e é a carga elétrica do elétron e Φ (r) o potencial eletrostático produzido pelo núcleo central.

Agora, o operador H atua na função de onda ψ de acordo com a equação de Schrodinger, que é escrita assim:

H ψ = (i ħ ∂ / ∂t) ψ

Os quatro postulados de Dirac

Primeiro postulado :  a equação da onda relativística tem a mesma estrutura da equação da onda de Schrodinger, o que muda é o H:

H ψ = (i ħ ∂ / ∂t) ψ

Segundo postulado : O operador hamiltoniano é construído com base na relação momento-energia de Einstein, que é escrita assim:

E = (m 2 c 4 + p 2  c 2 ) 1/2

Na relação anterior, se a partícula tem momento p = 0, temos a famosa equação E = mc 2 que relaciona a energia restante de qualquer partícula de massa m com a velocidade da luz c.

Terceiro postulado : Para obter o operador hamiltoniano, é usada a mesma regra de quantização usada na equação de Schrodinger:

p = -i ∂ ∂ / ∂ r

No começo, não estava claro como lidar com esse operador diferencial agindo dentro de uma raiz quadrada, então Dirac decidiu obter um operador hamiltoniano linear no operador de momento e daí emergiu seu quarto postulado.

Quarto Postulado : Para se livrar da raiz quadrada na fórmula da energia relativística, Dirac propôs a seguinte estrutura para E 2 :

Obviamente, é necessário determinar os coeficientes alfa (α0, α1, α2, α3) para que isso ocorra.

Equação de Dirac

Em sua forma compacta, a equação de Dirac é considerada uma das mais belas equações matemáticas do mundo:

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E é então que fica evidente que as constantes alfa não podem ser quantidades escalares. A única maneira de cumprir a igualdade do quarto postulado é que são matrizes 4 × 4 constantes, conhecidas como matrizes Dirac :

Observa-se imediatamente que a função de onda deixa de ser uma função escalar e se torna um vetor de quatro componentes chamado spinor :

O átomo de Dirac-Jordan

Para obter o modelo atômico, é necessário passar da equação do elétron livre para a do elétron no campo eletromagnético produzido pelo núcleo atômico. Essa interação é levada em consideração pela incorporação do potencial escalar Φ e do potencial vetorial A no Hamiltoniano:

A função de onda (spinor) resultante da incorporação deste Hamiltoniano tem as seguintes características: 

– Cumpre a relatividade especial, uma vez que leva em consideração a energia intrínseca do elétron (primeiro termo do Hamiltoniano relativístico)

– Possui quatro soluções correspondentes aos quatro componentes do spinor

– As duas primeiras soluções correspondem uma para girar + ½ e a outra para girar – ½ 

– Finalmente, as outras duas soluções prevêem a existência de antimatéria, uma vez que correspondem à dos pósitrons de spin opostos.

A grande vantagem da equação de Dirac é que as correções ao Hamiltoniano básico de Schrodinger H (o) podem ser divididas em vários termos que mostraremos abaixo:

Na expressão anterior V é o potencial escalar, uma vez que o vetor potencial A é nulo se assumirmos o próton central estacionário e, portanto, ele não aparece.

A razão pela qual as correções de Dirac às soluções de Schrodinger na função de ondas são sutis. Eles decorrem do fato de que os três últimos termos do Hamiltoniano corrigido são todos divididos pela velocidade c da luz ao quadrado, um número imenso, o que torna esses termos numericamente pequenos.

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Correções relativísticas no espectro de energia

Usando a equação de Dirac-Jordan, são encontradas correções no espectro de energia do elétron no átomo de hidrogênio. Correções para a energia em átomos com mais de um elétron também são encontradas aproximadamente através de uma metodologia conhecida como teoria das perturbações.

Da mesma forma, o modelo de Dirac permite encontrar a correção da estrutura fina nos níveis de energia do hidrogênio. 

No entanto, correções ainda mais sutis, como estrutura hiperfina e deslocamento de Lamb, são obtidas a partir de modelos mais avançados, como a teoria quântica de campos , que nasce precisamente das contribuições do modelo Dirac.

A figura a seguir mostra como são as correções relativísticas de Dirac aos níveis de energia:

Por exemplo, soluções para a equação de Dirac preveem corretamente uma mudança observada no nível 2s. É a conhecida correção da estrutura fina na linha Lyman-alfa do espectro de hidrogênio (veja a figura 3).

Aliás, estrutura fina é o nome dado na física atômica à divisão das linhas do espectro de emissão de átomos, o que é uma conseqüência direta do spin eletrônico.

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Referências

  1. Teoria atômica. Recuperado de wikipedia.org.
  2. Momento Magnético Eletrônico. Recuperado de wikipedia.org.
  3. Quanta: Um manual de conceitos. (1974). Imprensa da Universidade de Oxford. Recuperado de Wikipedia.org.
  4. Modelo atômico de Dirac Jordan. Recuperado de prezi.com.
  5. O novo universo quântico. Cambridge University Press. Recuperado de Wikipedia.org.

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