Funções trigonométricas inversas: valor, derivadas, exemplos, exercícios

Funções trigonométricas inversas: valor, derivadas, exemplos, exercícios

As funções trigonométricas inversas , como o nome indica,  são as funções inversas correspondentes das funções seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante.

Funções trigonométricas inversas são indicadas pelo mesmo nome que sua função trigonométrica direta correspondente mais o prefixo do arco . Desta forma:

1.- arcsen (x) é a função trigonométrica inversa da função sin (x)

2.- arccos (x) é a função trigonométrica inversa da função cos (x)

3.- arctan (x) é a função trigonométrica inversa da função tan (x)

4.- arccot ​​(x) é a função trigonométrica inversa da função cot (x)

5.- arcsec (x) é a função trigonométrica inversa da função sec (x)

6.- arccsc (x) é a função trigonométrica inversa da função csc (x)

A função θ = arcsen (x) resulta em um arco unitário θ (ou ângulo em radianos θ ) tal que sin (θ) = x .

Assim, por exemplo, arcsen (√3 / 2) = π / 3, pois, como é conhecido, o seno de π / 3 radianos é igual a √3 / 2.

Valor principal das funções trigonométricas inversas

Para que uma função matemática f (x) tenha um inverso g (x) = f -1 (x), é necessário que a referida função seja injetiva , o que significa que cada valor y do conjunto de chegada da função f (x) vem de um e apenas um valor x.

É claro que esse requisito não é cumprido por nenhuma função trigonométrica. Para esclarecer o ponto, observe que o valor  y = 0,5 pode ser obtido da função seno das seguintes maneiras:

  • sin (π / 6) = 0,5
  • sin (5π / 6) = 0,5
  • sin (7π / 6) = 0,5

E muito mais, uma vez que a função seno é periódica com o período 2π.

Para definir as funções trigonométricas inversas, é necessário restringir o domínio de suas funções trigonométricas diretas correspondentes, para que elas atendam aos requisitos de injetividade .

Relacionado:  Qual é o maior fator comum de 4284 e 2520?

Esse domínio restrito da função direta será o intervalo ou ramo principal de sua função inversa correspondente.

Tabela de domínios e intervalos de funções trigonométricas inversas

Derivadas de funções trigonométricas inversas

Para obter as derivadas das funções trigonométricas inversas, são aplicadas as propriedades das derivadas, em particular a derivada de uma função inversa.

Se denotarmos por f (y) a função e por f -1 (x) sua função inversa, a derivada da função inversa será relacionada à derivada da função direta pela seguinte relação:

[f -1 (x)] ‘= 1 / f’ [f -1 (x)]

Por exemplo: se x = f (y) = √y é a função direta, seu inverso será

y = f -1 (x) = x 2 . Vamos aplicar a regra da derivada inversa neste caso simples para ver se essa regra é realmente verdadeira:

[x 2 ] ‘= 1 / [√y]’ = 1 / (½ e  = 2 e ½ = 2 (x 2 ) ½ = 2x 

Bem, podemos usar esse truque para encontrar as derivadas das funções trigonométricas inversas.

Por exemplo, tomamos θ = arcsen (x) como a função direta; portanto, sua função inversa será sin (θ) = x .

[arcsen (x)] ‘= 1 / [sin (θ)]’ = 1 / cos (θ) = 1 / √ (1 – sin (θ) 2 ) =…

… = 1 / √ (1 – x 2 ).

Dessa forma, todas as derivadas das funções trigonométricas inversas podem ser obtidas, as quais são mostradas abaixo:

Essas derivadas são válidas para qualquer argumento z pertencente a números complexos e, portanto, também são válidas para qualquer argumento real x, pois z = x + 0i.

Exemplos

– Exemplo 1

Encontre arctan (1).

Solução

O arctan (1) é o arco unitário (ângulo em radianos) ፀ tal que o tan (ፀ) = 1. Esse ângulo é ፀ = π / 4 porque tan (π / 4) = 1. Então arctan (1) = π / 4

– exemplo 2

Calcule arco (s) (cos (π / 3)).

Relacionado:  Paralelepípedo: características, tipos, área, volume

Solução

O ângulo π / 3 radianos é um ângulo notável cujo cosseno é ½, então o problema é reduzido para encontrar o arco (½).

Portanto, trata-se de descobrir qual é o ângulo cujo seno dá ½. Esse ângulo é π / 6, uma vez que sin (π / 6) = sin (30º) = ½. Portanto arcsen (cos (π / 3)) = π / 6. 

Exercícios

– Exercício 1

Encontre o resultado da seguinte expressão:

sec (arctan (3)) + csc (arccot ​​(4))

Solução

Começamos nomeando α = arctan (3) e β = arccot ​​(4). Portanto, a expressão que temos que calcular fica assim:

sec (α) + csc (β)

A expressão α = arctan (3) é equivalente a dizer tan (α) = 3.

Como a tangente é a perna oposta sobre a adjacente, são construídos 3 unidades de triângulo oposto a α e 1 unidade adjacente, de modo que tan (α) = 3/1 = 3.

Em um triângulo retângulo, a hipotenusa é determinada pelo teorema de Pitágoras. Com estes valores √10 resulta, para que:

sec (α) = hipotenusa / perna adjacente = √10 / 1 = √10.

Da mesma forma β = arccot ​​(4) é equivalente a afirmar que o berço (β) = 4.

Construa um triângulo da perna direita de 4 unidades adjacente a β e 1 unidade da perna oposta, de modo que o berço (β) = 4/1.

O triângulo é completado imediatamente, encontrando sua hipotenusa, graças ao teorema de Pitágoras. Neste caso, acabou por ter √17 unidades. Então o csc (β) = hipotenusa / perna oposta = √17 / 1 = √17 é calculado.

Lembrando que a expressão que devemos calcular é: 

sec (arctan (3)) + csc (arccot ​​(4)) = sec (α) + csc (β) =…

… = √10 + √17 = 3,16 + 4,12 = 7,28.

– Exercício 2

Encontre as soluções de:

Cos (2x) = 1 – Sen (x)

Solução

Todas as funções trigonométricas precisam ser expressas no mesmo argumento ou ângulo. Usaremos a identidade do ângulo duplo:

Relacionado:  O que são ângulos alternativos externos? (com exemplos)

Cos (2x) = 1-2 Sen 2 (x)

Em seguida, a expressão original é reduzida para:

1 – 2 Sen 2 (x) = 1 – Sen x

Uma vez simplificado e fatorado, é expresso como:

sin (x) (2 sin (x) – 1) = 0

O que dá origem a duas equações possíveis: Sen (x) = 0 com solução x = 0 e outra equação sin (x) = ½ com x = π / 6 como solução.

As soluções para a equação proposta são: x = 0 ou x = π / 6.

– Exercício 3

Encontre as soluções da seguinte equação trigonométrica:

cos (x) = sin 2 (x)

Solução

Para resolver essa equação, é conveniente colocar um único tipo de função trigonométrica, portanto, usaremos a identidade trigonométrica fundamental para que a equação original seja reescrita da seguinte maneira:

cos (x) = 1 – cos 2 (x)

Se nomearmos y = cos (x), a expressão pode ser reescrita como:

y 2  + y – 1 = 0

É uma equação quadrática em y, cujas soluções são:

y = (-1 ± √5) / 2

Portanto, os valores de x que satisfazem a equação original são:

x = arccos ((-1 ± √5) / 2)

Sendo a solução real o sinal positivo x = 0,9046 rad = 51,83º.

A outra solução é complexa: x = (π – 1,06 i) rad.

Referências

  1. Hazewinkel, M. 1994. Encyclopaedia of Mathematics. Editores acadêmicos da Kluwer / Springer Science & Business Media. 
  2. Mate Mobile. Funções trigonométricas inversas. Recuperado de: matemovil.com
  3. Fórmulas do universo. Funções trigonométricas inversas. Recuperado de: universoformulas.com
  4. Weisstein, Eric W. Funções Trigonométricas Inversas. Recuperado de: mathworld.wolfram.com
  5. Wikipedia. Funções trigonométricas inversas. Recuperado de: en.wikipedia.com

Deixe um comentário

Este site usa cookies para lhe proporcionar a melhor experiência de usuário. política de cookies, clique no link para obter mais informações.

ACEPTAR
Aviso de cookies