O que são equações simultâneas? (exercícios resolvidos)

As equações simultâneas são essas equações que devem ser cumpridos simultaneamente. Portanto, para ter equações simultâneas, você deve ter mais de uma equação.

Quando você tem duas ou mais equações diferentes, que devem ter a mesma solução (ou as mesmas soluções), é dito que você tem um sistema de equações ou também é dito que você tem equações simultâneas.

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Quando você tem equações simultâneas, pode acontecer que elas não tenham soluções comuns ou tenham uma quantidade finita ou uma quantidade infinita.

Equações Simultâneas

Dadas duas equações diferentes Eq1 e Eq2, o sistema dessas duas equações é chamado de equações simultâneas.

Equações simultâneas concluem que se S é uma solução da Eq1, então S também é uma solução da Eq2 e vice-versa

Caracteristicas

Quando se trata de um sistema de equações simultâneas, você pode ter 2 equações, 3 equações ou N equações.

Os métodos mais comuns usados ​​para resolver equações simultâneas são: substituição, equalização e redução. Há também outro método chamado regra de Cramer, que é muito útil para sistemas com mais de duas equações simultâneas.

Um exemplo de equações simultâneas é o sistema

Eq1: x + y = 2

Eq2: 2x-y = 1

Pode-se notar que x = 0, y = 2 é uma solução da Eq1, mas não é uma solução da Eq2.

A única solução comum que ambas as equações têm é x = 1, y = 1. Ou seja, x = 1, y = 1 é a solução do sistema de equações simultâneas.

Exercícios resolvidos

Em seguida, prossiga para resolver o sistema de equações simultâneas mostradas acima, através dos 3 métodos mencionados.

Primeiro Exercício

Resolva o sistema de equações Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 usando o método de substituição.

Solução

O método de substituição consiste em limpar uma das incógnitas de uma das equações e depois substituí-la na outra equação. Neste caso particular, “y” pode ser apagado da Eq1 e y = 2-x é obtido.

Substituindo esse valor de «y» na Eq2, obtém-se que 2x- (2-x) = 1. Portanto, obtém-se que 3x-2 = 1, ou seja, x = 1.

Então, como o valor de x é conhecido, ele é substituído em «y» e obtém-se que y = 2-1 = 1.

Portanto, a única solução para o sistema de equações simultâneas Eq1 e Eq2 é x = 1, y = 1.

Segundo Exercício

Resolva o sistema de equações Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 usando o método de equalização.

Solução

O método de equalização consiste em limpar o mesmo mistério das duas equações e, em seguida, combinar as equações resultantes.

Apagar “x” de ambas as equações fornece que x = 2-y, e que x = (1 + y) / 2. Agora, essas duas equações são correspondidas e você obtém esse 2-y = (1 + y) / 2, do qual resulta que 4-2y = 1 + y.

Agrupar o “y” desconhecido do mesmo lado resulta em y = 1. Agora que “y” é conhecido, o valor de “x” é encontrado. Substituindo y = 1 resulta que x = 2-1 = 1.

Portanto, a solução comum entre as equações Eq1 e Eq2 é x = 1, y = 1.

Terceiro Exercício

Resolva o sistema de equações Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 usando o método de redução.

Solução

O método de redução consiste na multiplicação das equações dadas pelos coeficientes apropriados, de modo que, adicionando essas equações, uma das variáveis ​​é cancelada.

Neste exemplo em particular, não é necessário multiplicar nenhuma equação por nenhum coeficiente, basta adicioná-las. Ao adicionar Eq1 mais Eq2, obtém-se 3x = 3, onde obtém-se x = 1.

Ao avaliar x = 1 na Eq1, obtemos aquele 1 + y = 2, do qual resulta que y = 1.

Portanto, x = 1, y = 1 é a única solução das equações simultâneas Eq1 e Eq2.

Quarto Exercício

Resolva o sistema de equações simultâneas Eq1: 2x-3y = 8 e Eq2: 4x-3y = 12.

Solução

Neste exercício, nenhum método específico é necessário; portanto, o método mais confortável para cada leitor pode ser aplicado.

Nesse caso, o método de redução será usado. Multiplicando Eq1 por -2, você obtém a equação Eq3: -4x + 6y = -16. Agora, adicionar Eq3 e Eq2 fornece 3y = -4, portanto y = -4 / 3.

Agora, ao avaliar y = -4 / 3 na Eq1, obtém-se que 2x-3 (-4/3) = 8, onde 2x + 4 = 8, portanto, x = 2.

Em conclusão, a única solução para o sistema de equações simultâneas Eq1 e Eq2 é x = 2, y = -4 / 3.

Observação

Os métodos descritos neste artigo podem ser aplicados a sistemas com mais de duas equações simultâneas.

Quanto mais equações e mais incógnitas existir, o procedimento para resolver o sistema é mais complicado.

Qualquer método de solução de sistemas de equações produzirá as mesmas soluções, ou seja, as soluções não dependem do método aplicado.

Referências

  1. Fuentes, A. (2016). MATEMÁTICA BÁSICA. Uma introdução ao cálculo. Lulu.com
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  3. Haeussler, EF, e Paul, RS (2003). Matemática para administração e economia. Pearson Education.
  4. Jimenez, J., Rodriguez, M., & Estrada, R. (2005). Matemática 1 SEP. Limiar
  5. Preciado, CT (2005). Curso de Matemática 3º. Editorial Progreso.
  6. Rock, NM (2006). Álgebra eu sou fácil! Tão fácil. Team Rock Press
  7. Sullivan, J. (2006). Álgebra e Trigonometria. Pearson Education.

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