Relações de proporcionalidade: conceito, exemplos e exercícios

Relações de proporcionalidade: conceito, exemplos e exercícios

Os relacionamentos proporcionais são links entre duas ou mais variáveis, de modo que, quando um dos números varia, o valor do outro também. Por exemplo, se um aumenta, os outros podem aumentar ou diminuir, mas em uma quantidade uniforme.

Os matemáticos gregos antigos perceberam que algumas variáveis ​​estavam relacionadas de uma maneira muito precisa. Eles descobriram que se um círculo tiver o dobro do diâmetro de outro, ele terá uma circunferência duas vezes maior.

E se o diâmetro triplicar, o contorno da circunferência também triplicará. Isso significa que um aumento no diâmetro produz um aumento proporcional no tamanho da circunferência.

E assim podemos afirmar que o comprimento da circunferência L é proporcional ao seu diâmetro D, que é expresso da seguinte forma:

L ∝ D

Onde o símbolo ∝ é lido “ diretamente proporcional a ”. Para alterar o símbolo da proporcionalidade pelo da igualdade e incorporar valores numéricos, é necessário determinar o vínculo entre as variáveis, denominado constante de proporcionalidade .

Depois de fazer muitas medições, os antigos matemáticos determinaram que a constante de proporcionalidade entre o tamanho L da circunferência e o diâmetro D da circunferência fosse o número 3,1416 … As reticências indicam um número infinito de casas decimais.

Este valor não é outro senão o do famoso número π (pi) e, portanto, escrevemos:

L = π.D

Dessa forma, a proporção do comprimento para o diâmetro de uma circunferência é a mesma que a proporção do comprimento para o diâmetro de outra. E o melhor é que agora temos uma maneira de calcular o comprimento de qualquer circunferência apenas conhecendo seu diâmetro.

Exemplos de relações proporcionais

Na ciência (e também na vida cotidiana), é muito importante encontrar relações entre as variáveis, para saber como as mudanças em uma delas afetam a outra. Por exemplo:

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-Se forem necessárias 3 xícaras de farinha para fazer uma dúzia de biscoitos. Quantas xícaras são necessárias para fazer 2 e meia dúzia?

– Sabendo que no planeta Mercúrio um objeto pesa 4 vezes menos que na Terra, quanto um carro de 1,5 tonelada pesará sobre Mercúrio?

-Como a mudança na força aplicada afeta a aceleração do corpo em que é aplicada?

-Se um veículo se move com movimento retilíneo uniforme em uma rodovia e sabemos que percorre 30 km em 10 minutos, qual será a distância percorrida após 20 minutos?

-Quando temos um fio através do qual uma corrente elétrica passa, como a tensão entre suas extremidades varia se aumenta?

-Se o diâmetro de um círculo é dobrado, como sua área é afetada?

-Como a distância afeta a intensidade do campo elétrico produzido por uma carga pontual?

A resposta está em relacionamentos proporcionais, mas nem todos os relacionamentos são do mesmo tipo. Então, vamos encontrá-los para todas as situações levantadas aqui.

Proporcionalidade direta e proporcionalidade inversa

Duas variáveis ​​xey estão em proporção direta se estiverem relacionadas por:

y = kx

Onde k é a constante de proporcionalidade. Um exemplo é a relação entre as quantidades de farinha e biscoitos. Se representarmos graficamente essas variáveis, obteremos uma linha reta como a mostrada na figura:

Se y são os copos de farinha ex são as dezenas de biscoitos, a relação entre eles é:

y = 3x

Para x = 1 dúzia, precisamos de y = 3 xícaras de farinha. E para x = 2,5 dúzias, y = 7,5 xícaras de farinha são necessárias.

Mas também temos:

-O aceleração a que experimentado por um corpo é proporcional à força F que actua na mesma, com a massa do corpo, chamado m , a constante de proporcionalidade:

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F = m a

Portanto, quanto maior a força aplicada, maior a aceleração produzida.

-Em condutores ôhmicos, a tensão V entre suas extremidades é proporcional à corrente aplicada I. A constante de proporcionalidade é a resistência R do condutor:

V = RI

  Quando um objeto se move com movimento retilíneo uniforme, a distância d é proporcional ao tempo t , com a velocidade v sendo a constante de proporcionalidade:

d = vt

Às vezes, encontramos duas quantidades tais que um aumento em uma produz uma diminuição proporcional na outra. Essa dependência é chamada de proporção inversa .

Por exemplo, na equação acima, o tempo t necessário para percorrer uma certa distância d é inversamente proporcional à velocidade v da jornada:

t = d / v

E assim, quanto maior a velocidade v, menos tempo leva para o carro percorrer a distância d. Se, por exemplo, a velocidade for dobrada, o tempo será reduzido pela metade.

Quando duas variáveis ​​xey estão em proporção inversa, podemos escrever:

y = k / x

Sendo k a constante da proporcionalidade. O gráfico dessa dependência é:

Outros tipos de proporcionalidade

Em um dos exemplos mencionados anteriormente, imaginamos o que acontece com a área do círculo quando o raio aumenta. A resposta é que a área é diretamente proporcional ao quadrado do raio, onde π é a constante de proporcionalidade:

A = πR 2

Se o raio for dobrado, a área será aumentada por um fator de 4.

E no caso do campo elétrico E produzido por uma carga pontual q , sabe-se que a intensidade diminui com o quadrado inverso da distância r à carga q :

E = k e q / r 2

Mas também podemos afirmar que a intensidade do campo é diretamente proporcional à magnitude da carga, a constante de proporcionalidade k e sendo a constante eletrostática.

Outras proporcionalidades também apresentadas em Science são proporcionalidade exponencial e proporcionalidade logarítmica. No primeiro caso, as variáveis ​​xey são relacionadas por:

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y = ka x

Onde a é a base, um número positivo diferente de 0, que geralmente é 10 ou o número e. Por exemplo, o crescimento exponencial de bactérias tem essa forma.

No segundo caso, a relação entre as variáveis ​​é:

y = k.log para x

Novamente a é a base do logaritmo, que geralmente é 10 (logaritmo decimal) ou e (logaritmo neperiano).

Exercícios

– Exercício 1

Sabendo que no planeta Mercúrio um objeto pesa 4 vezes menos que na Terra, quanto um carro de 1,5 tonelada pesaria sobre Mercúrio?

Solução  

Peso em Mercúrio = (1/4) Peso na Terra = (1/4) x 1,5 toneladas = 0,375 tonelada.

– Exercício 2

Para uma festa, alguns amigos decidem preparar suco de concentrado de frutas. As instruções de embalagem dizem que 15 copos de suco são feitos de um copo de concentrado. Quanto concentrado é necessário para fazer 110 copos de suco?

Solução

Seja y o número de copos de suco ex x o número de copos de concentrado. Eles são relacionados por:

y = kx

Substituindo os valores y = 15 ex = 1, a constante k é limpa:

k = y / x = 15/1 = 15

Portanto:

110 = 15 x

x = 110/15 = 7,33 copos de concentrado de frutas.

Referências

  1. Baldor, A. 1974. Álgebra. Cultural Venezolana SA
  2. Giancoli, D. 2006. Física: Princípios com Aplicações. 6 th . Ed Prentice Hall.
  3. Tutores do time do colégio. Relações de proporcionalidade. Recuperado de: varsitytutors.com
  4. Wikipedia. Proporcionalidade. Recuperado de: es.wikipedia.org.
  5. Zill, D. 1984. Álgebra e trigonometria. McGraw Hill.

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