Funções trigonométricas inversas: valor, derivadas, exemplos, exercícios

As funções trigonométricas inversas são funções que nos permitem encontrar o ângulo correspondente a um determinado valor de uma função trigonométrica. Neste contexto, as principais funções trigonométricas inversas são a arcoseno, arcocosseno, arcotangente, arcocotangente, arcosecante e arcocosecante.

Neste texto, iremos abordar o valor dessas funções, suas derivadas, exemplos de como utilizá-las e alguns exercícios para praticar e aprimorar o conhecimento sobre o assunto. As funções trigonométricas inversas são muito úteis em diversas áreas da matemática e da física, sendo essencial compreender seu funcionamento e aplicação. Vamos explorar esses conceitos e praticar para consolidar o aprendizado.

Funções trigonométricas inversas: o que são e como são utilizadas na matemática.

As funções trigonométricas inversas são funções que nos permitem encontrar o ângulo correspondente a um determinado valor de uma função trigonométrica. Elas são utilizadas para resolver equações trigonométricas, encontrar medidas de ângulos em triângulos e em diversas aplicações na física, engenharia e matemática.

As principais funções trigonométricas inversas são a função arco seno (sin^-1), a função arco cosseno (cos^-1) e a função arco tangente (tan^-1). Elas nos fornecem o ângulo cujo seno, cosseno ou tangente é igual a um determinado valor.

Para encontrar o valor das funções trigonométricas inversas, é importante lembrar que essas funções têm um domínio restrito. Por exemplo, a função arco seno tem domínio entre -π/2 e π/2, a função arco cosseno tem domínio entre 0 e π, e a função arco tangente tem domínio entre -π/2 e π/2.

As derivadas das funções trigonométricas inversas também são importantes, pois são úteis na resolução de problemas de otimização e na análise de funções trigonométricas. Por exemplo, a derivada da função arco seno é 1/√(1-x^2), a derivada da função arco cosseno é -1/√(1-x^2), e a derivada da função arco tangente é 1/(1+x^2).

Um exemplo de aplicação das funções trigonométricas inversas é a resolução da equação sen(x) = 1/2. Para encontrar o valor de x, podemos aplicar a função arco seno em ambos os lados da equação, resultando em x = arcsin(1/2) = π/6.

Para praticar o uso das funções trigonométricas inversas, podemos resolver alguns exercícios, como encontrar o valor de arco cosseno de 0, calcular a derivada da função arco tangente de x, ou resolver a equação arco seno de x = 1/√2.

Derivada da função Arcseno: como calcular e simplificar essa expressão matemática.

A função arco seno, denotada por arcsen(x) ou sin⁻¹(x), é uma das funções trigonométricas inversas. Ela representa o ângulo cujo seno é igual a x. A derivada da função arco seno pode ser calculada utilizando a regra da cadeia e a derivada do seno, de acordo com a seguinte fórmula:

(arcsen(x))’ = 1 / √(1 – x²)

Para simplificar a expressão, basta aplicar as propriedades de potenciação e simplificação de radicais. Por exemplo, se tivermos que derivar arcsen(2x), a derivada será:

(arcsen(2x))’ = 1 / √(1 – (2x)²) = 1 / √(1 – 4x²)

Assim, a derivada da função arco seno de 2x é 1 / √(1 – 4x²).

É importante lembrar que a função arco seno é definida apenas para valores de x no intervalo [-1, 1]. Qualquer outro valor resultará em erro matemático.

Para fixar o conhecimento, é recomendável praticar com exercícios que envolvam a derivada da função arco seno. Por exemplo, calcular a derivada de arcsen(3x) ou arcsen(1/2x), e depois simplificar a expressão resultante.

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Derivada do Arccos: Como encontrar a derivada da função arco cosseno.

Para encontrar a derivada da função arco cosseno, também conhecida como arccos, é importante lembrar da relação fundamental das funções trigonométricas inversas. A derivada da função arco cosseno pode ser encontrada utilizando a regra da cadeia.

A derivada da função arco cosseno, arccos(x), é dada por:

d/dx(arccos(x)) = -1 / (sqrt(1 – x^2))

Essa fórmula nos permite encontrar a taxa de variação da função arco cosseno em relação à sua variável independente. É importante lembrar que a derivada da função arco cosseno é sempre negativa devido à natureza decrescente da função cosseno no intervalo [0,π].

Para encontrar a derivada da função arco cosseno, basta aplicar a regra da cadeia e derivar a expressão interna da função. Em seguida, substitua o resultado na fórmula acima para obter a derivada completa.

Vamos agora ver um exemplo para ilustrar como encontrar a derivada da função arco cosseno:

Exemplo: Encontre a derivada da função y = arccos(2x).

Solução: Utilizando a regra da cadeia, derivamos a expressão interna da função, que é 2x. Em seguida, substituímos na fórmula da derivada da função arco cosseno:

d/dx(arccos(2x)) = -1 / (sqrt(1 – (2x)^2))

d/dx(arccos(2x)) = -1 / (sqrt(1 – 4x^2))

Portanto, a derivada da função y = arccos(2x) é dada por -1 / (sqrt(1 – 4x^2)).

Praticar exercícios de derivadas de funções trigonométricas inversas, como a função arco cosseno, é essencial para aprofundar o entendimento e a habilidade de encontrar derivadas de funções mais complexas.

Qual é a função inversa do seno?

A função inversa do seno é conhecida como arco seno ou seno inverso, representada pela notação arcsin. Ela é a inversa da função seno, o que significa que para um dado valor de y no intervalo [-1,1], o arco seno retorna o ângulo x no intervalo [-π/2,π/2] tal que sen(x) = y.

A função arco seno é uma função crescente, contínua e limitada que mapeia valores de -1 a 1 para ângulos de -π/2 a π/2. Sua derivada é dada por 1/√(1-x²).

Um exemplo de aplicação da função arco seno é na resolução de equações trigonométricas envolvendo o seno, onde precisamos encontrar os ângulos correspondentes aos valores dados. Por exemplo, se sen(x) = 0,5, então arco sen(0,5) = π/6.

Para praticar o uso da função arco seno, podemos resolver exercícios como encontrar os valores de arco seno de diferentes números ou resolver equações trigonométricas envolvendo o seno e o arco seno.

É uma função crescente, limitada e contínua, com uma derivada de 1/√(1-x²).

Funções trigonométricas inversas: valor, derivadas, exemplos, exercícios

Funções trigonométricas inversas: valor, derivadas, exemplos, exercícios

As funções trigonométricas inversas , como o nome indica,  são as funções inversas correspondentes das funções seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante.

Funções trigonométricas inversas são indicadas pelo mesmo nome que sua função trigonométrica direta correspondente mais o prefixo do arco . Desta forma:

1.- arcsen (x) é a função trigonométrica inversa da função sin (x)

2.- arccos (x) é a função trigonométrica inversa da função cos (x)

3.- arctan (x) é a função trigonométrica inversa da função tan (x)

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4.- arccot ​​(x) é a função trigonométrica inversa da função cot (x)

5.- arcsec (x) é a função trigonométrica inversa da função sec (x)

6.- arccsc (x) é a função trigonométrica inversa da função csc (x)

A função θ = arcsen (x) resulta em um arco unitário θ (ou ângulo em radianos θ ) tal que sin (θ) = x .

Assim, por exemplo, arcsen (√3 / 2) = π / 3, pois, como é conhecido, o seno de π / 3 radianos é igual a √3 / 2.

Valor principal das funções trigonométricas inversas

Para que uma função matemática f (x) tenha um inverso g (x) = f -1 (x), é necessário que a referida função seja injetiva , o que significa que cada valor y do conjunto de chegada da função f (x) vem de um e apenas um valor x.

É claro que esse requisito não é cumprido por nenhuma função trigonométrica. Para esclarecer o ponto, observe que o valor  y = 0,5 pode ser obtido da função seno das seguintes maneiras:

  • sin (π / 6) = 0,5
  • sin (5π / 6) = 0,5
  • sin (7π / 6) = 0,5

E muito mais, uma vez que a função seno é periódica com o período 2π.

Para definir as funções trigonométricas inversas, é necessário restringir o domínio de suas funções trigonométricas diretas correspondentes, para que elas atendam aos requisitos de injetividade .

Esse domínio restrito da função direta será o intervalo ou ramo principal de sua função inversa correspondente.

Tabela de domínios e intervalos de funções trigonométricas inversas

Derivadas de funções trigonométricas inversas

Para obter as derivadas das funções trigonométricas inversas, são aplicadas as propriedades das derivadas, em particular a derivada de uma função inversa.

Se denotarmos por f (y) a função e por f -1 (x) sua função inversa, a derivada da função inversa será relacionada à derivada da função direta pela seguinte relação:

[f -1 (x)] ‘= 1 / f’ [f -1 (x)]

Por exemplo: se x = f (y) = √y é a função direta, seu inverso será

y = f -1 (x) = x 2 . Vamos aplicar a regra da derivada inversa neste caso simples para ver se essa regra é realmente verdadeira:

[x 2 ] ‘= 1 / [√y]’ = 1 / (½ e  = 2 e ½ = 2 (x 2 ) ½ = 2x 

Bem, podemos usar esse truque para encontrar as derivadas das funções trigonométricas inversas.

Por exemplo, tomamos θ = arcsen (x) como a função direta; portanto, sua função inversa será sin (θ) = x .

[arcsen (x)] ‘= 1 / [sin (θ)]’ = 1 / cos (θ) = 1 / √ (1 – sin (θ) 2 ) =…

… = 1 / √ (1 – x 2 ).

Dessa forma, todas as derivadas das funções trigonométricas inversas podem ser obtidas, as quais são mostradas abaixo:

Essas derivadas são válidas para qualquer argumento z pertencente a números complexos e, portanto, também são válidas para qualquer argumento real x, pois z = x + 0i.

Exemplos

– Exemplo 1

Encontre arctan (1).

Solução

O arctan (1) é o arco unitário (ângulo em radianos) ፀ tal que o tan (ፀ) = 1. Esse ângulo é ፀ = π / 4 porque tan (π / 4) = 1. Então arctan (1) = π / 4

– exemplo 2

Calcule arco (s) (cos (π / 3)).

Solução

O ângulo π / 3 radianos é um ângulo notável cujo cosseno é ½, então o problema é reduzido para encontrar o arco (½).

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Portanto, trata-se de descobrir qual é o ângulo cujo seno dá ½. Esse ângulo é π / 6, uma vez que sin (π / 6) = sin (30º) = ½. Portanto arcsen (cos (π / 3)) = π / 6. 

Exercícios

– Exercício 1

Encontre o resultado da seguinte expressão:

sec (arctan (3)) + csc (arccot ​​(4))

Solução

Começamos nomeando α = arctan (3) e β = arccot ​​(4). Portanto, a expressão que temos que calcular fica assim:

sec (α) + csc (β)

A expressão α = arctan (3) é equivalente a dizer tan (α) = 3.

Como a tangente é a perna oposta sobre a adjacente, são construídos 3 unidades de triângulo oposto a α e 1 unidade adjacente, de modo que tan (α) = 3/1 = 3.

Em um triângulo retângulo, a hipotenusa é determinada pelo teorema de Pitágoras. Com estes valores √10 resulta, para que:

sec (α) = hipotenusa / perna adjacente = √10 / 1 = √10.

Da mesma forma β = arccot ​​(4) é equivalente a afirmar que o berço (β) = 4.

Construa um triângulo da perna direita de 4 unidades adjacente a β e 1 unidade da perna oposta, de modo que o berço (β) = 4/1.

O triângulo é completado imediatamente, encontrando sua hipotenusa, graças ao teorema de Pitágoras. Neste caso, acabou por ter √17 unidades. Então o csc (β) = hipotenusa / perna oposta = √17 / 1 = √17 é calculado.

Lembrando que a expressão que devemos calcular é: 

sec (arctan (3)) + csc (arccot ​​(4)) = sec (α) + csc (β) =…

… = √10 + √17 = 3,16 + 4,12 = 7,28.

– Exercício 2

Encontre as soluções de:

Cos (2x) = 1 – Sen (x)

Solução

Todas as funções trigonométricas precisam ser expressas no mesmo argumento ou ângulo. Usaremos a identidade do ângulo duplo:

Cos (2x) = 1-2 Sen 2 (x)

Em seguida, a expressão original é reduzida para:

1 – 2 Sen 2 (x) = 1 – Sen x

Uma vez simplificado e fatorado, é expresso como:

sin (x) (2 sin (x) – 1) = 0

O que dá origem a duas equações possíveis: Sen (x) = 0 com solução x = 0 e outra equação sin (x) = ½ com x = π / 6 como solução.

As soluções para a equação proposta são: x = 0 ou x = π / 6.

– Exercício 3

Encontre as soluções da seguinte equação trigonométrica:

cos (x) = sin 2 (x)

Solução

Para resolver essa equação, é conveniente colocar um único tipo de função trigonométrica, portanto, usaremos a identidade trigonométrica fundamental para que a equação original seja reescrita da seguinte maneira:

cos (x) = 1 – cos 2 (x)

Se nomearmos y = cos (x), a expressão pode ser reescrita como:

y 2  + y – 1 = 0

É uma equação quadrática em y, cujas soluções são:

y = (-1 ± √5) / 2

Portanto, os valores de x que satisfazem a equação original são:

x = arccos ((-1 ± √5) / 2)

Sendo a solução real o sinal positivo x = 0,9046 rad = 51,83º.

A outra solução é complexa: x = (π – 1,06 i) rad.

Referências

  1. Hazewinkel, M. 1994. Encyclopaedia of Mathematics. Editores acadêmicos da Kluwer / Springer Science & Business Media. 
  2. Mate Mobile. Funções trigonométricas inversas. Recuperado de: matemovil.com
  3. Fórmulas do universo. Funções trigonométricas inversas. Recuperado de: universoformulas.com
  4. Weisstein, Eric W. Funções Trigonométricas Inversas. Recuperado de: mathworld.wolfram.com
  5. Wikipedia. Funções trigonométricas inversas. Recuperado de: en.wikipedia.com

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