Qual é o módulo de cisalhamento, rigidez ou cisalhamento? (Exercícios resolvidos)

Qual é o módulo de cisalhamento, rigidez ou cisalhamento? (Exercícios resolvidos)

O módulo de corte descreve a resposta de um material à aplicação de uma tensão de cisalhamento que o deforma. Outras designações freqüentemente usadas para o módulo de cisalhamento são cisalhamento, cisalhamento, elasticidade transversal ou módulo de elasticidade tangencial.

Quando as tensões são pequenas, as deformações são proporcionais a elas, de acordo com a lei de Hooke, sendo o módulo de cisalhamento a constante da proporcionalidade. Portanto:

Módulo de cisalhamento = tensão de cisalhamento / urdidura

Suponha que uma força seja aplicada à capa de um livro, a outra sendo fixada na superfície da mesa. Dessa forma, o livro como um todo não se move, mas se deforma quando a capa superior se move em relação à inferior na quantidade Δx .

O livro passa de uma seção transversal retangular para uma seção de paralelogramo, como podemos ver na imagem acima.

Estar:

τ = F / A

A tensão ou tensão de cisalhamento, sendo  F a magnitude da força aplicada e A a área em que atua.

A deformação causada é dada pelo quociente:

δ = Δx / L

Portanto, o módulo de corte, que designaremos como G, é:

E como Δx / L não possui dimensões, as unidades de G são as mesmas da tensão de cisalhamento, que é a razão de força por área.

No Sistema Internacional de Unidades, essas unidades são Newton / metro quadrado ou pascal, Pa abreviado. E nas unidades anglo-saxônicas, é libra / polegada quadrada, psi abreviado .

Módulo de corte para vários materiais

Sob a ação de forças de cisalhamento, como as descritas, os objetos oferecem uma resistência semelhante à do livro, na qual as camadas internas deslizam. Esse tipo de deformação pode ocorrer apenas em corpos sólidos, que possuem rigidez suficiente para se oporem à deformação.

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Por outro lado, os líquidos não oferecem esse tipo de resistência, mas podem sofrer deformações de volume.

Abaixo está o módulo de corte G in Pa para vários materiais frequentemente usados ​​na construção e na fabricação de máquinas e peças de reposição de todos os tipos:

Medição experimental do módulo de cisalhamento

Para determinar o valor do módulo de cisalhamento, amostras de cada material devem ser testadas e sua resposta à aplicação de uma tensão de cisalhamento deve ser examinada.

A amostra é uma haste feita do material, com raio conhecido R e comprimento L , que é fixado em uma extremidade, enquanto a outra é conectada ao eixo de uma polia de rotação livre.

A polia possui um cabo preso à extremidade livre, cujo peso é suspenso, o que exerce uma força F na haste através do cabo. E essa força, por sua vez, produz um momento M na haste, que gira então um pequeno ângulo θ.

Um diagrama da montagem pode ser visto na figura a seguir:

A magnitude do momento M , que denominamos M (sem negrito), está relacionada ao ângulo girado θ através do módulo de cisalhamento G, de acordo com a seguinte equação (deduzida por uma integral simples):

Como a magnitude do momento é igual ao produto do módulo de força F vezes o raio da polia R p :

M = FR p

E a força é o peso que trava W , então:

M = WR p

Substituindo na equação de magnitude do momento:

Temos a relação entre peso e ângulo:

Como encontrar o G?

Essa relação entre as variáveis  W e θ é linear, de modo que os diferentes ângulos produzidos pela suspensão de diferentes pesos são medidos.

Os pares de peso e ângulo são plotados em papel milimetrado, a melhor linha que passa pelos pontos experimentais é ajustada e a inclinação m da referida linha é calculada .

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Exercícios com solução

– Exercício 1

Uma haste de 2,5 metros de comprimento e raio de 4,5 mm é fixada em uma extremidade. O outro está conectado a uma polia de 75 cm de raio que tem um peso pendente W de 1,3 kg. O ângulo girado é 9,5º.

Com esses dados, é solicitado o cálculo do módulo de corte G da haste.

Solução

A partir da equação:

G é limpo:

E os valores fornecidos na declaração são substituídos, tendo o cuidado de expressar todos os dados no Sistema Internacional de Unidades da SI:

R = 4,5 mm = 4,5 x 10 -3 m

R p = 75 cm = 0,075

Para passar de quilogramas (que na verdade são quilogramas – força) para newton, multiplique por 9,8:

W = 1,3 kg-força = 1,3 x 9,8 N = 12,74 N

E, finalmente, os graus devem estar em radianos:

9,5 º = 9,5 x2π / 360 radianos = 0,1658 radianos.

Com tudo isso você tem:

= 2.237 x 10 10 Pa

– Exercício 2

Um cubo de gel mede 30 cm de lado. Uma de suas faces é fixa, mas ao mesmo tempo, uma força paralela de 1 N é aplicada à face oposta, que a desloca em 1 cm (veja o exemplo do livro na figura 1).

Você é solicitado a calcular com estes dados:

a) A magnitude da tensão de cisalhamento

b) A deformação unitária δ

c) O valor do módulo de cisalhamento

Solução para

A magnitude da tensão de cisalhamento é:

τ = F / A

Com:

A = lado 2 = (30 x 10 -2 cm) 2 = 0,09 m 2

Portanto:

τ = 1 N / 0,09 m 2 = 11,1 Pa

Solução b

A deformação unitária não é outro senão o valor de δ, dado por:

δ = Δx / L

O deslocamento da face sujeita à força é de 1 cm, então:

δ = 1/30 = 0,0333

Solução c

O módulo de cisalhamento e a razão entre a tensão de cisalhamento e a deformação da unidade:

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G = tensão de cisalhamento / deformação

Portanto:

G = 11,1 Pa / 0,033 = 336,4 Pa

Referências

  1. Beer, F. 2010. Mecânica dos materiais. McGraw Hill. 5 ª. Edição.
  2. Franco García, A. Sólido rígido. Medição do módulo de cisalhamento. Recuperado de: sc.ehu.es.
  3. Giancoli, D. 2006. Física: Princípios com Aplicações. 6 th . Ed Prentice Hall.
  4. Resnick, R. (1999). Fisica. Vol. 1. 3º Ed. Em espanhol. Empresa Editorial Continental SA de CV
  5. Universidade de Valladolid. Departamento de Física da Matéria Condensada. Seleção de problemas. Recuperado de: www4.uva.es.

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