Uma equação quadrática é uma equação polinomial de segundo grau que pode ser representada na forma ax^2 + bx + c = 0, onde a, b e c são coeficientes reais e x é a incógnita. Uma das principais características das equações quadráticas é que elas podem ter zero, uma ou duas soluções reais. O número de soluções de uma equação quadrática pode ser determinado pelo discriminante, que é a expressão b^2 – 4ac. Se o discriminante for maior que zero, a equação terá duas soluções reais distintas; se for igual a zero, terá uma única solução real; e se for menor que zero, não terá soluções reais. Portanto, o número de soluções de uma equação quadrática depende do valor do discriminante.
Número de soluções de uma equação: como determinar de forma precisa?
Para determinar o número de soluções de uma equação quadrática de forma precisa, é necessário analisar o discriminante da equação. O discriminante é dado pela fórmula Δ = b² – 4ac, onde a equação quadrática é representada por ax² + bx + c = 0.
Existem três possibilidades para o número de soluções de uma equação quadrática com base no valor do discriminante:
1. Se Δ > 0, a equação possui duas soluções reais e distintas. Isso significa que a parábola representada pela equação corta o eixo x em dois pontos diferentes.
2. Se Δ = 0, a equação possui uma solução real e única. Neste caso, a parábola toca o eixo x em apenas um ponto.
3. Se Δ < 0, a equação não possui solução real. As raízes da equação são números complexos.
Portanto, ao analisar o discriminante de uma equação quadrática, é possível determinar com precisão quantas soluções ela possui. Essa análise é fundamental para resolver equações quadráticas e compreender o comportamento das suas raízes.
Qual é a resolução da equação quadrática?
Uma equação quadrática é uma equação de segundo grau, ou seja, uma equação na forma ax² + bx + c = 0, onde x é a variável desconhecida e a, b e c são constantes reais com a ≠ 0. A resolução de uma equação quadrática envolve encontrar os valores de x que a satisfazem.
Para resolver uma equação quadrática, podemos utilizar a fórmula de Bhaskara, que é dada por x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a. Esta fórmula nos fornece as soluções da equação quadrática, que podem ser duas, uma ou nenhuma, dependendo do valor do discriminante (b² – 4ac).
O discriminante determina quantas soluções a equação quadrática possui. Se o discriminante for maior que zero, a equação terá duas soluções diferentes. Se o discriminante for igual a zero, a equação terá uma única solução. E se o discriminante for menor que zero, a equação não terá soluções reais, apenas soluções complexas.
Portanto, a resolução da equação quadrática envolve encontrar os valores de x que a satisfazem, utilizando a fórmula de Bhaskara e considerando o valor do discriminante para determinar quantas soluções a equação possui.
Fórmulas para resolver equações de segundo grau: o que são e como usar?
As equações de segundo grau são equações matemáticas que possuem a forma ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são coeficientes reais e x é a variável. Para resolver essas equações, podemos utilizar as fórmulas de Bhaskara, que nos permitem encontrar as raízes da equação.
As fórmulas de Bhaskara são:
x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a
Para utilizar essas fórmulas, basta identificar os valores de a, b e c na equação quadrática e substituí-los na fórmula. Em seguida, realizamos as operações matemáticas para encontrar os valores de x.
Se o discriminante (b² – 4ac) for positivo, a equação terá duas soluções reais e distintas. Se o discriminante for igual a zero, a equação terá uma solução real e única. E se o discriminante for negativo, a equação terá duas soluções complexas.
Portanto, as equações quadráticas podem ter até duas soluções, dependendo do valor do discriminante. É importante lembrar que essas fórmulas são essenciais para resolver equações de segundo grau e encontrar as raízes da equação.
Número de raízes de uma equação de segundo grau: quantas são e como identificá-las.
Para determinar o número de raízes de uma equação de segundo grau, é necessário analisar o seu discriminante, representado pela fórmula Δ = b² – 4ac. O discriminante é o que nos permite identificar quantas soluções a equação quadrática possui.
Existem três possibilidades para o discriminante: se Δ for maior do que zero, a equação terá duas raízes reais e distintas; se Δ for igual a zero, a equação terá duas raízes reais e iguais; e se Δ for menor do que zero, a equação não terá raízes reais, apenas raízes complexas.
Portanto, ao resolver uma equação de segundo grau, é fundamental calcular o discriminante para determinar quantas soluções ela possui e qual é a natureza dessas soluções. Esse é um passo importante na resolução de problemas matemáticos que envolvem equações quadráticas.
Quantas soluções possui uma equação quadrática?
Uma equação quadrática ou equação de segundo grau pode ter zero, uma ou duas soluções reais, dependendo dos coeficientes que aparecem nessa equação.
Se você trabalha com números complexos, pode dizer que toda equação quadrática tem duas soluções.
Iniciar uma equação quadrática é uma equação da forma ax² + bx + c = 0, onde a, bec são números reais e x é uma variável.
Diz-se que x1 é uma solução da equação quadrática acima se substituir x por x1 satisfizer a equação, ou seja, se a (x1) ² + b (x1) + c = 0.
Se, por exemplo, a equação x²-4x + 4 = 0, x1 = 2 é uma solução, uma vez que (2) ²-4 (2) + 4 = 4-8 + 4 = 0.
Pelo contrário, se você substituir x2 = 0, obtém (0) ²-4 (0) + 4 = 4 e, como 4 ≠ 0, x2 = 0 não é uma solução para a equação quadrática.
Soluções de uma equação quadrática
O número de soluções de uma equação quadrática pode ser separado em dois casos:
1.- Nos números reais
Ao trabalhar com números reais, as equações quadráticas podem ter:
– Soluções zero: ou seja, não existe um número real que satisfaça a equação quadrática. Por exemplo, na equação dada a equação x² + 1 = 0, não existe um número real que satisfaça essa equação, pois ambos x² são maiores que ou iguais a zero e 1 é maior que zero, de modo que sua soma será maior estrito que zero.
-Uma solução repetida: existe apenas um valor real que satisfaz a equação quadrática. Por exemplo, a única solução da equação x²-4x + 4 = 0 é x1 = 2.
-Duas soluções diferentes: existem dois valores que satisfazem a equação quadrática. Por exemplo, x² + x-2 = 0 tem duas soluções diferentes que são x1 = 1 e x2 = -2.
2.- Em números complexos
Ao trabalhar com números complexos, as equações quadráticas sempre têm duas soluções que são z1 e z2, em que z2 é o conjugado de z1. Eles também podem ser classificados em:
-Complexos: as soluções têm a forma z = p ± qi, onde p e q são números reais. Este caso corresponde ao primeiro caso da lista anterior.
– Complexos puros: é quando a parte real da solução é igual a zero, ou seja, a solução tem a forma z = ± qi, onde q é um número real. Este caso corresponde ao primeiro caso da lista anterior.
-Complexos com uma parte imaginária igual a zero: é quando a parte complexa da solução é igual a zero, ou seja, a solução é um número real. Este caso corresponde aos dois últimos casos da lista anterior.
Como são calculadas as soluções de uma equação quadrática?
Para calcular as soluções de uma equação quadrática, é usada uma fórmula conhecida como “o solucionador” que diz que as soluções de uma equação ax² + bx + c = 0 são dadas pela expressão da seguinte imagem:
A quantidade que aparece na raiz quadrada é denominada discriminante da equação quadrática e é indicada pela letra “d”.
A equação quadrática terá:
-Duas soluções reais se, e somente se, d> 0.
-Uma solução real repetida se, e somente se, d = 0.
– Zero soluções reais (ou duas soluções complexas) se, e somente se, d <0.
Exemplos:
-As soluções da equação x² + x-2 = 0 são dadas por:
-A equação x²-4x + 4 = 0 tem uma solução repetida que é dada por:
-As soluções da equação x² + 1 = 0 são dadas por:
Como pode ser visto neste último exemplo, x2 é o conjugado de x1.
Referências
- Fuentes, A. (2016). MATEMÁTICA BÁSICA. Uma introdução ao cálculo. Lulu.com
- Garo, M. (2014). Matemática: equações quadráticas.: Como resolver uma equação quadrática. Marilù Garo.
- Haeussler, EF, e Paul, RS (2003). Matemática para administração e economia. Pearson Education.
- Jimenez, J., Rodriguez, M., & Estrada, R. (2005). Matemática 1 SEP. Limiar
- Preciado, CT (2005). Curso de Matemática 3º. Editorial Progreso.
- Rock, NM (2006). Álgebra eu sou fácil! Tão fácil. Team Rock Press
- Sullivan, J. (2006). Álgebra e Trigonometria. Pearson Education.