As relações de proporcionalidade são fundamentais para a matemática e estão presentes em diversos aspectos do nosso cotidiano. Neste contexto, quando duas grandezas variam de forma diretamente proporcional, significa que uma é sempre o múltiplo da outra. Por outro lado, na proporcionalidade inversa, o aumento de uma grandeza implica na diminuição da outra.
Neste artigo, abordaremos o conceito de relações de proporcionalidade, apresentando exemplos práticos e exercícios para facilitar o entendimento e a aplicação desses conceitos. Através de situações do dia a dia e problemas matemáticos, será possível compreender como as relações de proporcionalidade podem ser úteis e como podemos utilizá-las para resolver questões diversas.
Proporcionalidade: conceito e exemplos para compreender relações matemáticas de forma prática.
Proporcionalidade é um conceito matemático fundamental que descreve a relação entre duas grandezas que variam de forma direta ou inversa. Quando duas grandezas são proporcionais, significa que elas mantêm uma relação constante entre si, de modo que quando uma delas aumenta, a outra também aumenta na mesma proporção, ou quando uma diminui, a outra também diminui na mesma proporção.
Para entender melhor a proporcionalidade, vamos analisar alguns exemplos práticos. Um exemplo clássico de proporcionalidade direta é o cálculo de distância e tempo em um movimento uniforme. Se um carro percorre uma distância de 100 km em 2 horas, podemos dizer que a velocidade média do carro é de 50 km/h. Neste caso, a distância percorrida é diretamente proporcional ao tempo de viagem.
Outro exemplo comum de proporcionalidade inversa é a relação entre velocidade e tempo em um movimento acelerado. Se um carro percorre uma distância de 200 km com uma velocidade média de 100 km/h, ele levará 2 horas para completar o percurso. Neste caso, a velocidade do carro é inversamente proporcional ao tempo de viagem.
Para praticar o conceito de proporcionalidade, você pode resolver exercícios simples que envolvem a aplicação de regras de três e proporções. Por exemplo, se um trabalhador ganha R$ 800 por semana, quantos ele ganhará em 5 semanas? Para resolver esse problema, basta estabelecer a relação proporcional entre o salário e o tempo de trabalho e aplicar a regra de três.
Compreender esse conceito é essencial para resolver problemas do dia a dia e também para avançar em estudos mais avançados de matemática.
Entenda a definição de proporção e veja exemplos práticos para compreender melhor.
Proporção é a relação matemática entre duas grandezas, indicando como elas se relacionam entre si. Em uma proporção, os valores de duas grandezas são comparados, mostrando a equivalência entre elas. Por exemplo, se temos a proporção 2 para 4, significa que a primeira grandeza é o dobro da segunda.
Para entender melhor, vamos ver um exemplo prático: imagine que em uma receita de bolo você precisa de 2 xícaras de farinha para 1 xícara de açúcar. Neste caso, a proporção entre farinha e açúcar é de 2 para 1. Se você precisar dobrar a receita, a proporção se mantém, ou seja, você precisará de 4 xícaras de farinha para 2 xícaras de açúcar.
Outro exemplo seria a relação entre altura e peso de uma pessoa. Se uma pessoa tem 1,70m de altura e pesa 70kg, a proporção entre altura e peso seria de 1 para 1. Se outra pessoa tem 1,80m de altura, a proporção seria de 1 para 1,2, indicando que ela é mais pesada proporcionalmente à sua altura.
Para praticar o entendimento de proporções, você pode resolver alguns exercícios. Por exemplo, se uma impressora consegue imprimir 50 páginas em 5 minutos, quantas páginas ela imprimirá em 10 minutos? Para resolver, basta manter a proporção entre páginas e minutos e fazer a regra de três.
Relações de proporcionalidade: Entenda a relação entre grandezas de maneira simples e prática.
As relações de proporcionalidade são conceitos matemáticos fundamentais para entender a relação entre grandezas de maneira simples e prática. Quando duas grandezas variam de forma proporcional, significa que existe uma relação constante entre elas, ou seja, quando uma grandeza aumenta, a outra também aumenta na mesma proporção, e quando uma diminui, a outra também diminui na mesma proporção.
Um exemplo clássico de relação de proporcionalidade é a regra de três simples. Nela, é possível encontrar um valor desconhecido a partir de três valores conhecidos, estabelecendo uma proporção entre eles. Por exemplo, se 2 litros de suco custam R$ 4,00, quanto custarão 5 litros desse mesmo suco? Utilizando a regra de três, é possível resolver essa questão de forma simples e prática.
Para entender melhor as relações de proporcionalidade, é importante praticar com exercícios que envolvam diferentes tipos de grandezas, como distância, tempo, velocidade, entre outras. Dessa forma, é possível desenvolver habilidades de raciocínio lógico e matemático, além de compreender melhor como as grandezas se relacionam entre si.
Praticar com exemplos e exercícios ajuda a solidificar esse conhecimento e a aplicá-lo em situações do cotidiano.
Como resolver problemas de proporção de forma eficiente e correta.
Resolver problemas de proporção de forma eficiente e correta requer atenção aos detalhes e uma compreensão clara do conceito de proporção. Para isso, é importante seguir alguns passos simples para garantir a resolução correta dos problemas.
Primeiramente, é essencial identificar as grandezas envolvidas na proporção e estabelecer a relação entre elas. Em seguida, é necessário organizar os valores de forma que as grandezas correspondentes estejam na mesma posição em cada proporção. Isso facilitará a comparação e a resolução do problema.
Além disso, é importante lembrar que na resolução de problemas de proporção, é fundamental manter a mesma unidade de medida para evitar erros de interpretação. Caso seja necessário, faça a conversão das unidades antes de prosseguir com a resolução do problema.
Um exemplo simples de problema de proporção seria o seguinte: se 4 litros de tinta pintam uma parede de 8 metros quadrados, quantos litros serão necessários para pintar uma parede de 16 metros quadrados? Para resolver esse problema, basta estabelecer a proporção entre os litros de tinta e os metros quadrados pintados e encontrar a quantidade necessária de litros para a nova parede.
Por fim, é importante praticar resolvendo diversos exercícios de proporção para aprimorar suas habilidades e garantir que você está preparado para resolver qualquer problema que envolva essa relação matemática. Lembre-se de que a prática leva à perfeição e que quanto mais exercícios você resolver, mais confiante ficará em resolver problemas de proporção de forma eficiente e correta.
Relações de proporcionalidade: conceito, exemplos e exercícios
Os relacionamentos proporcionais são links entre duas ou mais variáveis, de modo que, quando um dos números varia, o valor do outro também. Por exemplo, se um aumenta, os outros podem aumentar ou diminuir, mas em uma quantidade uniforme.
Os matemáticos gregos antigos perceberam que algumas variáveis estavam relacionadas de uma maneira muito precisa. Eles descobriram que se um círculo tiver o dobro do diâmetro de outro, ele terá uma circunferência duas vezes maior.
E se o diâmetro triplicar, o contorno da circunferência também triplicará. Isso significa que um aumento no diâmetro produz um aumento proporcional no tamanho da circunferência.
E assim podemos afirmar que o comprimento da circunferência L é proporcional ao seu diâmetro D, que é expresso da seguinte forma:
L ∝ D
Onde o símbolo ∝ é lido “ diretamente proporcional a ”. Para alterar o símbolo da proporcionalidade pelo da igualdade e incorporar valores numéricos, é necessário determinar o vínculo entre as variáveis, denominado constante de proporcionalidade .
Depois de fazer muitas medições, os antigos matemáticos determinaram que a constante de proporcionalidade entre o tamanho L da circunferência e o diâmetro D da circunferência fosse o número 3,1416 … As reticências indicam um número infinito de casas decimais.
Este valor não é outro senão o do famoso número π (pi) e, portanto, escrevemos:
L = π.D
Dessa forma, a proporção do comprimento para o diâmetro de uma circunferência é a mesma que a proporção do comprimento para o diâmetro de outra. E o melhor é que agora temos uma maneira de calcular o comprimento de qualquer circunferência apenas conhecendo seu diâmetro.
Exemplos de relações proporcionais
Na ciência (e também na vida cotidiana), é muito importante encontrar relações entre as variáveis, para saber como as mudanças em uma delas afetam a outra. Por exemplo:
-Se forem necessárias 3 xícaras de farinha para fazer uma dúzia de biscoitos. Quantas xícaras são necessárias para fazer 2 e meia dúzia?
– Sabendo que no planeta Mercúrio um objeto pesa 4 vezes menos que na Terra, quanto um carro de 1,5 tonelada pesará sobre Mercúrio?
-Como a mudança na força aplicada afeta a aceleração do corpo em que é aplicada?
-Se um veículo se move com movimento retilíneo uniforme em uma rodovia e sabemos que percorre 30 km em 10 minutos, qual será a distância percorrida após 20 minutos?
-Quando temos um fio através do qual uma corrente elétrica passa, como a tensão entre suas extremidades varia se aumenta?
-Se o diâmetro de um círculo é dobrado, como sua área é afetada?
-Como a distância afeta a intensidade do campo elétrico produzido por uma carga pontual?
A resposta está em relacionamentos proporcionais, mas nem todos os relacionamentos são do mesmo tipo. Então, vamos encontrá-los para todas as situações levantadas aqui.
Proporcionalidade direta e proporcionalidade inversa
Duas variáveis xey estão em proporção direta se estiverem relacionadas por:
y = kx
Onde k é a constante de proporcionalidade. Um exemplo é a relação entre as quantidades de farinha e biscoitos. Se representarmos graficamente essas variáveis, obteremos uma linha reta como a mostrada na figura:
Se y são os copos de farinha ex são as dezenas de biscoitos, a relação entre eles é:
y = 3x
Para x = 1 dúzia, precisamos de y = 3 xícaras de farinha. E para x = 2,5 dúzias, y = 7,5 xícaras de farinha são necessárias.
Mas também temos:
-O aceleração a que experimentado por um corpo é proporcional à força F que actua na mesma, com a massa do corpo, chamado m , a constante de proporcionalidade:
F = m a
Portanto, quanto maior a força aplicada, maior a aceleração produzida.
-Em condutores ôhmicos, a tensão V entre suas extremidades é proporcional à corrente aplicada I. A constante de proporcionalidade é a resistência R do condutor:
V = RI
– Quando um objeto se move com movimento retilíneo uniforme, a distância d é proporcional ao tempo t , com a velocidade v sendo a constante de proporcionalidade:
d = vt
Às vezes, encontramos duas quantidades tais que um aumento em uma produz uma diminuição proporcional na outra. Essa dependência é chamada de proporção inversa .
Por exemplo, na equação acima, o tempo t necessário para percorrer uma certa distância d é inversamente proporcional à velocidade v da jornada:
t = d / v
E assim, quanto maior a velocidade v, menos tempo leva para o carro percorrer a distância d. Se, por exemplo, a velocidade for dobrada, o tempo será reduzido pela metade.
Quando duas variáveis xey estão em proporção inversa, podemos escrever:
y = k / x
Sendo k a constante da proporcionalidade. O gráfico dessa dependência é:
Outros tipos de proporcionalidade
Em um dos exemplos mencionados anteriormente, imaginamos o que acontece com a área do círculo quando o raio aumenta. A resposta é que a área é diretamente proporcional ao quadrado do raio, onde π é a constante de proporcionalidade:
A = πR 2
Se o raio for dobrado, a área será aumentada por um fator de 4.
E no caso do campo elétrico E produzido por uma carga pontual q , sabe-se que a intensidade diminui com o quadrado inverso da distância r à carga q :
E = k e q / r 2
Mas também podemos afirmar que a intensidade do campo é diretamente proporcional à magnitude da carga, a constante de proporcionalidade k e sendo a constante eletrostática.
Outras proporcionalidades também apresentadas em Science são proporcionalidade exponencial e proporcionalidade logarítmica. No primeiro caso, as variáveis xey são relacionadas por:
y = ka x
Onde a é a base, um número positivo diferente de 0, que geralmente é 10 ou o número e. Por exemplo, o crescimento exponencial de bactérias tem essa forma.
No segundo caso, a relação entre as variáveis é:
y = k.log para x
Novamente a é a base do logaritmo, que geralmente é 10 (logaritmo decimal) ou e (logaritmo neperiano).
Exercícios
– Exercício 1
Sabendo que no planeta Mercúrio um objeto pesa 4 vezes menos que na Terra, quanto um carro de 1,5 tonelada pesaria sobre Mercúrio?
Solução
Peso em Mercúrio = (1/4) Peso na Terra = (1/4) x 1,5 toneladas = 0,375 tonelada.
– Exercício 2
Para uma festa, alguns amigos decidem preparar suco de concentrado de frutas. As instruções de embalagem dizem que 15 copos de suco são feitos de um copo de concentrado. Quanto concentrado é necessário para fazer 110 copos de suco?
Solução
Seja y o número de copos de suco ex x o número de copos de concentrado. Eles são relacionados por:
y = kx
Substituindo os valores y = 15 ex = 1, a constante k é limpa:
k = y / x = 15/1 = 15
Portanto:
110 = 15 x
x = 110/15 = 7,33 copos de concentrado de frutas.
Referências
- Baldor, A. 1974. Álgebra. Cultural Venezolana SA
- Giancoli, D. 2006. Física: Princípios com Aplicações. 6 th . Ed Prentice Hall.
- Tutores do time do colégio. Relações de proporcionalidade. Recuperado de: varsitytutors.com
- Wikipedia. Proporcionalidade. Recuperado de: es.wikipedia.org.
- Zill, D. 1984. Álgebra e trigonometria. McGraw Hill.