O círculo unitário é um círculo de raio igual a 1, geralmente centrado no ponto (0,0) do sistema de coordenadas cartesianas xy . É usado para definir facilmente as proporções trigonométricas dos ângulos usando triângulos retângulos.
A equação do círculo unitário centrado na origem é:
x 2 + y 2 = 1
Na figura 1, temos o círculo unitário, no qual cada quarto está em um quadrante. Os quadrantes são numerados com algarismos romanos e contados no sentido anti-horário.
No primeiro quadrante, há um triângulo. As pernas em vermelho e azul medem respectivamente 0,8 e 0,6, enquanto a hipotenusa em verde mede 1, por ser um raio.
O ângulo agudo α é um ângulo central na posição padrão, o que significa que seu vértice coincide com o ponto (0,0) e seu lado inicial com o eixo x positivo. O ângulo é medido no sentido anti-horário e recebe um sinal positivo por convenção.
Bem, no círculo unitário, as coordenadas cosseno e seno de α são respectivamente as coordenadas xey do ponto B, que no exemplo mostrado são 0,8 e 0,6.
Destes dois são definidos:
- tg α = sin α / cos α = 0,6 / 0,8 = 0,75
- sec α = 1 / cos α = 1 / 0,8 = 1,25
- cosec α = 1 / sin α = 1 / 0,6 = 1,66…
- ctg α = 1 / tg = 0,8 / 0,6 = 1,33…
Aplicações de círculo unitário
Se nos limitarmos a triângulos retos, as taxas trigonométricas se aplicariam apenas a ângulos agudos. No entanto, com a ajuda do círculo unitário, o cálculo das relações trigonométricas é estendido para qualquer ângulo α.
Isso requer primeiro a definição do conceito de ângulo de referência α R :
Ângulo de referência
Seja α um ângulo de posição padrão (aquele cujo lado inicial coincide com o eixo x positivo), seu ângulo de referência α R está entre o lado terminal e o eixo x. A Figura 2 mostra o ângulo de referência para ângulos no quadrante I, II, III e IV.
Para cada quadrante, o ângulo de referência é calculado da seguinte forma:
Quadrante -primeiro: α R = α
– Segundo quadrante: α R = 180º – α
– Terceiro quadrante: α R = α – 180º
-Quatro quadrante: α R = 360º – α
Observe que o primeiro quadrante do ângulo α coincide com o ângulo de referência. Bem, as razões trigonométricas do ângulo α são as mesmas do ângulo de referência, com os sinais de acordo com os dos quadrantes nos quais o lado terminal de α cai.
Em outras palavras, as razões trigonométricas cosseno e senoidal do ângulo α coincidem com as coordenadas do ponto P, conforme Figura 2.
Na figura a seguir, vemos as razões trigonométricas de alguns ângulos notáveis, deduzidas do círculo unitário.
As razões cosseno e seno de qualquer ângulo no quadrante I são todas positivas. Para α = 60º, temos as coordenadas (1/2; √3 / 2), que correspondem respectivamente a cos 60º e sen 60º.
As coordenadas de α = 120º são (-1/2; √3 / 2), uma vez que estando no segundo quadrante, a coordenada x é negativa.
Traçando os gráficos seno e cosseno
Com a ajuda do círculo unitário e as coordenadas dos pontos P nele, é possível desenhar os gráficos das funções cos te sin t, como veremos abaixo.
Para isso, várias posições do ponto P (t) estão localizadas no círculo unitário. Começaremos com o gráfico da função f (t) = sin t.
Podemos observar que quando passamos de t = 0 a t = π / 2 (90º) o valor do pecado t aumenta até atingir 1, que é o valor máximo.
Por outro lado, de t = π / 2 a t = 3π / 2, o valor de sin t diminui de 1, passando por 0 em t = π até atingir seu mínimo de -1 em t = 3π / 2.
A figura mostra o gráfico do primeiro ciclo de f (t) = sin t que corresponde ao primeiro retorno ao círculo unitário, esta função é periódica do período 2π.
Um procedimento análogo pode ser realizado para obter o gráfico da função f (t) = cos t, conforme mostrado na animação a seguir:
Propriedades das funções seno e cosseno
-Ambas as funções são contínuas no conjunto de números reais e também periódicas, do período 2π.
-O domínio das funções f (t) = sin tyf (t) = cos t são todos números reais: (-∞, ∞).
-Para o intervalo ou caminho do seno e do cosseno, temos o intervalo [-1,1]. Os colchetes indicam que -1 e 1 estão incluídos.
– Os zeros de sin t são os valores que correspondem a nπ com n inteiro, enquanto os zeros de cos t são [(2n + 1) / 2] com n também inteiro.
-A função f (t) = sin t é ímpar, possui simetria em relação à origem, enquanto a função cos t é par, sua simetria é em relação ao eixo vertical.
Exercícios resolvidos
– Exercício 1
Dado que cos t = – 2/5, que é a coordenada horizontal do ponto P (t) no círculo unitário no segundo quadrante, obtenha a coordenada vertical correspondente sin t.
Solução
Como P (t) pertence ao círculo unitário, no qual é verdade que:
x 2 + y 2 = 1
Portanto:
y = ± √ 1 – x 2
Como P (t) está no segundo quadrante, o valor positivo será obtido. A coordenada vertical do ponto P (t) é y:
y = √ 1 – (-2/5) 2 = √0,84
– Exercício 2
Um modelo matemático para a temperatura T em graus Fahrenheit em qualquer dia, t horas após a meia-noite, é dado por:
T (t) = 50 + 10 sin [(π / 12) × (t – 8)]
Com t entre 0 e 24 horas. Encontrar:
a) A temperatura às 8 da manhã.
b) Horas durante as quais T (t) = 60ºF
c) Temperaturas máxima e mínima.
Solução para
Substituímos t = 8 na função fornecida:
T (8) = 50 + 10 sin [(π / 12) × (t-8)] = 50 + 10 sin [(π / 12) × (8-8)] =
= 50 + 10 x sen 0 = 50 ºF
Solução b
50 + 10 sin [(π / 12) × (t-8)] = 60
É uma equação trigonométrica e o “t” desconhecido deve ser limpo:
10 sin [(π / 12) × (t-8)] = 60 – 50 = 10
sin [(π / 12) × (t-8)] = 1
Sabemos que pecado π / 2 = 1, portanto, o argumento do seno deve ser 1:
(π / 12) × (t-8) = π / 2
t-8 = 6
t = 14 h
Conclui-se que às 14 horas após a meia-noite a temperatura é de 60º, ou seja, 14h. Não há outra hora durante o dia (24 horas) em que isso acontece.
Solução c
A temperatura máxima corresponde ao valor no qual sin [(π / 12) × (t-8)] = 1 e é 60ºF. Por outro lado, o mínimo ocorre se sin [(π / 12) × (t-8)] = -1 e é 40ºF.
Referências
- Figuera, J. 1999. Matemática. 1º. Diversificado. Edições do Colégio Bolivariano.
- Hoffman, J. Seleção de tópicos de matemática. Volume 4.
- Jiménez, R. 2008. Álgebra. Prentice Hall.
- Math is Fun. Unidade Círculo. Recuperado de: de: mathsisfun.com.
- Wikipedia. Identidades e fórmulas de trigonometria. Recuperado de: es.wikipedia.org.
- Zill, D. 1984. Álgebra e trigonometria. McGraw Hill.