Equações simultâneas são um conjunto de duas ou mais equações que devem ser resolvidas ao mesmo tempo, com o objetivo de encontrar os valores das variáveis que satisfazem todas as equações. Essas equações podem ser lineares ou não lineares e são frequentemente utilizadas para resolver problemas que envolvem diferentes variáveis interligadas.
Neste artigo, iremos explorar alguns exercícios resolvidos de equações simultâneas, demonstrando passo a passo como encontrar a solução para cada sistema de equações apresentado. Vamos abordar diferentes métodos de resolução, como substituição, eliminação e matriz, para ajudá-lo a compreender e dominar esse importante conceito da matemática.
Solução prática para resolver sistemas de equações matemáticas de forma simples e eficiente.
Equações simultâneas são sistemas de equações matemáticas que possuem mais de uma incógnita. Resolver esses sistemas pode parecer complicado à primeira vista, mas com as técnicas corretas, é possível encontrar a solução de forma simples e eficiente.
Uma maneira prática de resolver sistemas de equações simultâneas é utilizando o método da substituição. Neste método, isolamos uma das incógnitas em uma das equações e substituímos o seu valor nas outras equações. Com isso, conseguimos reduzir o sistema a equações mais simples, que podem ser resolvidas facilmente.
Vamos exemplificar com um sistema de equações simples:
2x + 3y = 8
x – y = 1
Primeiro, isolamos a incógnita x na segunda equação:
x = y + 1
Em seguida, substituímos esse valor na primeira equação:
2(y + 1) + 3y = 8
2y + 2 + 3y = 8
5y + 2 = 8
5y = 6
y = 6/5
Agora, substituímos o valor de y na equação x = y + 1:
x = 6/5 + 1
x = 11/5
Portanto, a solução para esse sistema de equações é x = 11/5 e y = 6/5.
Com a prática e o domínio dessas técnicas, resolver equações simultâneas se torna uma tarefa mais simples e eficiente, permitindo a resolução de problemas mais complexos de forma rápida e precisa.
Entenda como funcionam os sistemas de equações e veja exemplos práticos de aplicação.
Os sistemas de equações são conjuntos de equações que possuem mais de uma incógnita em comum. Eles são muito utilizados em diversas áreas, como matemática, física, engenharia, entre outras, para resolver problemas que envolvem mais de uma variável.
Quando temos um sistema de equações, buscamos encontrar os valores das incógnitas que satisfazem todas as equações simultaneamente. Para isso, utilizamos métodos como substituição, eliminação e o método da matriz inversa.
Um exemplo prático de aplicação dos sistemas de equações é na resolução de problemas envolvendo custos e receitas. Suponha que uma empresa venda dois tipos de produtos, A e B, e que o custo de produção de cada unidade de A seja de R$ 5,00 e de B seja de R$ 3,00. Se a empresa vendeu um total de 100 unidades e arrecadou R$ 700,00, podemos montar um sistema de equações para encontrar quantas unidades de cada produto foram vendidas.
Vamos chamar de x o número de unidades de A e de y o número de unidades de B. Assim, temos o sistema de equações:
5x + 3y = 700 (equação da receita)
x + y = 100 (equação do total de unidades)
Para resolver esse sistema, podemos utilizar o método da substituição ou da eliminação. Vamos resolver utilizando o método da substituição:
1. Isolamos uma das incógnitas em uma das equações. Vamos isolar x na segunda equação:
x = 100 – y
2. Substituímos o valor de x na primeira equação:
5(100 – y) + 3y = 700
500 – 5y + 3y = 700
-2y = 200
y = 100
Agora que encontramos o valor de y, podemos substituí-lo na equação x = 100 – y para encontrar o valor de x:
x = 100 – 100
x = 0
Portanto, a empresa vendeu 0 unidades do produto A e 100 unidades do produto B.
Os sistemas de equações são ferramentas poderosas para resolver problemas complexos que envolvem mais de uma variável. Com a prática e o domínio dos métodos de resolução, é possível solucionar problemas de forma eficiente e precisa.
Conheça os diferentes métodos de resolução de equações matemáticas de forma eficiente.
Equações simultâneas são um conjunto de equações que devem ser resolvidas ao mesmo tempo, ou seja, todas as equações devem ser satisfeitas para encontrar as soluções do sistema. Geralmente, essas equações são representadas por variáveis e coeficientes que precisam ser determinados.
Existem diferentes métodos para resolver equações simultâneas, sendo os mais comuns o método da adição, o método da substituição e o método da comparação. Cada um desses métodos possui suas próprias vantagens e desvantagens, por isso é importante escolher o mais adequado para cada situação.
No método da adição, as equações são somadas para eliminar uma das variáveis e encontrar o valor da outra variável. Já no método da substituição, uma das equações é resolvida em termos de uma variável e depois essa expressão é substituída na segunda equação. Por fim, no método da comparação, as duas equações são igualadas e os valores das variáveis são encontrados.
Para exemplificar, vamos resolver o seguinte sistema de equações simultâneas:
2x + y = 7
3x – y = 1
Utilizando o método da adição, somamos as duas equações:
2x + y + 3x – y = 7 + 1
5x = 8
x = 8/5
Substituindo o valor de x na primeira equação, encontramos o valor de y:
2(8/5) + y = 7
16/5 + y = 7
y = 7 – 16/5
y = 35/5 – 16/5
y = 19/5
Portanto, a solução para o sistema de equações é x = 8/5 e y = 19/5.
Como usar o método da substituição para resolver problemas matemáticos de forma eficaz.
O método da substituição é uma técnica utilizada para resolver equações simultâneas de forma eficaz. Equações simultâneas são equações que possuem mais de uma incógnita e precisam ser resolvidas ao mesmo tempo.
Para resolver essas equações, o método da substituição consiste em isolar uma das incógnitas em uma das equações e substituir o seu valor nas outras equações. Dessa forma, é possível encontrar os valores das incógnitas de forma mais simples e direta.
Por exemplo, considere o sistema de equações:
2x + y = 5
x – y = 1
Para resolver esse sistema utilizando o método da substituição, podemos isolar a variável y na segunda equação:
x = y + 1
Em seguida, substituímos esse valor na primeira equação:
2(y + 1) + y = 5
2y + 2 + y = 5
3y + 2 = 5
3y = 3
y = 1
Agora que encontramos o valor de y, podemos substituí-lo na segunda equação para encontrar o valor de x:
x – 1 = 1
x = 2
Portanto, a solução para esse sistema de equações é x = 2 e y = 1.
Utilizando o método da substituição, é possível resolver problemas matemáticos de forma eficaz, simplificando o processo de encontrar as soluções para equações simultâneas.
O que são equações simultâneas? (exercícios resolvidos)
As equações simultâneas são essas equações que devem ser cumpridos simultaneamente. Portanto, para ter equações simultâneas, você deve ter mais de uma equação.
Quando você tem duas ou mais equações diferentes, que devem ter a mesma solução (ou as mesmas soluções), é dito que você tem um sistema de equações ou também é dito que você tem equações simultâneas.
Quando você tem equações simultâneas, pode acontecer que elas não tenham soluções comuns ou tenham uma quantidade finita ou uma quantidade infinita.
Equações Simultâneas
Dadas duas equações diferentes Eq1 e Eq2, o sistema dessas duas equações é chamado de equações simultâneas.
Equações simultâneas concluem que se S é uma solução da Eq1, então S também é uma solução da Eq2 e vice-versa
Caracteristicas
Quando se trata de um sistema de equações simultâneas, você pode ter 2 equações, 3 equações ou N equações.
Os métodos mais comuns usados para resolver equações simultâneas são: substituição, equalização e redução. Há também outro método chamado regra de Cramer, que é muito útil para sistemas com mais de duas equações simultâneas.
Um exemplo de equações simultâneas é o sistema
Eq1: x + y = 2
Eq2: 2x-y = 1
Pode-se notar que x = 0, y = 2 é uma solução da Eq1, mas não é uma solução da Eq2.
A única solução comum que ambas as equações têm é x = 1, y = 1. Ou seja, x = 1, y = 1 é a solução do sistema de equações simultâneas.
Exercícios resolvidos
Em seguida, prossiga para resolver o sistema de equações simultâneas mostradas acima, através dos 3 métodos mencionados.
Primeiro Exercício
Resolva o sistema de equações Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 usando o método de substituição.
Solução
O método de substituição consiste em limpar uma das incógnitas de uma das equações e depois substituí-la na outra equação. Neste caso particular, “y” pode ser apagado da Eq1 e y = 2-x é obtido.
Substituindo esse valor de «y» na Eq2, obtém-se que 2x- (2-x) = 1. Portanto, obtém-se que 3x-2 = 1, ou seja, x = 1.
Então, como o valor de x é conhecido, ele é substituído em «y» e obtém-se que y = 2-1 = 1.
Portanto, a única solução para o sistema de equações simultâneas Eq1 e Eq2 é x = 1, y = 1.
Segundo Exercício
Resolva o sistema de equações Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 usando o método de equalização.
Solução
O método de equalização consiste em limpar o mesmo mistério das duas equações e, em seguida, combinar as equações resultantes.
Apagar “x” de ambas as equações fornece que x = 2-y, e que x = (1 + y) / 2. Agora, essas duas equações são correspondidas e você obtém esse 2-y = (1 + y) / 2, do qual resulta que 4-2y = 1 + y.
Agrupar o “y” desconhecido do mesmo lado resulta em y = 1. Agora que “y” é conhecido, o valor de “x” é encontrado. Substituindo y = 1 resulta que x = 2-1 = 1.
Portanto, a solução comum entre as equações Eq1 e Eq2 é x = 1, y = 1.
Terceiro Exercício
Resolva o sistema de equações Eq1: x + y = 2, Eq2 = 2x-y = 1 usando o método de redução.
Solução
O método de redução consiste na multiplicação das equações dadas pelos coeficientes apropriados, de modo que, adicionando essas equações, uma das variáveis é cancelada.
Neste exemplo em particular, não é necessário multiplicar nenhuma equação por nenhum coeficiente, basta adicioná-las. Ao adicionar Eq1 mais Eq2, obtém-se 3x = 3, onde obtém-se x = 1.
Ao avaliar x = 1 na Eq1, obtemos aquele 1 + y = 2, do qual resulta que y = 1.
Portanto, x = 1, y = 1 é a única solução das equações simultâneas Eq1 e Eq2.
Quarto Exercício
Resolva o sistema de equações simultâneas Eq1: 2x-3y = 8 e Eq2: 4x-3y = 12.
Solução
Neste exercício, nenhum método específico é necessário; portanto, o método mais confortável para cada leitor pode ser aplicado.
Nesse caso, o método de redução será usado. Multiplicando Eq1 por -2, você obtém a equação Eq3: -4x + 6y = -16. Agora, adicionar Eq3 e Eq2 fornece 3y = -4, portanto y = -4 / 3.
Agora, ao avaliar y = -4 / 3 na Eq1, obtém-se que 2x-3 (-4/3) = 8, onde 2x + 4 = 8, portanto, x = 2.
Em conclusão, a única solução para o sistema de equações simultâneas Eq1 e Eq2 é x = 2, y = -4 / 3.
Observação
Os métodos descritos neste artigo podem ser aplicados a sistemas com mais de duas equações simultâneas.
Quanto mais equações e mais incógnitas existir, o procedimento para resolver o sistema é mais complicado.
Qualquer método de solução de sistemas de equações produzirá as mesmas soluções, ou seja, as soluções não dependem do método aplicado.
Referências
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