A velocidade areolar é um conceito importante na física que se refere à velocidade de um objeto em relação ao tempo em um movimento circular. Para calcular e resolver exercícios envolvendo velocidade areolar, é necessário ter em mente a fórmula básica que relaciona a velocidade areolar com a velocidade angular e o raio da trajetória circular. Além disso, é fundamental compreender a relação entre a velocidade linear e a velocidade angular, bem como a conversão entre unidades de medida. Neste artigo, vamos explorar como os exercícios envolvendo a velocidade areolar são calculados e resolvidos, proporcionando uma compreensão mais clara desse importante conceito da física.
Entenda o conceito de velocidade areolar: o que é e como calcular.
Velocidade areolar: é um conceito utilizado na matemática para calcular a velocidade instantânea de um objeto em movimento em um determinado ponto. Ela representa a taxa de variação do deslocamento em relação ao tempo em um instante específico.
Para calcular a velocidade areolar, é necessário utilizar a derivada da função que descreve o movimento do objeto. A fórmula para calcular a velocidade areolar é dada por:
v(t) = lim Δt→0 Δs/Δt
Onde v(t) representa a velocidade instantânea no tempo t, Δs é o deslocamento do objeto em um intervalo de tempo Δt e lim Δt→0 indica que estamos calculando a derivada da função em um ponto específico.
Para resolver exercícios envolvendo velocidade areolar, é necessário identificar a função que descreve o movimento do objeto, calcular a derivada dessa função em relação ao tempo e, por fim, substituir o valor do tempo desejado na derivada para obter a velocidade instantânea nesse ponto.
Em resumo, a velocidade areolar é a velocidade instantânea de um objeto em movimento em um determinado ponto, calculada através da derivada da função que descreve o seu movimento. É um conceito fundamental na análise do movimento de objetos em diversas áreas, como física e matemática.
Qual a equação que representa a segunda lei do movimento planetário?
A segunda lei do movimento planetário é representada pela equação matemática conhecida como lei das áreas. Essa lei afirma que a velocidade areolar de um planeta em órbita é constante, ou seja, a área varrida pelo raio vetor que une o planeta ao Sol em um determinado intervalo de tempo é sempre a mesma.
Matematicamente, a velocidade areolar é calculada pela seguinte equação:
Velocidade areolar = constante = (1/2) * r^2 * dθ/dt
Onde:
- r é o raio da órbita do planeta
- θ é o ângulo formado entre o raio vetor e a posição do planeta na órbita
- t é o tempo
Para resolver exercícios envolvendo a velocidade areolar, é necessário conhecer esses conceitos e aplicar a equação de maneira correta. Geralmente, os exercícios pedem para calcular a velocidade areolar em um determinado instante de tempo ou para determinar o raio da órbita sabendo a velocidade areolar e o ângulo θ.
Portanto, compreender a equação que representa a segunda lei do movimento planetário e saber como calcular a velocidade areolar são fundamentais para resolver problemas relacionados ao movimento dos corpos celestes no espaço.
A proximidade do planeta com o Sol influencia diretamente em sua velocidade orbital?
Sim, a proximidade do planeta com o Sol influencia diretamente em sua velocidade orbital. De acordo com a segunda lei de Kepler, os planetas se movem mais rapidamente em suas órbitas quando estão mais próximos do Sol. Isso ocorre porque a força gravitacional do Sol é mais forte quando o planeta está mais próximo, o que acelera sua velocidade orbital.
A velocidade areolar, que é a velocidade angular por unidade de área percorrida pelo planeta em sua órbita, é calculada pela fórmula v = 2πr/t, onde v é a velocidade areolar, r é o raio da órbita e t é o período orbital do planeta. Para resolver exercícios envolvendo a velocidade areolar, é necessário conhecer o raio da órbita e o período orbital do planeta.
Em resumo, a proximidade do planeta com o Sol influencia diretamente em sua velocidade orbital devido à força gravitacional mais forte exercida pelo Sol quando o planeta está mais próximo. A velocidade areolar é calculada pela fórmula mencionada e é importante para entender o movimento dos planetas em suas órbitas.
A velocidade dos planetas aumenta conforme se distanciam do Sol.
Um dos conceitos fundamentais para entender o movimento dos planetas em suas órbitas ao redor do Sol é a velocidade areolar. Essa grandeza física representa a velocidade angular de um planeta em sua órbita, ou seja, a velocidade com que um planeta percorre uma determinada área em um determinado intervalo de tempo.
Curiosamente, a velocidade dos planetas não é constante ao longo de suas órbitas. De acordo com a segunda lei de Kepler, os planetas se movem mais rapidamente quando estão mais próximos do Sol e mais lentamente quando estão mais distantes. Isso significa que a velocidade areolar de um planeta aumenta conforme ele se distância do Sol.
Para calcular a velocidade areolar de um planeta em um determinado ponto de sua órbita, é necessário levar em consideração sua velocidade linear e a distância ao Sol. A fórmula para calcular a velocidade areolar é dada por:
v = r x ω
Onde v é a velocidade areolar, r é a distância do planeta ao Sol e ω é a velocidade angular do planeta. Para resolver exercícios envolvendo a velocidade areolar, é importante ter em mente esses conceitos e aplicar a fórmula corretamente, substituindo os valores conhecidos e realizando as operações matemáticas necessárias.
Em resumo, a velocidade dos planetas aumenta conforme se distanciam do Sol devido à relação entre a distância ao Sol e a velocidade angular do planeta. Entender e calcular a velocidade areolar é essencial para compreender o movimento dos corpos celestes em nosso sistema solar.
Velocidade areolar: como são calculados e resolvidos os exercícios
A velocidade areolar é a área varrida por unidade de tempo e é constante. É típico de cada planeta e surge da descrição da segunda lei de Kepler em forma matemática. Neste artigo, explicaremos o que é e como é calculado.
O boom que representa a descoberta de planetas fora do sistema solar reavivou o interesse no movimento planetário. Nada nos leva a acreditar que esses exoplanetas sigam outras leis além daquelas já conhecidas e válidas no sistema solar: as leis de Kepler.
Johannes Kepler foi o astrônomo que, sem a ajuda do telescópio e usando as observações de seu mentor Tycho Brahe , criou um modelo matemático que descreve o movimento dos planetas ao redor do Sol.
Ele deixou esse modelo incorporado nas três leis que levam seu nome e que ainda hoje são tão válidas quanto em 1609, quando estabeleceu as duas primeiras e em 1618, a data em que enunciou a terceira.
Leis Kepler
No idioma atual, as três leis de Kepler dizem:
1. As órbitas de todos os planetas são elípticas e o Sol está em foco.
2. O vetor de posição que vai do Sol para um planeta varre áreas iguais em tempos iguais.
3. O quadrado do período orbital de um planeta é proporcional ao cubo do semi-ieje maior da elipse descrita.
Um planeta terá uma velocidade linear , como qualquer objeto conhecido que se mova. E há mais: ao escrever a segunda lei de Kepler em forma matemática, surge um novo conceito chamado velocidade areolar , típico de cada planeta.
Por que os planetas se movem elipticamente ao redor do sol?
A Terra e os outros planetas se movem ao redor do Sol porque exerce uma força sobre eles: atração gravitacional. O mesmo vale para qualquer outra estrela e os planetas que compõem seu sistema, se você os tiver.
Essa é uma força do tipo conhecida como força central . O peso é uma força central com a qual todos estão familiarizados.O objeto que exerce a força central, seja o Sol ou uma estrela distante, atrai os planetas em direção ao seu centro e eles se movem descrevendo uma curva fechada.
Em princípio, essa curva pode ser aproximada como uma circunferência, como fez Nicholas Copernicus , um astrônomo polonês que criou a teoria heliocêntrica.
A força responsável é a atração gravitacional. Essa força depende diretamente das massas da estrela e do planeta em questão e é inversamente proporcional ao quadrado da distância que as separa.
O problema não é tão fácil, porque em um sistema solar, todos os elementos interagem dessa maneira, adicionando complexidade ao assunto. Também não são partículas, pois estrelas e planetas têm tamanho mensurável.
Por esse motivo, o ponto central da órbita ou do circuito percorrido pelos planetas não está exatamente centrado na estrela, mas em um ponto conhecido como centro de gravidade do sistema planeta-sol.
A órbita resultante é elíptica . A imagem a seguir mostra, tomando como exemplo a Terra e o Sol:
O afélio é a posição mais distante da Terra ao Sol, enquanto o periélio é o ponto mais próximo. A elipse pode ser mais ou menos achatada, dependendo das características do sistema planeta estrela.
Os valores de afélio e periélio variam anualmente, uma vez que os outros planetas causam distúrbios. Para outros planetas, essas posições são chamadas apoastro e periastro, respectivamente.
A magnitude da velocidade linear de um planeta não é constante
Kepler descobriu que quando um planeta orbita o Sol, durante seu movimento, varre áreas iguais em momentos iguais. A Figura 2 mostra graficamente o significado disso:
Matematicamente, o facto de Um 1 igual a um 2 é expressa como:
Os arcos cobertos Δs são pequenos, de modo que cada área pode se aproximar da de um triângulo:
Como Δs = v Δ t , onde v é a velocidade linear do planeta em um determinado ponto, ao substituir, temos:
E como o intervalo de tempo Δt é o mesmo, você obtém:
Como r 2 > r 1 , então v 1 > v 2 , em outras palavras, a velocidade linear de um planeta não é constante. De fato, a Terra vai mais rápido quando está no periélio do que quando está no afélio.
Portanto, a velocidade linear da Terra ou de qualquer planeta ao redor do Sol não é uma magnitude que serve para caracterizar o movimento desse planeta.
Velocidade areolar
A segunda lei de Kepler sugere uma nova magnitude chamada velocidade areolar. É definida como a área varrida por unidade de tempo e é constante. A figura a seguir é usada para calculá-lo:
Uma pequena área varrida pela Terra é escolhida durante a execução de seu circuito elíptico, que iremos designar como ΔA. O tempo necessário para isso é Δt.
A Figura 3 mostra o vetor de posição da Terra em relação ao Sol, indicado por r. Quando a terra se move, é submetido a um deslocamento Δ r .
Essa área corresponde à metade da área do retângulo mostrada na Figura 3:
A razão Δr / Δt é precisamente a velocidade linear da Terra, portanto a velocidade areolar é a seguinte:
As unidades de v A no Sistema Internacional são:
Observe que, embora r e v variem, o produto permanece constante. Isso faz da velocidade areolar uma magnitude muito adequada para caracterizar o movimento de um planeta em torno de sua estrela.
O produto de r e v é a magnitude do momento angular G , de modo que a velocidade do sector pode ser expressa como:
Cálculo da velocidade linear e da velocidade areolar
Com o exemplo a seguir, mostraremos como calcular a velocidade areolar quando alguns parâmetros do movimento planetário são conhecidos:
Exercício
Um exoplaneta se move ao redor do sol seguindo uma órbita elíptica, de acordo com as leis de Kepler. Quando no periastro, o seu raio vector é r 1 = 4 × 10 7 km ao , e quando na apoastro é r 2 = 15 × 10 7 km ao . A velocidade linear em seu periastro é v 1 = 1000 km / s.
Calcular:
A) A magnitude da velocidade no palco.
B) A velocidade areolar do exoplaneta.
C) O comprimento do eixo semi-principal da elipse.
Resposta A)
A equação é usada:
em que os valores numéricos são substituídos.
Cada termo é identificado da seguinte maneira:
v 1 = velocidade em uma etapa;v 2 = velocidade no periastro; r 1 = distância da madrasta,
r 2 = distância do periastro.
Com esses valores, você obtém:
Resposta B)
A equação a ser usada é
em que o par de valores ryv do periastro ou do apoastro pode ser substituído, uma vez que v A é uma constante do planeta:
Resposta C)
O comprimento do eixo semi-maior da elipse é o semisuma do apoastro e o periastro:
Bibliografia
- Serway, R., Jewett, J. (2008). Física para Ciências e Engenharia. Volume 1 . México Cengage Learning Publishers. 367-372.
- Stern, D. (2005). As Três Leis Kepler do Movimento Planetário . Recuperado de pwg.gsfc.nasa.gov
- Nota : o exercício proposto foi adotado e modificado a partir do texto a seguir de um livro da McGrawHill. Infelizmente, é um capítulo isolado em formato pdf, sem o título ou o autor: mheducation.es/bcv/guide/capitulo/844817027X.pdf