Círculo unitário: funções trigonométricas e aplicações

Círculo unitário: funções trigonométricas e aplicações

O círculo unitário é um círculo de raio igual a 1, geralmente centrado no ponto (0,0) do sistema de coordenadas cartesianas xy . É usado para definir facilmente as proporções trigonométricas dos ângulos usando triângulos retângulos.

A equação do círculo unitário centrado na origem é:

x 2 + y 2 = 1

Na figura 1, temos o círculo unitário, no qual cada quarto está em um quadrante. Os quadrantes são numerados com algarismos romanos e contados no sentido anti-horário.

No primeiro quadrante, há um triângulo. As pernas em vermelho e azul medem respectivamente 0,8 e 0,6, enquanto a hipotenusa em verde mede 1, por ser um raio.

O ângulo agudo α é um ângulo central na posição padrão, o que significa que seu vértice coincide com o ponto (0,0) e seu lado inicial com o eixo x positivo. O ângulo é medido no sentido anti-horário e recebe um sinal positivo por convenção.

Bem, no círculo unitário, as coordenadas cosseno e seno de α são respectivamente as coordenadas xey do ponto B, que no exemplo mostrado são 0,8 e 0,6.

Destes dois são definidos:

  • tg α = sin α / cos α = 0,6 / 0,8 = 0,75
  • sec α = 1 / cos α = 1 / 0,8 = 1,25
  • cosec α = 1 / sin α = 1 / 0,6 = 1,66…
  • ctg α = 1 / tg = 0,8 / 0,6 = 1,33…

Aplicações de círculo unitário

Se nos limitarmos a triângulos retos, as taxas trigonométricas se aplicariam apenas a ângulos agudos. No entanto, com a ajuda do círculo unitário, o cálculo das relações trigonométricas é estendido para qualquer ângulo α.

Isso requer primeiro a definição do conceito de ângulo de referência α R :

Ângulo de referência

Seja α um ângulo de posição padrão (aquele cujo lado inicial coincide com o eixo x positivo), seu ângulo de referência α R está entre o lado terminal e o eixo x. A Figura 2 mostra o ângulo de referência para ângulos no quadrante I, II, III e IV.

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Para cada quadrante, o ângulo de referência é calculado da seguinte forma:

Quadrante -primeiro: α R = α

– Segundo quadrante: α R = 180º – α

– Terceiro quadrante: α R = α – 180º

-Quatro quadrante: α R = 360º – α

Observe que o primeiro quadrante do ângulo α coincide com o ângulo de referência. Bem, as razões trigonométricas do ângulo α são as mesmas do ângulo de referência, com os sinais de acordo com os dos quadrantes nos quais o lado terminal de α cai.

Em outras palavras, as razões trigonométricas cosseno e senoidal do ângulo α coincidem com as coordenadas do ponto P, conforme Figura 2.

Na figura a seguir, vemos as razões trigonométricas de alguns ângulos notáveis, deduzidas do círculo unitário.

As razões cosseno e seno de qualquer ângulo no quadrante I são todas positivas. Para α = 60º, temos as coordenadas (1/2; √3 / 2), que correspondem respectivamente a cos 60º e sen 60º.

As coordenadas de α = 120º são (-1/2; √3 / 2), uma vez que estando no segundo quadrante, a coordenada x é negativa.

Traçando os gráficos seno e cosseno

Com a ajuda do círculo unitário e as coordenadas dos pontos P nele, é possível desenhar os gráficos das funções cos te sin t, como veremos abaixo.

Para isso, várias posições do ponto P (t) estão localizadas no círculo unitário. Começaremos com o gráfico da função f (t) = sin t.

Podemos observar que quando passamos de t = 0 a t = π / 2 (90º) o valor do pecado t aumenta até atingir 1, que é o valor máximo.

Por outro lado, de t = π / 2 a t = 3π / 2, o valor de sin t diminui de 1, passando por 0 em t = π até atingir seu mínimo de -1 em t = 3π / 2.

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A figura mostra o gráfico do primeiro ciclo de f (t) = sin t que corresponde ao primeiro retorno ao círculo unitário, esta função é periódica do período 2π.

Um procedimento análogo pode ser realizado para obter o gráfico da função f (t) = cos t, conforme mostrado na animação a seguir:

Propriedades das funções seno e cosseno

-Ambas as funções são contínuas no conjunto de números reais e também periódicas, do período 2π.

-O domínio das funções f (t) = sin tyf (t) = cos t são todos números reais: (-∞, ∞).

-Para o intervalo ou caminho do seno e do cosseno, temos o intervalo [-1,1]. Os colchetes indicam que -1 e 1 estão incluídos.

– Os zeros de sin t são os valores que correspondem a nπ com n inteiro, enquanto os zeros de cos t são [(2n + 1) / 2] com n também inteiro.

-A função f (t) = sin t é ímpar, possui simetria em relação à origem, enquanto a função cos t é par, sua simetria é em relação ao eixo vertical.

Exercícios resolvidos

– Exercício 1

Dado que cos t = – 2/5, que é a coordenada horizontal do ponto P (t) no círculo unitário no segundo quadrante, obtenha a coordenada vertical correspondente sin t.

Solução

 Como P (t) pertence ao círculo unitário, no qual é verdade que:

x 2 + y 2 = 1

Portanto:

y = ± √ 1 – x 2

Como P (t) está no segundo quadrante, o valor positivo será obtido. A coordenada vertical do ponto P (t) é y:

y = √ 1 – (-2/5) 2 = √0,84

– Exercício 2

Um modelo matemático para a temperatura T em graus Fahrenheit em qualquer dia, t horas após a meia-noite, é dado por:

T (t) = 50 + 10 sin [(π / 12) × (t – 8)]

Com t entre 0 e 24 horas. Encontrar:

a) A temperatura às 8 da manhã.

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b) Horas durante as quais T (t) = 60ºF

c) Temperaturas máxima e mínima.

Solução para

Substituímos t = 8 na função fornecida:

T (8) = 50 + 10 sin [(π / 12) × (t-8)] = 50 + 10 sin [(π / 12) × (8-8)] =

= 50 + 10 x sen 0 = 50 ºF

Solução b

50 + 10 sin [(π / 12) × (t-8)] = 60

É uma equação trigonométrica e o “t” desconhecido deve ser limpo:

10 sin [(π / 12) × (t-8)] = 60 – 50 = 10

sin [(π / 12) × (t-8)] = 1

Sabemos que pecado π / 2 = 1, portanto, o argumento do seno deve ser 1:

(π / 12) × (t-8) = π / 2

t-8 = 6

t = 14 h

Conclui-se que às 14 horas após a meia-noite a temperatura é de 60º, ou seja, 14h. Não há outra hora durante o dia (24 horas) em que isso acontece.

Solução c

A temperatura máxima corresponde ao valor no qual sin [(π / 12) × (t-8)] = 1 e é 60ºF. Por outro lado, o mínimo ocorre se sin [(π / 12) × (t-8)] = -1 e é 40ºF.

Referências

  1. Figuera, J. 1999. Matemática. 1º. Diversificado. Edições do Colégio Bolivariano.
  2. Hoffman, J. Seleção de tópicos de matemática. Volume 4.
  3. Jiménez, R. 2008. Álgebra. Prentice Hall.
  4. Math is Fun. Unidade Círculo. Recuperado de: de: mathsisfun.com.
  5. Wikipedia. Identidades e fórmulas de trigonometria. Recuperado de: es.wikipedia.org.
  6. Zill, D. 1984. Álgebra e trigonometria. McGraw Hill.

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