Tiro parabólico: características, fórmulas e equações, exemplos

Tiro parabólico: características, fórmulas e equações, exemplos

O parabólico de lançar um objeto ou ângulo de projétil e deixá-lo se mover sob a ação da gravidade. Se a resistência do ar não for considerada, o objeto, independentemente de sua natureza, seguirá um caminho de arco parábola.

É um movimento cotidiano, pois entre os esportes mais populares estão aqueles em que bolas ou bolas são lançadas, seja com a mão, o pé ou com um instrumento como uma raquete ou taco, por exemplo.

Para o seu estudo, o tiro parabólico é dividido em dois movimentos sobrepostos: um horizontal sem aceleração e outro vertical com aceleração constante, que é a gravidade. Ambos os movimentos têm velocidade inicial.

Digamos que o movimento horizontal ocorra ao longo do eixo xe o movimento vertical ao longo do eixo y. Cada um desses movimentos é independente do outro.

Como determinar a posição do projétil é o objetivo principal, é necessário escolher um sistema de referência apropriado. Os detalhes estão abaixo.

Fórmulas e equações de arremesso parabólico

Suponha que o objeto seja lançado com o ângulo α em relação à velocidade horizontal e inicial v ou como mostrado na figura abaixo à esquerda. O arremesso parabólico é um movimento que ocorre no plano xy e, nesse caso, a velocidade inicial é reduzida assim:

v ox = v ou cos α

v oy = v o sin α

A posição do projétil, que é o ponto vermelho na Figura 2, imagem à direita, também possui dois componentes dependentes do tempo, um em x e outro em y . A posição é um vetor denotado por re  suas unidades são comprimento.

Na figura, a posição inicial do projétil coincide com a origem do sistema de coordenadas, portanto x o = 0, y o = 0. Nem sempre é o caso, você pode escolher a origem em qualquer lugar, mas essa escolha simplifica muito cálculos.

Quanto aos dois movimentos em xey, são eles:

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-x (t): é um movimento retilíneo uniforme.

-y (t): corresponde a um movimento retilíneo uniformemente acelerado com g = 9,8 m / s 2 e apontando verticalmente para baixo.

Em forma matemática:

x (t) = v ou cos α .t

y (t) = v ou .sen α .t – ½g.t 2

O vetor de posição é:

r (t) = [v o cos α .t] i + [v o .sen α .t – ½g.t 2 ] j

Nestas equações, o leitor atento notará que o sinal de menos se deve ao fato de a gravidade apontar para o solo, a direção escolhida como negativa, enquanto a subida é considerada positiva.

Como a velocidade é a primeira derivada da posição, basta derivar r (t) em relação ao tempo e obter:

v (t) = v o cos α  i + (v o. sin α  – gt) j

Finalmente, a aceleração é expressa vetorialmente como:

 a (t) = -g j

– Trajetória, altura máxima, tempo máximo e alcance horizontal

Trajetória

Para encontrar a equação explícita do caminho, que é a curva y (x), o parâmetro time deve ser eliminado, resolvendo a equação para x (t) e substituindo y (t). A simplificação é um tanto trabalhosa, mas você finalmente obtém:

Altura máxima

A altura máxima ocorre quando v y = 0 . Sabendo que existe a seguinte relação entre a posição e o quadrado da velocidade:

v y 2 = v oy 2 – 2gy

Fazendo v y = 0 assim que a altura máxima for atingida:

 0 = v oy 2 – 2g E max → y max  = v oy 2 / 2g

Com:

v oy = v ou sinα

Tempo máximo

O tempo máximo é o tempo que o objeto leva para chegar e max . Para calcular, usamos:

v y = v ou .sen α  – gt

Sabendo que v y torna-se 0, quando t = t max , resulta:

v o .sen α  – gt max = 0

t max = v oy / g

Alcance horizontal máximo e tempo de voo

O alcance é muito importante, porque sinaliza onde o objeto cairá. Dessa forma, saberemos se ele atinge o alvo ou não. Para encontrá-lo, precisamos do tempo de voo, tempo total ou v .

A partir da ilustração anterior, é fácil concluir que t v = 2.t máx . Mas tenha cuidadoǃ só é verdade se o lançamento for nivelado, ou seja, a altura do ponto de partida é igual à altura da chegada. Caso contrário, o tempo é encontrado resolvendo a equação quadrática resultante da substituição da posição final e final :

e final = v ou .sen α .t v – ½g.t v 2

De qualquer forma, o alcance horizontal máximo é:

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x max = v ox . t v

Exemplos de tiro parabólico

O tiro parabólico faz parte do movimento de pessoas e animais. Também de quase todos os esportes e jogos em que a gravidade intervém. Por exemplo:

Tiro parabólico em atividades humanas

-A pedra jogada por uma catapulta.

-O chute do goleiro.

-A bola jogada pelo arremessador.

-A flecha saindo do arco.

-Todos os tipos de saltos

-Jogue uma pedra com uma tipóia.

-Qualquer arma de arremesso.

O tiro parabólico na natureza

-A água que vem de jatos naturais ou artificiais, como os de uma fonte.

Pedras e lava brotando de um vulcão.

-Uma bola que pula na calçada ou uma pedra que pula na água.

-Todos os tipos de animais que saltam: cangurus, golfinhos, gazelas, gatos, sapos, coelhos ou insetos, para citar alguns.

Exercício

Um gafanhoto salta em um ângulo de 55º com a horizontal e cai 0,80 metros depois. Encontrar:

a) A altura máxima atingida.

b) Se ele pulasse com a mesma velocidade inicial, mas em um ângulo de 45º, alcançaria mais alto?

c) O que se pode dizer sobre o alcance horizontal máximo para esse ângulo?

Solução para

Quando os dados fornecidos pelo problema não contêm a velocidade inicial v ou os cálculos são um pouco mais trabalhosos, mas uma nova expressão pode ser derivada das equações conhecidas. Partindo de:

x max = v ox . t voo = v o .cos α . t v

Quando você pousar mais tarde, a altura voltará a 0, então:

v o . sin α. t v – ½ g.t v 2 = 0

Como t v é um fator comum, é simplificado:

v o . sen α  – ½g.t v = 0

Podemos limpar t v da primeira equação:

t v = x max / v o .cos α

E substitua no segundo:

v o . sen α  – (½ g.x máx / v ou .cos α ) = 0

Ao multiplicar todos os termos por v ou .cos α,  a expressão não é alterada e o denominador desaparece: 

(v o . sin α.) (v o .cos α ) – ½g.x max = 0

v ou 2 sin α. cos α  = ½g.x máx

Agora você pode limpar v ou ou também substituir a seguinte identidade:

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sin 2α = 2 sin α. cos α  → v ou 2 sin 2α = gx max

É calculado v ou 2 :

v ou 2 = g. x max / sen 2α = (9,8 x 0,8 / sin 110) m 2 / s 2 = 8,34 m 2 / s 2

E finalmente a altura máxima:

 y max = v oy 2 / 2g = (8,34 x sin 2 55) / (2 x 9,8) m = 0,286 m = 28,6 cm

 Solução b

A lagosta consegue manter a mesma velocidade horizontal, mas diminuindo o ângulo:

 y max = v oy 2 / 2g = (8,34 x sen 2 45) / (2 x 9,8) m = 0,213 m = 21,3 cm

Atinge uma altura mais baixa.

Solução c

O alcance horizontal máximo é:

x max = v ou 2 sen 2a / g

A variação do ângulo também altera a faixa horizontal:

 x max = 8,34 sen 90 / 9,8  m = 0,851 m = 85,1 cm

O salto é mais longo agora. O leitor pode verificar se o ângulo máximo é de 45º, pois:

sen 2α = sin 90 = 1.

Referências

  1. Figueroa, D. 2005. Série: Física para Ciências e Engenharia. Volume 1. Cinemática. Editado por Douglas Figueroa (USB).
  2. Giambattista, A. 2010. Física. Segunda edição. McGraw Hill.
  3. Giancoli, D. 2006. Física: Princípios com Aplicações. 6 th . Ed Prentice Hall.
  4. Resnick, R. 1999. Physics. Vol. 1. 3º Ed. Em espanhol. Empresa Editorial Continental SA de CV
  5. Sears, Zemansky. 2016. Física Universitária com Física Moderna. 14 th . Ed. Volume 1.

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