Triângulo escaleno: características, fórmula e áreas, cálculo

Um triângulo escaleno é um polígono de três lados, onde todos têm diferentes medidas ou comprimentos; por esse motivo, é dado o nome de escaleno, que em latim significa escalada.

Triângulos são polígonos considerados os mais simples em geometria, porque três lados, três ângulos e três vértices são formados. No caso do triângulo escaleno, por ter todos os lados diferentes, implica que seus três ângulos também serão.

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Características dos triângulos escalenos

Os triângulos escalenos são polígonos simples porque nenhum dos lados ou ângulos tem a mesma medida, diferentemente dos triângulos isósceles e equilaterais .

Como todos os lados e ângulos têm medidas diferentes, esses triângulos são considerados polígonos convexos irregulares.

De acordo com a amplitude dos ângulos internos, os triângulos escalenos são classificados como:

  • Triângulo retângulo escaleno : todos os lados são diferentes. Um de seus ângulos é reto (90 o ) e os outros são agudos e com medidas diferentes.
  • Triângulo escaleno obtuso : todos os lados são diferentes e um de seus ângulos é obtuso (> 90 o ).
  • Triângulo escaleno de ângulo agudo : todos os lados são diferentes. Todos os seus ângulos são agudos (<90 o ), com medidas diferentes.

Outra característica dos triângulos escalenos é que, devido à incongruência de seus lados e ângulos, ele não tem eixo de simetria.

Componentes

A mediana : é uma linha que sai do ponto médio de um lado e atinge o vértice oposto. Os três meios concordam em um ponto chamado baricentro ou centróide.

A bissetriz : é uma semi-reta que divide cada ângulo em dois ângulos de igual medida.As bissetoras de um triângulo concordam em um ponto chamado incenter.

A mediatriz : é um segmento perpendicular ao lado do triângulo, que se origina no meio dele. Existem três mediatrizes em um triângulo e eles coincidem em um ponto chamado circuncentro.

A altura : é a linha que vai do vértice para o lado oposto e também esta linha é perpendicular a esse lado. Todos os triângulos têm três alturas que coincidem em um ponto chamado ortocentro.

Propriedades

Os triângulos escalenos são definidos ou identificados porque possuem várias propriedades que os representam, originários dos teoremas propostos por grandes matemáticos. Elas são:

Ângulos internos

A soma dos ângulos internos é sempre igual a 180 o .

Soma dos lados

A soma das medidas em frente e verso sempre deve ser maior que a medida em frente e verso, a + b> c.

Lados incongruentes

Todos os lados dos triângulos escalenos têm diferentes medidas ou comprimentos; isto é, eles são incongruentes.

Ângulos incongruentes

Como todos os lados do triângulo escaleno são diferentes, seus ângulos também serão. No entanto, a soma dos ângulos internos será sempre igual a 180º e, em alguns casos, um de seus ângulos pode ser obtuso ou reto, enquanto em outros todos os seus ângulos serão agudos.

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Altura, mediana, mediatriz e bissetriz não são coincidentes

Como todo triângulo, o escaleno possui vários segmentos de linhas retas que o compõem, como: altura, mediana, mediatriz e bissetriz.

Devido à particularidade de seus lados, neste tipo de triângulo nenhuma dessas linhas coincidirá em uma.

Ortocentro, baricentro, incentor e circuncentro não são coincidentes

Como a altura, a mediana, a bissetriz e a mediatriz são representadas por diferentes segmentos retos, em um triângulo escaleno os pontos de encontro – o ortocentro, o incentivador e o baricentro circuncentro – se encontrarão em pontos diferentes (eles não coincidem).

Dependendo se o triângulo é agudo, retangular ou escaleno, o ortocentro possui locais diferentes:

a. Se o triângulo for agudo, o ortocentro estará dentro do triângulo.

b. Se o triângulo for retângulo, o ortocentro coincidirá com o vértice do lado reto.

c. Se o triângulo for obtuso, o ortocentro estará fora do triângulo.

Alturas relativas

As alturas são relativas aos lados.

No caso do triângulo escaleno, essas alturas terão medidas diferentes. Cada triângulo tem três alturas relativas e a fórmula de Heron é usada para calculá-las.

Como calcular o perímetro?

O perímetro de um polígono é calculado adicionando os lados.

Como neste caso o triângulo escaleno tem todos os lados com medidas diferentes, seu perímetro será:

P = lado a + lado b + lado c.

Como calcular a área?

A área dos triângulos é sempre calculada com a mesma fórmula, multiplicando a base pela altura e dividindo por duas:

Área = (base * h) ÷ 2

Em alguns casos, a altura do triângulo escaleno não é conhecida, mas há uma fórmula que foi proposta pelo matemático Heron, para calcular a área conhecendo a medida dos três lados de um triângulo.

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Onde:

  • a, bec representam os lados do triângulo.
  • sp, corresponde ao semiperímetro do triângulo, ou seja, metade do perímetro:

sp = (a + b + c) ÷ 2

No caso em que apenas a medição de dois dos lados do triângulo e o ângulo formado entre eles é realizada, a área pode ser calculada aplicando as relações trigonométricas. Então você tem que:

Área = (lado * h) ÷ 2

Onde a altura (h) é o produto de um lado dentro do ângulo oposto. Por exemplo, para cada lado, a área será:

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  • Área = (b * c * sen A) ÷ 2
  • Área = (a * c * sen B) ÷ 2.
  • Área = (a * b * sen C) ÷ 2

Como calcular a altura?

Como todos os lados do triângulo escaleno são diferentes, não é possível calcular a altura com o teorema de Pitágoras.

A partir da fórmula de Heron, que é baseada nas medidas dos três lados de um triângulo, a área pode ser calculada.

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A altura pode ser limpa a partir da fórmula geral da área:

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O lado é substituído pela medição do lado a, bo c.

Outra maneira de calcular a altura quando o valor de um dos ângulos é conhecido, é aplicar as relações trigonométricas, em que a altura representará uma perna do triângulo.

Por exemplo, quando o ângulo oposto à altura é conhecido, ele será determinado pelo seno:

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Como calcular os lados?

Quando você tem a medida de dois lados e o ângulo oposto a esses, é possível determinar o terceiro lado aplicando o teorema do cosseno.

Por exemplo, em um triângulo AB, a altura relativa ao segmento AC é plotada. Dessa forma, o triângulo é dividido em dois triângulos retângulos.

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Para calcular o lado c (segmento AB), o teorema de Pitágoras é aplicado a cada triângulo:

  • Para o triângulo azul, você deve:

c 2 = h 2 + m 2

Como m = b – n, é substituído:

c 2 = h 2 + b 2 (b – n) 2

c 2 = h 2 + b 22 bilhões + n 2 .

  • Para o triângulo rosa, você deve:

h 2 = a 2 – n 2

É substituído na equação anterior:

c 2 = a 2 – n 2 + b 22 bilhões + n 2

c 2 = a 2 + b 22 bilhões.

Sabendo que n = a * cos C, ele é substituído na equação anterior e o valor do lado c é obtido:

c 2 = a 2 + b 2 – 2b * a * cos C.

Pela lei dos cossenos, os lados podem ser calculados como:

  • a 2 = b 2 + c 2 – 2b * c * cos A.
  • b 2 = a 2 + c 2 – 2a * c * cos B.
  • c 2 = a 2 + b 2 – 2b * a * cos C.

Há casos em que as medidas dos lados do triângulo não são conhecidas, mas sua altura e os ângulos que se formam nos vértices. Para determinar a área nesses casos, é necessário aplicar as relações trigonométricas.

Conhecendo o ângulo de um de seus vértices, as pernas são identificadas e a razão trigonométrica correspondente é usada:

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Por exemplo, a perna AB será oposta ao ângulo C, mas adjacente ao ângulo A. Dependendo do lado ou da perna correspondente à altura, o outro lado é limpo para obter seu valor.

Exercícios

Primeiro exercício

Calcule a área e a altura do triângulo escaleno ABC, sabendo que seus lados são:

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a = 8 cm.

b = 12 cm

c = 16 cm

Solução

Como dados, são dadas as medidas dos três lados do triângulo escaleno.

Como o valor da altura não está disponível, a área pode ser determinada aplicando a fórmula de Heron.

Primeiro, o semi-perímetro é calculado:

sp = (a + b + c) ÷ 2

sp = (8 cm + 12 cm + 16 cm) ÷ 2

sp = 36 cm ÷ 2

sp = 18 cm.

Agora os valores na fórmula de Heron são substituídos:

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Conhecendo a área, a altura relativa ao lado b pode ser calculada. A partir da fórmula geral, a limpeza tem:

Área = (lado * h) ÷ 2

46, 47 cm 2 = (12 cm * h) ÷ 2

h = (2 * 46,47 cm 2 ) ÷ 12 cm

h = 92,94 cm 2 ÷ 12 cm

h = 7,75 cm.

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2º exercício

Dado o triângulo escaleno ABC, cujas medidas são:

  • Segmento AB = 25 m.
  • Segmento BC = 15 m.

No vértice B é formado um ângulo de 50º. Calcule a altura relativa do lado c, perímetro e área desse triângulo.

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Solução

Neste caso, você tem as medidas de dois lados.Para determinar a altura, é necessário calcular a medida do terceiro lado.

Como o ângulo oposto é dado aos lados dados, é possível aplicar a lei dos cossenos para determinar a medida do lado AC (b):

b 2 = a 2 + c 2 – 2a * c * cos B

Onde:

a = BC = 15 m.

c = AB = 25 m.

b = AC.

B = 50 ou .

Os dados são substituídos:

b 2 = (15) 2 + (25) 2 – 2 * (15) * (25) * cos 50

b 2 = (225) + (625) – (750) * 0,6427

b 2 = (225) + (625) – (482.025)

b 2 = 367.985

b = √367.985

b = 19,18 m.

Como você tem o valor dos três lados, o perímetro desse triângulo é calculado:

P = lado a + lado b + lado c

P = 15 m + 25 m + 19, 18 m

P = 59,18 m

Agora é possível determinar a área aplicando a fórmula de Heron, mas primeiro o semi-perímetro deve ser calculado:

sp = P ÷ 2

sp = 59,18 m ÷ 2

sp = 29,59 m.

As medidas dos lados e do semi-perímetro são substituídas na fórmula de Heron:

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Finalmente, conhecendo a área, a altura relativa no lado c pode ser calculada. A partir da fórmula geral, a limpeza deve:

Área = (lado * h) ÷ 2

143,63 m 2 = (25 m * h) ÷ 2

h = (2 * 143,63 m 2 ) ÷ 25 m

h = 287,3 m 2 ÷ 25 m

h = 11,5 m.

Terceiro exercício

No triângulo escaleno ABC, o lado b mede 40 cm, o lado c mede 22 cm e, no vértice A, forma-se um ângulo de 90 o . Calcule a área desse triângulo.

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Solução

Nesse caso, são dadas as medidas dos dois lados do triângulo escaleno ABC, bem como o ângulo formado no vértice A.

Para determinar a área, não é necessário calcular a medida do lado a, pois as razões trigonométricas usam o ângulo para encontrá-la.

Como o ângulo oposto à altura é conhecido, isso será determinado pelo produto de um lado e pelo seno do ângulo.

Substituindo na fórmula da área, você deve:

  • Área = (lado * h) ÷ 2
  • h = c * sen A

Área = (b * c * sen A) ÷ 2

Área = (40 cm * 22 cm * sen 90) ÷ 2

Área = (40 cm * 22 cm * 1) ÷ 2

Área = 880 cm 2 ÷ 2

Área = 440 centímetros 2 .

Referências

  1. Álvaro Rendón, AR (2004). Desenho técnico: caderno de atividades.
  2. Ángel Ruiz, HB (2006). Geometrias Tecnologia CR.
  3. Angel, AR (2007). Álgebra Elementar Educação em Pearson,.
  4. Baldor, A. (1941). Álgebra Havana: Cultura
  5. Barbosa, JL (2006). Geometria euclidiana plana. Rio de Janeiro,.
  6. Coxeter, H. (1971). Fundamentos de geometria. México: Limusa-Wiley.
  7. Daniel C. Alexander, GM (2014). Geometria elementar para estudantes universitários. Cengage Learning
  8. Harpe, P. d. (2000) Tópicos na Teoria de Grupos Geométricos. University of Chicago Press.

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