Tiro parabólico oblíquo: características, fórmulas, equações, exemplos

O tiro parabólico oblíquo é um caso particular do movimento de queda livre em que a velocidade inicial do projétil forma um certo ângulo com a horizontal, resultando em um caminho parabólico.

A queda livre é um caso de movimento com aceleração constante, em que a aceleração é a da gravidade, que sempre aponta verticalmente para baixo e tem uma magnitude de 9,8 m / s ^ 2. Não depende da massa do projétil, como Galileu Galilei demonstrou em 1604.

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Figura 1. Injeção parabólica oblíqua. (Elaboração própria)

Se a velocidade inicial do projétil é vertical, a queda livre tem uma trajetória reta e vertical, mas se a velocidade inicial é oblíqua, o caminho da queda livre é uma curva parabólica, fato também demonstrado pelo Galileo.

Exemplos de movimento parabólico são o caminho seguido por uma bola de beisebol, a bala disparada por um canhão e o jato de água saindo de uma mangueira.

A Figura 1 mostra um tiro parabólico oblíquo de 10 m / s com um ângulo de 60 °. A escala está em metros e as posições sucessivas de P são tomadas com uma diferença de 0,1 s a partir do momento inicial 0 segundos.

Fórmulas

O movimento de uma partícula é completamente descrito se sua posição, velocidade e aceleração são conhecidas como função do tempo.

O movimento parabólico resultante de um tiro oblíquo é a superposição de um movimento horizontal em velocidade constante, mais um movimento vertical com aceleração constante igual à aceleração da gravidade.

As fórmulas que se aplicam ao tiro parabólico oblíquo são aquelas que correspondem a um movimento com aceleração constante a = g , observe que negrito foi usado para indicar que a aceleração é uma quantidade vetorial.

Posição e velocidade

Em um movimento com aceleração constante, a posição depende matematicamente do tempo na forma quadrática.

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Se denotamos r (t) a posição no tempo t , r ou a posição no instante inicial, v ou a velocidade inicial, g a aceleração et = 0 como instante inicial, a fórmula que fornece a posição para cada momento do tempo t é :

r (t) = r o + v ou t + ½ g t 2

As letras em negrito na expressão anterior indicam que é uma equação vetorial.

A velocidade em função do tempo é obtida tomando a derivada em relação à posição e o resultado é:

v (t) = v o + g t

E para obter a aceleração em função do tempo, é tomada a derivada da velocidade em relação a t, resultando em:

a (t) = g

Quando o tempo não está disponível, existe uma relação entre velocidade e posição, que é dada por:

v 2 = v ou 2 – 2 g (y – yo)

Equações

Abaixo, encontraremos as equações que se aplicam a um tiro parabólico oblíquo na forma cartesiana.

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Figura 2. Variáveis ​​e parâmetros do tiro parabólico oblíquo. (Elaboração própria)

O movimento começa no momento t = 0 com a posição inicial (xo, i) e velocidade de magnitude v o e ângulo θ , ou seja, o vetor de velocidade inicial é (v ou cosθ, v ou sinθ) . O movimento ocorre com aceleração

g = (0, -g).

Equações paramétricas

Se a fórmula vetorial que fornece a posição em função do tempo for aplicada e os componentes forem agrupados e combinados, serão obtidas as equações que fornecem as coordenadas da posição em qualquer momento do tempo t.

x (t) = x o + v ox t

y (t) = y o + v oy t -½ gt 2

Da mesma forma, temos as equações para os componentes de velocidade em função do tempo.

v x (t) = v ox

v e (t) = v o – gt

Onde: v ox = v ou cosθ;v oy = v o senθ

Equação do caminho

y = A x ^ 2 + B x + C

A = -g / (2 v ox ^ 2)

B = (v oy / v ox + gx o / v ox ^ 2)

C = (y o – v oy x o / v ox )

Exemplos

Exemplo 1

Responda às seguintes perguntas:

a) Por que, nos problemas do tiro parabólico, o efeito do atrito com o ar é geralmente negligenciado?

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b) A forma do objeto no disparo parabólico é importante?

Respostas

a) Para que o movimento de um projétil seja parabólico, é importante que a força de atrito do ar seja muito menor que o peso do objeto que está sendo jogado.

Se uma bola de cortiça ou algum material leve for lançado, a força de atrito é comparável ao peso e sua trajetória não pode se aproximar de uma parábola.

Pelo contrário, se é um objeto pesado como uma pedra, a força de atrito é desprezível em comparação com o peso da pedra e sua trajetória se aproxima de uma parábola.

b) A forma do objeto lançado também é relevante. Se uma folha de papel na forma de um avião for lançada, seu movimento não será queda livre ou parabólica, pois a forma favorece a resistência do ar.

Por outro lado, se a mesma folha de papel for compactada na forma de uma bola, o movimento resultante será muito semelhante a uma parábola.

Exemplo 2

Um projétil é lançado do solo horizontal com uma velocidade de 10 m / se um ângulo de 60 °. Estes são os mesmos dados com os quais a figura 1. Foi elaborada com os seguintes dados:

a) Instantâneo quando atingir a altura máxima.

b) A altura máxima.

c) A velocidade na altura máxima.

d) A posição e velocidade em 1,6 s.

e) No momento em que ele toca o chão novamente.

f) O alcance horizontal.

Solução a)

A velocidade vertical em função do tempo é

v y (t) = v oy – gt = v ou sinθ – gt = 10 sen60º – 9,8 t = 8,66 – 9,8 t

Quando a altura máxima é atingida, a velocidade vertical é zero por um instante.

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8,66 – 9,8 t = 0 ⇒ t = 0,88 s .

Solução b)

A altura máxima é dada pela coordenada e no momento em que essa altura é atingida:

y (0,88s) = I + I t -½ gt ^ 2 = 0 + 8,66 * 0,88-½ 9,8 0,88 ^ 2 =

3,83 m

Portanto, a altura máxima é de 3,83 m.

Solução c)

A velocidade máxima da altura é horizontal:

v x (t) = v ox = v ou cosθ = 10 cos60º = 5 m / s

Solução d)

A posição em 1,6 s é:

x (1,6) = 5 * 1,6 = 8,0 m

e (1,6) = 8,66 * 1,6-½ 9,8 1,6 2 = 1,31 m

Solução e)

Quando você toca no chão de coordenadas e ele cancela, então:

y (t) = 8,66 * t-½ 9,8 t 2 = 0 ⇒ t = 1,77 s

Solução f)

A faixa horizontal é a coordenada x no momento em que toca o chão:

x (1,77) = 5 * 1,77 = 8,85 m

Exemplo 3

Encontre a equação do caminho com os dados no exemplo 2.

Solução

A equação do caminho paramétrico é:

x (t) = 5 * t

y (t) = 8,66 * t-½ 9,8 t ^ 2

E a equação cartesiana é obtida limpando t do primeiro e substituindo no segundo

y = 8,66 * (x / 5) -½ 9,8 (x / 5) ^ 2

Simplificando:

y = 1,73 x – 0,20 x ^ 2

Referências

  1. PP Teodorescu (2007). «Cinemática». Sistemas Mecânicos, Modelos Clássicos: Mecânica de Partículas. Springer
  2. Resnick, Halliday e Krane (2002). Volume de Física 1. Cecsa, México.
  3. Thomas Wallace Wright (1896). Elementos da Mecânica, incluindo Cinemática, Cinética e Estática. E e FN Spon.
  4. Wikipedia Movimento parabólico Recuperado de es.wikipedia.org.
  5. WikipediaMovimento de projétil, recuperado de en.wikipedia.org.

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