Qual é o módulo de cisalhamento, rigidez ou cisalhamento? (Exercícios resolvidos)

O módulo de corte descreve a resposta de um material à aplicação de uma tensão de cisalhamento que o deforma. Outras designações freqüentemente usadas para o módulo de cisalhamento são cisalhamento, cisalhamento, elasticidade transversal ou módulo de elasticidade tangencial.

Quando as tensões são pequenas, as deformações são proporcionais a elas, de acordo com a lei de Hooke, sendo o módulo de cisalhamento a constante da proporcionalidade. Portanto:

Módulo de cisalhamento = tensão de cisalhamento / urdidura

Suponha que uma força seja aplicada à capa de um livro, a outra sendo fixada na superfície da mesa. Dessa forma, o livro como um todo não se move, mas se deforma quando a capa superior se move em relação à inferior na quantidade Δx .

O livro passa de uma seção transversal retangular para uma seção de paralelogramo, como podemos ver na imagem acima.

Estar:

τ = F / A

A tensão ou tensão de cisalhamento, sendo F a magnitude da força aplicada e A a área em que atua.

A deformação causada é dada pelo quociente:

δ = Δx / L

Portanto, o módulo de corte, que designaremos como G, é:

E como Δx / L não possui dimensões, as unidades de G são as mesmas da tensão de cisalhamento, que é a razão de força por área.

No Sistema Internacional de Unidades, essas unidades são Newton / metro quadrado ou pascal, Pa abreviado. E nas unidades anglo-saxônicas, é libra / polegada quadrada, psi abreviado .

Módulo de corte para vários materiais

Sob a ação de forças de cisalhamento, como as descritas, os objetos oferecem uma resistência semelhante à do livro, na qual as camadas internas deslizam. Esse tipo de deformação pode ocorrer apenas em corpos sólidos, que possuem rigidez suficiente para se oporem à deformação.

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Por outro lado, os líquidos não oferecem esse tipo de resistência, mas podem sofrer deformações de volume.

Abaixo está o módulo de corte G in Pa para vários materiais frequentemente usados na construção e na fabricação de máquinas e peças de reposição de todos os tipos:

Medição experimental do módulo de cisalhamento

Para determinar o valor do módulo de cisalhamento, amostras de cada material devem ser testadas e sua resposta à aplicação de uma tensão de cisalhamento deve ser examinada.

A amostra é uma haste feita do material, com raio conhecido R e comprimento L , que é fixado em uma extremidade, enquanto a outra é conectada ao eixo de uma polia de rotação livre.

A polia possui um cabo preso à extremidade livre, cujo peso é suspenso, o que exerce uma força F na haste através do cabo. E essa força, por sua vez, produz um momento M na haste, que gira então um pequeno ângulo θ.

Um diagrama da montagem pode ser visto na figura a seguir:

A magnitude do momento M , que denominamos M (sem negrito), está relacionada ao ângulo girado θ através do módulo de cisalhamento G, de acordo com a seguinte equação (deduzida por uma integral simples):

Como a magnitude do momento é igual ao produto do módulo de força F vezes o raio da polia R _p :

M = FR _p

E a força é o peso que trava W , então:

M = WR _p

Substituindo na equação de magnitude do momento:

Temos a relação entre peso e ângulo:

Como encontrar o G?

Essa relação entre as variáveis W e θ é linear, de modo que os diferentes ângulos produzidos pela suspensão de diferentes pesos são medidos.

Os pares de peso e ângulo são plotados em papel milimetrado, a melhor linha que passa pelos pontos experimentais é ajustada e a inclinação m da referida linha é calculada .

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Exercícios com solução

– Exercício 1

Uma haste de 2,5 metros de comprimento e raio de 4,5 mm é fixada em uma extremidade. O outro está conectado a uma polia de 75 cm de raio que tem um peso pendente W de 1,3 kg. O ângulo girado é 9,5º.

Com esses dados, é solicitado o cálculo do módulo de corte G da haste.

Solução

A partir da equação:

G é limpo:

E os valores fornecidos na declaração são substituídos, tendo o cuidado de expressar todos os dados no Sistema Internacional de Unidades da SI:

R = 4,5 mm = 4,5 x 10 ^-3 m

R _p = 75 cm = 0,075

Para passar de quilogramas (que na verdade são quilogramas – força) para newton, multiplique por 9,8:

W = 1,3 kg-força = 1,3 x 9,8 N = 12,74 N

E, finalmente, os graus devem estar em radianos:

9,5 º = 9,5 x2π / 360 radianos = 0,1658 radianos.

Com tudo isso você tem:

= 2.237 x 10 ¹⁰ Pa

– Exercício 2

Um cubo de gel mede 30 cm de lado. Uma de suas faces é fixa, mas ao mesmo tempo, uma força paralela de 1 N é aplicada à face oposta, que a desloca em 1 cm (veja o exemplo do livro na figura 1).

Você é solicitado a calcular com estes dados:

a) A magnitude da tensão de cisalhamento

b) A deformação unitária δ

c) O valor do módulo de cisalhamento

Solução para

A magnitude da tensão de cisalhamento é:

τ = F / A

Com:

A = lado ² = (30 x 10 ^-2 cm) ² = 0,09 m ²

Portanto:

τ = 1 N / 0,09 m ² = 11,1 Pa

Solução b

A deformação unitária não é outro senão o valor de δ, dado por:

δ = Δx / L

O deslocamento da face sujeita à força é de 1 cm, então:

δ = 1/30 = 0,0333

Solução c

O módulo de cisalhamento e a razão entre a tensão de cisalhamento e a deformação da unidade:

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G = tensão de cisalhamento / deformação