Técnicas de contagem: técnicas, aplicações e exemplos

As técnicas de contagem são uma série de métodos de probabilidade para contar o número de arranjos possíveis dentro de um conjunto ou vários conjuntos de objetos. Eles são usados ​​quando a execução manual de contas se torna um pouco complicada devido ao grande número de objetos e / ou variáveis.

Por exemplo, a solução para esse problema é muito simples: imagine que seu chefe solicite que você conte os produtos mais recentes que chegaram na última hora. Nesse caso, você pode ir e contar os produtos um por um.

Técnicas de contagem: técnicas, aplicações e exemplos 1

No entanto, imagine que o problema é este: seu chefe pede que você conte quantos grupos de 5 produtos do mesmo tipo podem ser formados com aqueles que chegaram no último minuto. Nesse caso, o cálculo é complicado. Para esses tipos de situações, são utilizadas as chamadas técnicas de contagem.

Essas técnicas são diversas, mas as mais importantes são divididas em dois princípios básicos, que são multiplicativos e aditivos; permutações e combinações.

Princípio multiplicativo

Aplicações

O princípio multiplicativo, juntamente com o aditivo, é básico para entender o funcionamento das técnicas de contagem. No caso da multiplicativa, consiste no seguinte:

Imagine uma atividade que envolva um número específico de etapas (o total é marcado como “r”), onde a primeira etapa pode ser executada nas formas N1, a segunda etapa em N2 e a etapa “r” nas formas Nr. Nesse caso, a atividade pode ser realizada no número de formulários resultantes desta operação: N1 x N2 x ……… .x Nr forms

É por isso que esse princípio é chamado multiplicativo e implica que todo e qualquer passo necessário para realizar a atividade deve ser realizado um após o outro.

Exemplo

Vamos imaginar uma pessoa que queira construir uma escola. Para fazer isso, considere que a base do edifício pode ser construída de duas maneiras diferentes, cimento ou concreto. Quanto às paredes, elas podem ser feitas de adobe, cimento ou tijolo.

Quanto ao telhado, este pode ser construído em cimento ou chapa galvanizada. Finalmente, a pintura final só pode ser feita de uma maneira. A questão que se coloca é a seguinte: Quantas maneiras você tem para construir a escola?

Primeiro, consideramos o número de etapas, que seriam a base, as paredes, o telhado e a tinta. No total, 4 etapas, então r = 4.

O seguinte seria listar o N:

N1 = maneiras de construir a base = 2

N2 = maneiras de construir as paredes = 3

N3 = maneiras de fazer o telhado = 2

N4 = formas de pintura = 1

Portanto, o número de formas possíveis seria calculado usando a fórmula descrita acima:

N1 x N2 x N3 x N4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 maneiras de fazer faculdade.

Princípio aditivo

Aplicações

Esse princípio é muito simples e consiste no fato de que, no caso de várias alternativas de realização da mesma atividade, as formas possíveis consistem na soma das diferentes maneiras possíveis de executar todas as alternativas.

Em outras palavras, se queremos realizar uma atividade com três alternativas, onde a primeira alternativa pode ser realizada nas formas M, a segunda nas formas N e a última nas formas W, a atividade pode ser realizada em: M + N + ……… + Formas W.

Exemplo

Imagine desta vez uma pessoa que quer comprar uma raquete de tênis. Para fazer isso, tem três marcas para escolher: Wilson, Babolat ou Head.

Quando ele vai à loja, vê que a raquete Wilson pode ser comprada com a alça de dois tamanhos diferentes, L2 ou L3 e em quatro modelos diferentes, e pode ser amarrada ou desatada.

A raquete Babolat, por outro lado, possui três alças (L1, L2 e L3), existem dois modelos diferentes e também pode ser amarrada ou amarrada.

A raquete Head, entretanto, é apenas com uma alça, a L2, em dois modelos diferentes e apenas sem amarrar. A pergunta é: quantas maneiras essa pessoa tem para comprar sua raquete?

M = Número de maneiras de selecionar uma raquete Wilson

N = Número de maneiras de selecionar uma raquete Babolat

W = Número de maneiras de selecionar uma raquete Head

Percebemos o princípio multiplicador:

M = 2 x 4 x 2 = 16 formas

N = 3 x 2 x 2 = 12 formas

W = 1 x 2 x 1 = 2 formas

M + N + W = 16 + 12 + 2 = 30 maneiras de escolher uma raquete.

Para saber quando usar o princípio multiplicativo e o aditivo, basta analisar se a atividade tem uma série de etapas a serem executadas e, se houver várias alternativas, o aditivo.

Permutações

Aplicações

Para entender o que é uma permutação, é importante explicar o que é uma combinação para que você possa diferenciá-los e saber quando usá-los.

Uma combinação seria uma matriz de elementos nos quais não estamos interessados ​​na posição que cada um deles ocupa.

Uma permutação, por outro lado, seria um arranjo de elementos nos quais estamos interessados ​​na posição que cada um deles ocupa.

Vamos dar um exemplo para entender melhor a diferença.

Exemplo

Imagine uma aula com 35 alunos e com as seguintes situações:

  1. O professor deseja que três de seus alunos ajudem a manter a classe limpa ou a entregar materiais para os outros alunos quando ele precisar.
  2. O professor deseja nomear os delegados da turma (um presidente, um assistente e um financiador).

A solução seria a seguinte:

  1. Imagine que, por voto, Juan, María e Lucía sejam escolhidos para limpar a classe ou entregar os materiais. Obviamente, outros grupos de três pessoas poderiam ter sido formados, entre os 35 possíveis alunos.

Devemos nos perguntar o seguinte: a ordem ou posição de cada aluno é importante ao selecioná-los?

Se pensarmos sobre isso, vemos que isso realmente não é importante, pois o grupo vai lidar com as duas tarefas igualmente. Nesse caso, é uma combinação, pois não estamos interessados ​​na posição dos elementos.

  1. Agora vamos imaginar que Juan é eleito presidente, Maria como assistente e Lucia como financeira.

Nesse caso, a ordem importaria? A resposta é sim, porque se mudarmos os elementos, o resultado mudará. Ou seja, se em vez de colocar Juan como presidente, o colocarmos como assistente e Maria como presidente, o resultado final mudaria. Neste caso, é uma permutação.

Uma vez entendida a diferença, obteremos as fórmulas de permutações e combinações. No entanto, o termo “n!” (Fatorial ene) deve primeiro ser definido, pois será usado nas diferentes fórmulas.

n! = para o produto de 1 a n.

n! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… ..x n

Utilizando-o com números reais:

10! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… x 10 = 3.628.800

5! = 1 x 2 x 3 x 4 x ……… x 5 = 120

A fórmula de permutações seria a seguinte:

nPr = n! / (nr)!

Com ele, podemos descobrir os arranjos em que a ordem é importante e onde os n elementos são diferentes.

Combinações

Aplicações

Como comentamos anteriormente, as combinações são os arranjos em que não nos importamos com a posição dos elementos.

Sua fórmula é a seguinte:

nCr = n! / (nr)! r!

Exemplo

Se há 14 alunos que desejam se voluntariar para limpar a sala de aula, quantos grupos de limpeza cada grupo pode ter para 5 pessoas?

A solução, portanto, seria a seguinte:

n = 14, r = 5

14C5 = 14! / (14 – 5)! 5! = 14! / 9! 5! = 14 x 13 x 12 x 11 x 10 x 9! / 9! 5! = 2002 grupos

Referências

  1. Jeffrey, RC, Probabilidade e a arte do julgamento, Cambridge University Press. (1992).
  2. William Feller, “Uma Introdução à Teoria das Probabilidades e Suas Aplicações “, (Vol 1), 3ª Ed, (1968), Wiley
  3. Finetti, Bruno de (1970). “Fundamentos lógicos e medição da probabilidade subjetiva” . Registro psicológico.
  4. Hogg, Robert V.; Craig, Allen; McKean, Joseph W. (2004).Introdução à Estatística Matemática (6ª ed.). Rio Saddle superior: Pearson.
  5. Franklin, J. (2001) A Ciência da Conjectura: Evidência e Probabilidade Antes de Pascal, Johns Hopkins University Press.

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