Quadrados mínimos: método, exercícios e para que serve

O método dos mínimos quadrados é uma das aplicações mais importantes na aproximação de funções. A idéia é encontrar uma curva tal que, dado um conjunto de pares ordenados, essa função esteja mais próxima dos dados. A função pode ser uma linha, uma curva quadrática, uma cúbica, etc.

A idéia do método é minimizar a soma dos quadrados das diferenças nas ordenadas (componente Y), entre os pontos gerados pela função escolhida e os pontos pertencentes ao conjunto de dados.

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Método dos mínimos quadrados

Antes de dar o método, devemos primeiro esclarecer o que significa “aproximar-se”. Suponha que você esteja procurando uma linha y = b + mx que melhor represente um conjunto de n pontos, a saber {(x1, y1), (x2, y2) …, (xn, yn)}.

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Conforme mostrado na figura anterior, se as variáveis ​​xyy fossem relacionadas pela linha y = b + mx, então para x = x1 o valor correspondente de y seria b + mx1. No entanto, esse valor é diferente do valor verdadeiro de y, que é y = y1.

Lembre-se de que, no plano, a distância entre dois pontos é dada pela seguinte fórmula:

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Com isso em mente, para determinar como escolher a linha y = b + mx que melhor se aproxima dos dados fornecidos, parece lógico usar como critério a seleção da linha que minimiza a soma dos quadrados das distâncias entre os pontos e a reta

Como a distância entre os pontos (x1, y1) e (x1, b + mx1) é y1- (b + mx1), nosso problema é reduzido para encontrar números myb, de modo que a seguinte soma seja mínima:

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A linha que atende a essa condição é conhecida como “aproximação da linha dos mínimos quadrados aos pontos (x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn)”.

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Uma vez que o problema é obtido, é necessário apenas escolher um método para encontrar a aproximação por mínimos quadrados. Se os pontos (x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn) estiverem todos na linha y = mx + b, teríamos que ser colineares e:

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Nesta expressão:

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Finalmente, se os pontos não são colineares, então y-Au = 0 e o problema pode ser traduzido em encontrar um vetor ou tal que a norma euclidiana seja mínima.

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Encontrar o vetor minimizador não é tão difícil quanto se poderia pensar. Como A é uma matriz nx2 e u é uma matriz 2 × 1, temos que o vetor Au é um vetor em R n e pertence à imagem de A, que é um subespaço de R n com uma dimensão não superior a duas.

Vamos assumir que n = 3 para mostrar qual procedimento deve ser seguido. Se n = 3, a imagem de A será um plano ou uma linha que passa pela origem.

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Seja v o vetor minimizador. Na figura, observamos que y-Au é minimizado quando ortogonal à imagem de A. Ou seja, se v é o vetor minimizador, acontece que:

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Então, podemos expressar o exposto desta maneira:

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Isso só pode acontecer se:

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Finalmente, limpando v, temos que:

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É possível fazer isso, já que A t A é invertível desde que os n pontos dados como dados não sejam colineares.

Agora, se, em vez de procurar uma linha, desejássemos encontrar uma parábola (cuja expressão seria da forma y = a + bx + cx 2 ) que fosse uma melhor aproximação aos n pontos de dados, o procedimento seria o descrito abaixo.

Se os n pontos de dados estivessem na referida parábola, seria necessário:

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Então:

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Da mesma forma, podemos escrever y = Au. Se todos os pontos não estão na parábola, temos que y-Au é diferente de zero para qualquer vetor u e nosso problema é novamente: encontre um vetor u em R3 de modo que sua norma || y-Au || Seja o menor possível.

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Repetindo o procedimento anterior, podemos chegar ao vetor desejado é:

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Exercícios resolvidos

Exercício 1

Encontre a linha que melhor se ajusta aos pontos (1.4), (-2.5), (3, -1) e (4.1).

Solução

Temos que:

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Então:

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Portanto, concluímos que a linha que melhor se ajusta aos pontos é dada por:

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Exercício 2

Suponha que um objeto caia de uma altura de 200 m. Enquanto cai, são tomadas as seguintes medidas:

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Sabemos que a altura do referido objeto, depois de decorrido um tempo t, é dada por:

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Se quisermos obter o valor de g, podemos procurar uma parábola que seja uma melhor aproximação aos cinco pontos dados na tabela e, portanto, teríamos que o coeficiente que acompanha 2 seja uma aproximação razoável de (-1/2) g se o As medições são precisas.

Temos que:

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E logo:

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Portanto, os pontos de dados são ajustados pela seguinte expressão quadrática:

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Então, você precisa:

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Este é um valor razoavelmente próximo do correto, que é g = 9,81 m / s 2 . Para obter uma aproximação mais precisa de g, seria necessário começar com observações mais precisas.

Para que serve?

Nos problemas que ocorrem nas ciências naturais ou sociais, é conveniente escrever as relações que existem entre diferentes variáveis ​​através de alguma expressão matemática.

Por exemplo, podemos relacionar economicamente custo (C), renda (I) e lucros (U) por meio de uma fórmula simples:

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Em física, podemos relacionar a aceleração causada pela gravidade, o tempo em que um objeto está caindo e a altura do objeto por lei:

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Na expressão anterior, s o é a altura inicial do referido objeto e v o é a sua velocidade inicial.

No entanto, encontrar fórmulas como essas não é uma tarefa simples; De maneira geral, cabe ao profissional de serviço trabalhar com muitos dados e realizar várias experiências repetidamente (para verificar se os resultados obtidos são constantes) para encontrar relações entre os diferentes dados.

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Uma maneira comum de conseguir isso é representar os dados obtidos em um plano como pontos e procurar uma função contínua que se aproxime otimamente desses pontos.

Uma das maneiras de encontrar a função que “melhor se aproxima” dos dados fornecidos é pelo método dos mínimos quadrados.

Além disso, como também vimos no exercício, graças a esse método, podemos obter aproximações bastante próximas das constantes físicas.

Referências

  1. Álgebra linear de Charles W Curtis. Springer-velarg
  2. Kai Lai Chung Teoria Elementar da Probabilidade com Processos Estocásticos. Springer-Verlag Nova Iorque Inc
  3. Richar L Burden e J. Douglas Faires. Análise Numérica (7ed). Thompson Learning
  4. Stanley I. Grossman. Aplicações de álgebra linear. MCGRAW-HILL / INTERAMERICANO DE MÉXICO
  5. Stanley I. Grossman. Álgebra Linear. MCGRAW-HILL / INTERAMERICANO DE MÉXICO

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