Círculo unitário: funções trigonométricas e aplicações

O círculo unitário é uma ferramenta fundamental na trigonometria que nos permite visualizar as relações entre ângulos, seno, cosseno e tangente. Com um raio de comprimento 1, o círculo unitário nos ajuda a entender e calcular as funções trigonométricas de forma mais simples e intuitiva. Neste contexto, as funções trigonométricas se tornam ferramentas poderosas para descrever padrões de oscilação, movimento periódico e muitos outros fenômenos da matemática e da física. Neste artigo, exploraremos o círculo unitário, as funções trigonométricas e suas aplicações em diversos campos do conhecimento.

Aplicações das funções trigonométricas em diversas áreas da matemática e física.

As funções trigonométricas são amplamente utilizadas em diversas áreas da matemática e física, devido à sua relação com o círculo unitário. O círculo unitário é um círculo de raio 1 centrado na origem de um sistema de coordenadas cartesianas. As funções trigonométricas seno, cosseno, tangente, cotangente, secante e cossecante são definidas em termos das coordenadas de um ponto no círculo unitário.

Na matemática, as funções trigonométricas são essenciais para o estudo da geometria, trigonometria e análise matemática. Elas são utilizadas para modelar fenômenos periódicos, como ondas senoidais, oscilações e vibrações. Além disso, as funções trigonométricas são fundamentais para o cálculo de integrais e derivadas em problemas que envolvem movimento circular, como no cálculo de velocidade e aceleração de um objeto em movimento circular.

Já na física, as funções trigonométricas são aplicadas em diversas áreas, como mecânica, óptica, acústica e eletricidade. Por exemplo, na mecânica, as funções trigonométricas são utilizadas para descrever o movimento de um pêndulo, a trajetória de um projétil ou a vibração de um sistema massa-mola. Na óptica, as funções trigonométricas são empregadas no estudo da difração e interferência de ondas de luz. Na eletricidade, as funções trigonométricas são utilizadas na análise de circuitos elétricos alternados e na descrição de fenômenos ondulatórios em linhas de transmissão.

Portanto, o estudo do círculo unitário e das funções trigonométricas é de grande importância para quem deseja compreender e aplicar conceitos matemáticos e físicos em diferentes contextos.

Significado do círculo unitário: explicação e definição em geometria trigonométrica.

O círculo unitário é uma figura geométrica fundamental na trigonometria, que possui raio igual a 1 unidade. Ele é utilizado para estudar as relações entre os ângulos e as medidas das funções trigonométricas seno, cosseno e tangente.

No círculo unitário, o raio é sempre 1, o que facilita os cálculos e as análises trigonométricas. Os pontos no círculo unitário representam os valores das funções trigonométricas para diferentes ângulos. Por exemplo, o ponto (0,1) representa o ângulo de 90 graus, onde o seno é 1 e o cosseno é 0.

As funções trigonométricas seno e cosseno são definidas como as coordenadas x e y de um ponto no círculo unitário, respectivamente. Já a tangente é definida como a razão entre o seno e o cosseno de um ângulo.

O círculo unitário é amplamente utilizado em aplicações práticas, como na física, engenharia e computação. Ele ajuda a resolver problemas envolvendo movimento circular, ondas e oscilações, fornecendo uma maneira eficiente de calcular as relações trigonométricas.

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O que é o círculo trigonométrico e qual sua utilidade na matemática?

O círculo trigonométrico é um círculo de raio 1 centrado na origem de um sistema de coordenadas cartesianas. Ele é muito utilizado na matemática para representar as relações entre ângulos e as funções trigonométricas seno, cosseno e tangente.

As funções trigonométricas são definidas como razões entre os lados de um triângulo retângulo e são representadas no círculo unitário. O círculo trigonométrico facilita a visualização das funções trigonométricas e suas propriedades geométricas.

Além disso, o círculo trigonométrico é amplamente utilizado em diversas áreas da matemática e da física, como na resolução de problemas envolvendo movimento circular, oscilações, ondas e muitos outros fenômenos naturais. Ele também é fundamental no estudo de equações diferenciais e na análise de sinais em engenharia.

Aplicações práticas da trigonometria em diversas áreas do conhecimento e da vida cotidiana.

A trigonometria é uma área da matemática que estuda as relações entre os ângulos e os lados dos triângulos. Suas aplicações são vastas e estão presentes em diversas áreas do conhecimento e da vida cotidiana. Uma das formas mais comuns de utilização da trigonometria é através do círculo unitário, que é um círculo com raio igual a 1.

No círculo unitário, as funções trigonométricas seno e cosseno são definidas como as coordenadas x e y de um ponto sobre o círculo. Isso permite calcular facilmente essas funções para qualquer ângulo. Além disso, a tangente, a cotangente, a secante e a cossecante também podem ser definidas em termos das funções seno e cosseno.

Essas funções trigonométricas têm diversas aplicações práticas em áreas como física, engenharia, astronomia, geografia, entre outras. Na física, por exemplo, a trigonometria é essencial para o estudo de movimentos oscilatórios, como o movimento de um pêndulo. Já na engenharia, as funções trigonométricas são utilizadas no projeto de estruturas, como pontes e edifícios.

Além disso, a trigonometria também está presente em atividades do dia a dia, como na navegação marítima (para calcular a posição de um navio), na construção civil (para medir ângulos e distâncias) e até mesmo na música (para entender a relação entre as notas musicais).

Seja na resolução de problemas matemáticos complexos ou na realização de tarefas simples do dia a dia, a trigonometria é uma ferramenta fundamental que nos ajuda a compreender e interpretar o mundo ao nosso redor.

Círculo unitário: funções trigonométricas e aplicações

Círculo unitário: funções trigonométricas e aplicações

O círculo unitário é um círculo de raio igual a 1, geralmente centrado no ponto (0,0) do sistema de coordenadas cartesianas xy . É usado para definir facilmente as proporções trigonométricas dos ângulos usando triângulos retângulos.

A equação do círculo unitário centrado na origem é:

x 2 + y 2 = 1

Na figura 1, temos o círculo unitário, no qual cada quarto está em um quadrante. Os quadrantes são numerados com algarismos romanos e contados no sentido anti-horário.

No primeiro quadrante, há um triângulo. As pernas em vermelho e azul medem respectivamente 0,8 e 0,6, enquanto a hipotenusa em verde mede 1, por ser um raio.

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O ângulo agudo α é um ângulo central na posição padrão, o que significa que seu vértice coincide com o ponto (0,0) e seu lado inicial com o eixo x positivo. O ângulo é medido no sentido anti-horário e recebe um sinal positivo por convenção.

Bem, no círculo unitário, as coordenadas cosseno e seno de α são respectivamente as coordenadas xey do ponto B, que no exemplo mostrado são 0,8 e 0,6.

Destes dois são definidos:

  • tg α = sin α / cos α = 0,6 / 0,8 = 0,75
  • sec α = 1 / cos α = 1 / 0,8 = 1,25
  • cosec α = 1 / sin α = 1 / 0,6 = 1,66…
  • ctg α = 1 / tg = 0,8 / 0,6 = 1,33…

Aplicações de círculo unitário

Se nos limitarmos a triângulos retos, as taxas trigonométricas se aplicariam apenas a ângulos agudos. No entanto, com a ajuda do círculo unitário, o cálculo das relações trigonométricas é estendido para qualquer ângulo α.

Isso requer primeiro a definição do conceito de ângulo de referência α R :

Ângulo de referência

Seja α um ângulo de posição padrão (aquele cujo lado inicial coincide com o eixo x positivo), seu ângulo de referência α R está entre o lado terminal e o eixo x. A Figura 2 mostra o ângulo de referência para ângulos no quadrante I, II, III e IV.

Para cada quadrante, o ângulo de referência é calculado da seguinte forma:

Quadrante -primeiro: α R = α

– Segundo quadrante: α R = 180º – α

– Terceiro quadrante: α R = α – 180º

-Quatro quadrante: α R = 360º – α

Observe que o primeiro quadrante do ângulo α coincide com o ângulo de referência. Bem, as razões trigonométricas do ângulo α são as mesmas do ângulo de referência, com os sinais de acordo com os dos quadrantes nos quais o lado terminal de α cai.

Em outras palavras, as razões trigonométricas cosseno e senoidal do ângulo α coincidem com as coordenadas do ponto P, conforme Figura 2.

Na figura a seguir, vemos as razões trigonométricas de alguns ângulos notáveis, deduzidas do círculo unitário.

As razões cosseno e seno de qualquer ângulo no quadrante I são todas positivas. Para α = 60º, temos as coordenadas (1/2; √3 / 2), que correspondem respectivamente a cos 60º e sen 60º.

As coordenadas de α = 120º são (-1/2; √3 / 2), uma vez que estando no segundo quadrante, a coordenada x é negativa.

Traçando os gráficos seno e cosseno

Com a ajuda do círculo unitário e as coordenadas dos pontos P nele, é possível desenhar os gráficos das funções cos te sin t, como veremos abaixo.

Para isso, várias posições do ponto P (t) estão localizadas no círculo unitário. Começaremos com o gráfico da função f (t) = sin t.

Podemos observar que quando passamos de t = 0 a t = π / 2 (90º) o valor do pecado t aumenta até atingir 1, que é o valor máximo.

Por outro lado, de t = π / 2 a t = 3π / 2, o valor de sin t diminui de 1, passando por 0 em t = π até atingir seu mínimo de -1 em t = 3π / 2.

A figura mostra o gráfico do primeiro ciclo de f (t) = sin t que corresponde ao primeiro retorno ao círculo unitário, esta função é periódica do período 2π.

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Um procedimento análogo pode ser realizado para obter o gráfico da função f (t) = cos t, conforme mostrado na animação a seguir:

Propriedades das funções seno e cosseno

-Ambas as funções são contínuas no conjunto de números reais e também periódicas, do período 2π.

-O domínio das funções f (t) = sin tyf (t) = cos t são todos números reais: (-∞, ∞).

-Para o intervalo ou caminho do seno e do cosseno, temos o intervalo [-1,1]. Os colchetes indicam que -1 e 1 estão incluídos.

– Os zeros de sin t são os valores que correspondem a nπ com n inteiro, enquanto os zeros de cos t são [(2n + 1) / 2] com n também inteiro.

-A função f (t) = sin t é ímpar, possui simetria em relação à origem, enquanto a função cos t é par, sua simetria é em relação ao eixo vertical.

Exercícios resolvidos

– Exercício 1

Dado que cos t = – 2/5, que é a coordenada horizontal do ponto P (t) no círculo unitário no segundo quadrante, obtenha a coordenada vertical correspondente sin t.

Solução

 Como P (t) pertence ao círculo unitário, no qual é verdade que:

x 2 + y 2 = 1

Portanto:

y = ± √ 1 – x 2

Como P (t) está no segundo quadrante, o valor positivo será obtido. A coordenada vertical do ponto P (t) é y:

y = √ 1 – (-2/5) 2 = √0,84

– Exercício 2

Um modelo matemático para a temperatura T em graus Fahrenheit em qualquer dia, t horas após a meia-noite, é dado por:

T (t) = 50 + 10 sin [(π / 12) × (t – 8)]

Com t entre 0 e 24 horas. Encontrar:

a) A temperatura às 8 da manhã.

b) Horas durante as quais T (t) = 60ºF

c) Temperaturas máxima e mínima.

Solução para

Substituímos t = 8 na função fornecida:

T (8) = 50 + 10 sin [(π / 12) × (t-8)] = 50 + 10 sin [(π / 12) × (8-8)] =

= 50 + 10 x sen 0 = 50 ºF

Solução b

50 + 10 sin [(π / 12) × (t-8)] = 60

É uma equação trigonométrica e o “t” desconhecido deve ser limpo:

10 sin [(π / 12) × (t-8)] = 60 – 50 = 10

sin [(π / 12) × (t-8)] = 1

Sabemos que pecado π / 2 = 1, portanto, o argumento do seno deve ser 1:

(π / 12) × (t-8) = π / 2

t-8 = 6

t = 14 h

Conclui-se que às 14 horas após a meia-noite a temperatura é de 60º, ou seja, 14h. Não há outra hora durante o dia (24 horas) em que isso acontece.

Solução c

A temperatura máxima corresponde ao valor no qual sin [(π / 12) × (t-8)] = 1 e é 60ºF. Por outro lado, o mínimo ocorre se sin [(π / 12) × (t-8)] = -1 e é 40ºF.

Referências

  1. Figuera, J. 1999. Matemática. 1º. Diversificado. Edições do Colégio Bolivariano.
  2. Hoffman, J. Seleção de tópicos de matemática. Volume 4.
  3. Jiménez, R. 2008. Álgebra. Prentice Hall.
  4. Math is Fun. Unidade Círculo. Recuperado de: de: mathsisfun.com.
  5. Wikipedia. Identidades e fórmulas de trigonometria. Recuperado de: es.wikipedia.org.
  6. Zill, D. 1984. Álgebra e trigonometria. McGraw Hill.

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