Princípio aditivo: o que consiste e exemplos

O princípio aditivo é uma técnica de contagem probabilística que permite medir de quantas maneiras uma atividade pode ser executada que, por sua vez, possui várias alternativas a serem executadas, das quais você pode escolher apenas uma de cada vez. Um exemplo clássico disso é quando você deseja escolher uma linha de transporte para ir de um lugar para outro.

Neste exemplo, as alternativas corresponderão a todas as linhas de transporte possíveis que cobrem a rota desejada, seja aérea, marítima ou terrestre. Não podemos ir a um lugar usando dois meios de transporte simultaneamente; É necessário que escolhamos apenas um.

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O princípio aditivo nos diz que a quantidade de maneiras que temos de fazer essa viagem corresponderá à soma de cada alternativa possível (meio de transporte) existente para ir ao local desejado, incluindo inclusive os meios de transporte que param em algum lugar (ou locais) intermediários.

Obviamente, no exemplo anterior, sempre escolheremos a alternativa mais confortável que melhor se adapte às nossas possibilidades, mas provavelmente é muito importante saber quantas maneiras um evento pode ocorrer.

Probabilidade

Em geral, a probabilidade é o campo da matemática responsável pelo estudo de eventos aleatórios ou fenômenos e experimentos.

Um experimento ou fenômeno randomizado é uma ação que nem sempre produz os mesmos resultados, mesmo se realizada com as mesmas condições iniciais, sem alterar nada no procedimento inicial.

Um exemplo clássico e simples de entender em que consiste um experimento aleatório é o ato de jogar uma moeda ou um dado. A ação sempre será a mesma, mas nem sempre teremos “cara” ou “seis”, por exemplo.

A probabilidade é responsável por fornecer técnicas para determinar com que frequência um determinado evento aleatório pode ocorrer; Entre outras intenções, a principal é prever possíveis eventos futuros que são incertos.

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Probabilidade de um evento

Mais particularmente, a probabilidade de ocorrência de um evento A é um número real entre zero e um; isto é, um número pertencente ao intervalo [0,1]. É indicado por P (A).

Se P (A) = 1, a probabilidade de ocorrência do evento A é de 100% e, se for zero, não há chance de isso acontecer. O espaço da amostra é o conjunto de todos os resultados possíveis que podem ser obtidos executando um experimento aleatório.

Existem pelo menos quatro tipos ou conceitos de probabilidade, dependendo do caso: probabilidade clássica, probabilidade frequentista, probabilidade subjetiva e probabilidade axiomática. Cada um se concentra em casos diferentes.

A probabilidade clássica cobre o caso em que o espaço da amostra possui uma quantidade finita de elementos.

Nesse caso, a probabilidade de um evento A ocorrer será o número de alternativas disponíveis para obter o resultado desejado (ou seja, o número de elementos no conjunto A), dividido pelo número de elementos no espaço de amostra.

Aqui deve-se considerar que todos os elementos do espaço amostral devem ser igualmente prováveis ​​(por exemplo, como um dado que não é alterado, no qual a probabilidade de obter qualquer um dos seis números é a mesma).

Por exemplo, qual é a probabilidade de obter um número ímpar ao rolar um dado? Nesse caso, o conjunto A seria formado por todos os números ímpares entre 1 e 6, e o espaço da amostra seria composto por todos os números de 1 a 6. Então, A possui 3 elementos e o espaço da amostra possui 6. portanto, P (A) = 3/6 = 1/2.

O que é um princípio aditivo?

Como afirmado anteriormente, a probabilidade mede a frequência com que um determinado evento ocorre. Como parte da capacidade de determinar essa frequência, é importante saber quantas maneiras esse evento pode ser realizado. O princípio aditivo nos permite fazer esse cálculo em um caso particular.

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O princípio aditivo estabelece o seguinte: Se A é um evento que tem modos “a” de ser realizado, e B é outro evento que tem modos “b” de ser realizado e se também pode ocorrer apenas A ou B e não ambos em Ao mesmo tempo, os modos a serem executados A ou B (A∪B) são a + b.

Em geral, isso é estabelecido para a união de um número finito de conjuntos (maior ou igual a 2).

Exemplos

Primeiro exemplo

Se uma livraria vende livros de literatura, biologia, medicina, arquitetura e química, dos quais 15 tipos diferentes de livros de literatura, 25 de biologia, 12 de medicina, 8 de arquitetura e 10 de química, quantas opções uma pessoa tem? escolher um livro de arquitetura ou um livro de biologia?

O princípio aditivo nos diz que o número de opções ou maneiras de fazer essa escolha é 8 + 25 = 33.

Esse princípio também pode ser aplicado no caso de ser um evento único envolvido, que por sua vez possui diferentes alternativas a serem realizadas.

Suponha que você queira realizar uma certa atividade ou evento A e que haja várias alternativas para isso, digamos n.

Por sua vez, a primeira alternativa tem 1 maneira de ser executada, a segunda alternativa tem 2 maneiras de ser executada e assim por diante, o número alternativo n pode ser executado de uma maneira n .

O princípio aditivo afirma que o evento A pode ser realizado de 1 + a 2 +… + de n maneiras.

Segundo exemplo

Suponha que uma pessoa queira comprar um par de sapatos. Quando ele chega à loja de sapatos, ele encontra apenas dois modelos diferentes de seu tamanho.

Por um lado, existem duas cores disponíveis e, por outro, cinco cores disponíveis. De quantas maneiras essa pessoa faz essa compra? Para o princípio aditivo, a resposta é 2 + 5 = 7.

O princípio aditivo deve ser usado quando você deseja calcular como realizar um evento ou outro, não os dois simultaneamente.

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Para calcular as diferentes maneiras de realizar um evento juntos (“e”) com outro – ou seja, ambos os eventos devem ocorrer simultaneamente – é utilizado o princípio multiplicativo.

O princípio aditivo também pode ser interpretado em termos de probabilidade da seguinte forma: a probabilidade de um evento A ou de um evento B, denotado por P (A∪B), sabendo que A não pode ocorrer simultaneamente a B, É dado por P (A∪B) = P (A) + P (B).

Terceiro exemplo

Qual é a probabilidade de obter um 5 ao jogar um dado ou cara ao jogar uma moeda?

Como visto acima, em geral a probabilidade de obter qualquer número ao rolar um dado é 1/6.

Em particular, a probabilidade de obter um 5 também é 1/6. Da mesma forma, a probabilidade de ficar cara ao jogar uma moeda é 1/2. Portanto, a resposta para a pergunta anterior é P (A∪B) = 1/6 + 1/2 = 2/3.

Referências

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  2. Cifuentes, JF (2002). Introdução à Teoria da Probabilidade. Nacional da Colômbia.
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