O módulo de corte descreve a resposta de um material à aplicação de uma tensão de cisalhamento que o deforma. Outras designações freqüentemente usadas para o módulo de cisalhamento são cisalhamento, cisalhamento, elasticidade transversal ou módulo de elasticidade tangencial.
Quando as tensões são pequenas, as deformações são proporcionais a elas, de acordo com a lei de Hooke, sendo o módulo de cisalhamento a constante da proporcionalidade. Portanto:
Módulo de cisalhamento = tensão de cisalhamento / urdidura
Suponha que uma força seja aplicada à capa de um livro, a outra sendo fixada na superfície da mesa. Dessa forma, o livro como um todo não se move, mas se deforma quando a capa superior se move em relação à inferior na quantidade Δx .
O livro passa de uma seção transversal retangular para uma seção de paralelogramo, como podemos ver na imagem acima.
Estar:
τ = F / A
A tensão ou tensão de cisalhamento, sendo F a magnitude da força aplicada e A a área em que atua.
A deformação causada é dada pelo quociente:
δ = Δx / L
Portanto, o módulo de corte, que designaremos como G, é:
E como Δx / L não possui dimensões, as unidades de G são as mesmas da tensão de cisalhamento, que é a razão de força por área.
No Sistema Internacional de Unidades, essas unidades são Newton / metro quadrado ou pascal, Pa abreviado. E nas unidades anglo-saxônicas, é libra / polegada quadrada, psi abreviado .
Módulo de corte para vários materiais
Sob a ação de forças de cisalhamento, como as descritas, os objetos oferecem uma resistência semelhante à do livro, na qual as camadas internas deslizam. Esse tipo de deformação pode ocorrer apenas em corpos sólidos, que possuem rigidez suficiente para se oporem à deformação.
Por outro lado, os líquidos não oferecem esse tipo de resistência, mas podem sofrer deformações de volume.
Abaixo está o módulo de corte G in Pa para vários materiais frequentemente usados na construção e na fabricação de máquinas e peças de reposição de todos os tipos:
Medição experimental do módulo de cisalhamento
Para determinar o valor do módulo de cisalhamento, amostras de cada material devem ser testadas e sua resposta à aplicação de uma tensão de cisalhamento deve ser examinada.
A amostra é uma haste feita do material, com raio conhecido R e comprimento L , que é fixado em uma extremidade, enquanto a outra é conectada ao eixo de uma polia de rotação livre.
A polia possui um cabo preso à extremidade livre, cujo peso é suspenso, o que exerce uma força F na haste através do cabo. E essa força, por sua vez, produz um momento M na haste, que gira então um pequeno ângulo θ.
Um diagrama da montagem pode ser visto na figura a seguir:
A magnitude do momento M , que denominamos M (sem negrito), está relacionada ao ângulo girado θ através do módulo de cisalhamento G, de acordo com a seguinte equação (deduzida por uma integral simples):
Como a magnitude do momento é igual ao produto do módulo de força F vezes o raio da polia R p :
M = FR p
E a força é o peso que trava W , então:
M = WR p
Substituindo na equação de magnitude do momento:
Temos a relação entre peso e ângulo:
Como encontrar o G?
Essa relação entre as variáveis W e θ é linear, de modo que os diferentes ângulos produzidos pela suspensão de diferentes pesos são medidos.
Os pares de peso e ângulo são plotados em papel milimetrado, a melhor linha que passa pelos pontos experimentais é ajustada e a inclinação m da referida linha é calculada .
Exercícios com solução
– Exercício 1
Uma haste de 2,5 metros de comprimento e raio de 4,5 mm é fixada em uma extremidade. O outro está conectado a uma polia de 75 cm de raio que tem um peso pendente W de 1,3 kg. O ângulo girado é 9,5º.
Com esses dados, é solicitado o cálculo do módulo de corte G da haste.
Solução
A partir da equação:
G é limpo:
E os valores fornecidos na declaração são substituídos, tendo o cuidado de expressar todos os dados no Sistema Internacional de Unidades da SI:
R = 4,5 mm = 4,5 x 10 -3 m
R p = 75 cm = 0,075
Para passar de quilogramas (que na verdade são quilogramas – força) para newton, multiplique por 9,8:
W = 1,3 kg-força = 1,3 x 9,8 N = 12,74 N
E, finalmente, os graus devem estar em radianos:
9,5 º = 9,5 x2π / 360 radianos = 0,1658 radianos.
Com tudo isso você tem:
= 2.237 x 10 10 Pa
– Exercício 2
Um cubo de gel mede 30 cm de lado. Uma de suas faces é fixa, mas ao mesmo tempo, uma força paralela de 1 N é aplicada à face oposta, que a desloca em 1 cm (veja o exemplo do livro na figura 1).
Você é solicitado a calcular com estes dados:
a) A magnitude da tensão de cisalhamento
b) A deformação unitária δ
c) O valor do módulo de cisalhamento
Solução para
A magnitude da tensão de cisalhamento é:
τ = F / A
Com:
A = lado 2 = (30 x 10 -2 cm) 2 = 0,09 m 2
Portanto:
τ = 1 N / 0,09 m 2 = 11,1 Pa
Solução b
A deformação unitária não é outro senão o valor de δ, dado por:
δ = Δx / L
O deslocamento da face sujeita à força é de 1 cm, então:
δ = 1/30 = 0,0333
Solução c
O módulo de cisalhamento e a razão entre a tensão de cisalhamento e a deformação da unidade:
G = tensão de cisalhamento / deformação
Portanto:
G = 11,1 Pa / 0,033 = 336,4 Pa
Referências
- Beer, F. 2010. Mecânica dos materiais. McGraw Hill. 5 ª. Edição.
- Franco García, A. Sólido rígido. Medição do módulo de cisalhamento. Recuperado de: sc.ehu.es.
- Giancoli, D. 2006. Física: Princípios com Aplicações. 6 th . Ed Prentice Hall.
- Resnick, R. (1999). Fisica. Vol. 1. 3º Ed. Em espanhol. Empresa Editorial Continental SA de CV
- Universidade de Valladolid. Departamento de Física da Matéria Condensada. Seleção de problemas. Recuperado de: www4.uva.es.