Velocidade areolar: como são calculados e resolvidos os exercícios

A velocidade areolar é a área varrida por unidade de tempo e é constante. É típico de cada planeta e surge da descrição da segunda lei de Kepler em forma matemática. Neste artigo, explicaremos o que é e como é calculado.

O boom que representa a descoberta de planetas fora do sistema solar reavivou o interesse no movimento planetário. Nada nos leva a acreditar que esses exoplanetas sigam outras leis além daquelas já conhecidas e válidas no sistema solar: as leis de Kepler.

Johannes Kepler foi o astrônomo que, sem a ajuda do telescópio e usando as observações de seu mentor Tycho Brahe , criou um modelo matemático que descreve o movimento dos planetas ao redor do Sol.

Ele deixou esse modelo incorporado nas três leis que levam seu nome e que ainda hoje são tão válidas quanto em 1609, quando estabeleceu as duas primeiras e em 1618, a data em que enunciou a terceira.

Leis Kepler

No idioma atual, as três leis de Kepler dizem:

1. As órbitas de todos os planetas são elípticas e o Sol está em foco.

2. O vetor de posição que vai do Sol para um planeta varre áreas iguais em tempos iguais.

3. O quadrado do período orbital de um planeta é proporcional ao cubo do semi-ieje maior da elipse descrita.

Um planeta terá uma velocidade linear , como qualquer objeto conhecido que se mova. E há mais: ao escrever a segunda lei de Kepler em forma matemática, surge um novo conceito chamado velocidade areolar , típico de cada planeta.

Por que os planetas se movem elipticamente ao redor do sol?

A Terra e os outros planetas se movem ao redor do Sol porque exerce uma força sobre eles: atração gravitacional. O mesmo vale para qualquer outra estrela e os planetas que compõem seu sistema, se você os tiver.

Essa é uma força do tipo conhecida como força central . O peso é uma força central com a qual todos estão familiarizados.O objeto que exerce a força central, seja o Sol ou uma estrela distante, atrai os planetas em direção ao seu centro e eles se movem descrevendo uma curva fechada.

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Em princípio, essa curva pode ser aproximada como uma circunferência, como fez Nicholas Copernicus , um astrônomo polonês que criou a teoria heliocêntrica.

A força responsável é a atração gravitacional. Essa força depende diretamente das massas da estrela e do planeta em questão e é inversamente proporcional ao quadrado da distância que as separa.

O problema não é tão fácil, porque em um sistema solar, todos os elementos interagem dessa maneira, adicionando complexidade ao assunto. Também não são partículas, pois estrelas e planetas têm tamanho mensurável.

Por esse motivo, o ponto central da órbita ou do circuito percorrido pelos planetas não está exatamente centrado na estrela, mas em um ponto conhecido como centro de gravidade do sistema planeta-sol.

A órbita resultante é elíptica . A imagem a seguir mostra, tomando como exemplo a Terra e o Sol:

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Figura 1. A órbita da Terra é elíptica, com o Sol localizado em um dos focos. Quando a Terra e o Sol estão à sua distância máxima, diz-se que a Terra está em afélio. E se a distância é mínima, falamos sobre periélio.

O afélio é a posição mais distante da Terra ao Sol, enquanto o periélio é o ponto mais próximo. A elipse pode ser mais ou menos achatada, dependendo das características do sistema planeta estrela.

Os valores de afélio e periélio variam anualmente, uma vez que os outros planetas causam distúrbios. Para outros planetas, essas posições são chamadas apoastro e periastro, respectivamente.

A magnitude da velocidade linear de um planeta não é constante

Kepler descobriu que quando um planeta orbita o Sol, durante seu movimento, varre áreas iguais em momentos iguais. A Figura 2 mostra graficamente o significado disso:

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Figura 2. O vetor de posição de um planeta em relação ao Sol é r. Quando o planeta descreve sua órbita, viaja um arco elipse Δs em um tempo Δt.
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Matematicamente, o facto de Um 1 igual a um 2 é expressa como:

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Os arcos cobertos Δs são pequenos, de modo que cada área pode se aproximar da de um triângulo:

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Como Δs = v Δ t , onde v é a velocidade linear do planeta em um determinado ponto, ao substituir, temos:

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E como o intervalo de tempo Δt é o mesmo, você obtém:

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Como r 2 > r 1 , então v 1 > v 2 , em outras palavras, a velocidade linear de um planeta não é constante. De fato, a Terra vai mais rápido quando está no periélio do que quando está no afélio.

Portanto, a velocidade linear da Terra ou de qualquer planeta ao redor do Sol não é uma magnitude que serve para caracterizar o movimento desse planeta.

Velocidade areolar

A segunda lei de Kepler sugere uma nova magnitude chamada velocidade areolar. É definida como a área varrida por unidade de tempo e é constante. A figura a seguir é usada para calculá-lo:

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Figura 3. O vetor de posição da Terra (ou planeta) em relação ao Sol é r e, quando em movimento, a Terra experimenta um deslocamento, também o vetor Δr.

Uma pequena área varrida pela Terra é escolhida durante a execução de seu circuito elíptico, que iremos designar como ΔA. O tempo necessário para isso é Δt.

A Figura 3 mostra o vetor de posição da Terra em relação ao Sol, indicado por r. Quando a terra se move, é submetido a um deslocamento Δ r .

Essa área corresponde à metade da área do retângulo mostrada na Figura 3:

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A razão Δr / Δt é precisamente a velocidade linear da Terra, portanto a velocidade areolar é a seguinte:

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As unidades de v A no Sistema Internacional são:

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Observe que, embora r e v variem, o produto permanece constante. Isso faz da velocidade areolar uma magnitude muito adequada para caracterizar o movimento de um planeta em torno de sua estrela.

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O produto de r e v é a magnitude do momento angular G , de modo que a velocidade do sector pode ser expressa como:

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Cálculo da velocidade linear e da velocidade areolar

Com o exemplo a seguir, mostraremos como calcular a velocidade areolar quando alguns parâmetros do movimento planetário são conhecidos:

Exercício

Um exoplaneta se move ao redor do sol seguindo uma órbita elíptica, de acordo com as leis de Kepler. Quando no periastro, o seu raio vector é r 1 = 4 × 10 7 km ao , e quando na apoastro é r 2 = 15 × 10 7 km ao . A velocidade linear em seu periastro é v 1 = 1000 km / s.

Calcular:

A) A magnitude da velocidade no palco.

B) A velocidade areolar do exoplaneta.

C) O comprimento do eixo semi-principal da elipse.

Resposta A)

A equação é usada:

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em que os valores numéricos são substituídos.

Cada termo é identificado da seguinte maneira:

v 1 = velocidade em uma etapa;v 2 = velocidade no periastro; r 1 = distância da madrasta,

r 2 = distância do periastro.

Com esses valores, você obtém:

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Resposta B)

A equação a ser usada é

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em que o par de valores ryv do periastro ou do apoastro pode ser substituído, uma vez que v A é uma constante do planeta:

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Resposta C)

O comprimento do eixo semi-maior da elipse é o semisuma do apoastro e o periastro:

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Bibliografia

  1. Serway, R., Jewett, J. (2008). Física para Ciências e Engenharia. Volume 1 . México Cengage Learning Publishers. 367-372.
  2. Stern, D. (2005). As Três Leis Kepler do Movimento Planetário . Recuperado de pwg.gsfc.nasa.gov
  3. Nota : o exercício proposto foi adotado e modificado a partir do texto a seguir de um livro da McGrawHill. Infelizmente, é um capítulo isolado em formato pdf, sem o título ou o autor: mheducation.es/bcv/guide/capitulo/844817027X.pdf

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